重庆市九龙坡区2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题含答案

高2025届高二（下）第一次月考数学试题（答案在最后）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如图，函数
()
y f x
=
的图象在点P处的切线方程是
8
y x
=-+
，则
()()
55
lim
x
f x f x
x
∆→
+∆--∆
=
∆（
）A.
1
2- B.2 C.1- D.2-
【答案】D
【解析】
【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到()51
f'=-，利用导数的概念解出即可.
【详解】依题意可知切点()
5,3
P，
函数()
y f x
=的图象在点P处的切线方程是8
y x
=-+，
∴()51
f'=-，即
()()
55
lim1
x
f x f
x
∆→
+∆-
=-
∆
∴
()()()()
00
5555
lim2lim
2
x x
f x f x f x f x
x x
∆→∆→
+∆--∆+∆--∆
=
∆∆
又
()()()()
00
5555
lim lim1
2
x x
f x f x f x f
x x
∆→∆→
+∆--∆+∆-
==-
∆∆
∴
()()()()
00
5555
lim2lim2
2
x x
f x f x f x f x
x x
∆→∆→
+∆--∆+∆--∆
==-
∆∆
即
()()
55
lim2
x
f x f x
x
∆→
+∆--∆
=-
∆
2.丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为
()f x ''，在(),a b 上()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凹函数”.则下列函数在()0,2π上是“凹
函数”的是（
）
A.()sin f x x x =-
B.2()sin f x x x
=+ C.()ln f x x x
=+ D.()ln x f x e x x
=-【答案】B 【解析】
【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A ，()()1cos ,sin f x x f x x '''=-=，当(),2x ∈ππ时，()0f x ''<，所以A 错误；对B ，()2cos f x x x '=+，()2sin 0f x x ''=->在()0,2π上恒成立，所以B 正确；对C ，()1
1f
x x '
=+
，()210f x x
''=-<，所以C 错误；对D ，()ln 1x
f x e x '=--，()1x
f x e x ''=-，因为1
10e f e e e ⎛⎫''=-< ⎪⎝⎭
，所以D 错误．
故选：B ．3.已知()()2
1220222022ln 2
f x x xf x '=+-，则()2022f '=（）
A.2021
B.2021
- C.2022
D.2022
-【答案】B 【解析】
【分析】根据导数的运算法则求出函数的导函数，再代入求值即可.
【详解】解：因为()()2
1220222022ln 2
f x x xf x '=+-，所以()()202222022f x x f x ''=+-，所以()()2022
20222022220222022
f f ''=+-，
解得()20222021f '=-；故选：B
4.若函数()()
2
ln f x x x ax x =+-的极值点是1，则()2=f '（
）
A.4ln 21+
B.2ln 21+
C.2ln2
D.1
【答案】B
【分析】求导，利用(1)=0f '求得=2a ，进而求出(2)f '.【详解】因为2()()ln f x x x ax x =+-，所以2
1()=1+(2)ln +()f x x a x x ax x
--⋅
'1(2)ln x a x a x =+-+-，
由题意，得(1)=0f '，即20a -=，解得=2a ，即()=1+2(1)ln f x x x x --'，则(2)=1+2ln2f '.故选：B.
5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且()f x 的导函数()f x '在R 上恒有()1
2
f x '<，则不等式()1
22
x f x <+的解集为（）
A.
()1,+∞ B.
()
,1-∞ C.
()
1,1- D.
()()
,11,-∞+∞ 【答案】A 【解析】
【分析】令()()1
22
x g x f x =--，根据题意可得()g x 在R 为单调递减函数，进而即得.【详解】因为()1
22x f x <+可化为()1022
x f x --<，
令()()1
22x g x f x =--，则()()12g x f x ''=-，
因为()1
2
f x '<，
所以()0g x '
<，所以()g x 在R 上单调递减，
因为()11f =，所以()()11
11022
=--=g f ，所以()()1g x g <，所以1x >，即不等式()1
22
x f x <+的解集为()1,+∞．故选：A ．
6.函数()()e ln x
f x x m =-+在[]
0,1上单调递增，则实数m 的取值范围为（
）
A.[)
1,+∞ B.1
1,e ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭C.
(]
0,1 D.1,
1e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
【答案】A 【解析】
【分析】根据函数()()e ln x
f x x m =-+在[]0,1上单调递增，可得()0f x ¢³在[]
0,1上恒成立，然后利
用分离参数法即可求解.
【详解】因为()()e ln x
f x x m =-+，所以()1
e x
f x x m
'=-
+.因为函数()()e ln x
f x x m =-+在[]
0,1上单调递增，
所以()1
e 0x
f x x m
'=-
≥+在[]0,1上恒成立，所以1
e x m x ≥
-在[]0,1上恒成立，即max 1e x m x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]0,1x ∈即可令()1
e
x g x x =
-，[]0,1x ∈则由函数单调性的性质知，()g x 在[]
0,1上减函数，
()()0
max 1
001e g x g ==
-=，即m 1≥.所以实数m 的取值范围为[)1,+∞。

故选：A.
7.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A.2-或2 B.9-或3
C.1-或1
D.3-或1
【答案】A 【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性求出极值点为1x =±，利用(1)0f -=或(1)0f =可得结果.
【详解】因为2333(1)(1)y x x x '=-=+-,所以f(x)的增区间为(,1),(1,)-∞-+∞,减区间为(1,1)-,所以
()f x 的极大值为()1f -，极小值为()1f ，因为函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点,所以只
须满足(1)0f -=或(1)0f =，即2c =-或2c =,故选A.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为()f M ，极小值为()f m ：一个零点()0f M <或()0f m >；两个零点()0f m =或()0f M =；三个零点()0f m <且()0f M >.
8.若曲线ln y x =与曲线：y =2x -k 有公切线，则实数k 的最大值为（）A.
78+1
ln22
B.
78-1ln22
C.
12+1ln22 D.
121ln22
-【答案】C 【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得2
12121
2ln 1x x x x k
⎧=⎪⎨⎪-=--⎩，整理得
222ln 21()k x x f x =-+=，利用导数研究函数的单调性求出max ()f x 即可得出结果.
【详解】设在曲线ln y x =上的切点为11(,ln )x x ，则切线斜率为1'
1
1(ln )|x x x x ==
，在曲线2y x k =-上的切点为2
22(,)x x k -，切线斜率为22'
2()|2x x x k x =-=，
所以切线方程分别为111
1
ln ()-=
-y x x x x 、22222()y x k x x x -+=-，即11
1
ln 1y x x x =
+-、2222y x x x k =--，有2121
21
2ln 1x x x x k
⎧=⎪⎨⎪-=--⎩，整理得222ln 21k x x =-+，设2
()ln 21(0)f x x x x =-+>，则2
112()2x f x x x x
-'=-=，
令()002f x x '>⇒<<
，令()02
f x x '<⇒>，故函数()f x 在2
(0,
2
上单调递增，在2(,)2+∞上单调递减，
所以在(0,)+∞上max 111())ln 222222
f x f ==-=+，如图，
由图可知11
ln 222k ≤+，即k 的最大值为11ln 222
+.故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列求函数的导数正确的是（
）
A.()2
ln 2121
x x '⎡⎤=
⎣⎦++ B.
()54
54
e e
x x --'=
C.
=
'
D.o s s in 22c 233x x ππ'⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭+⎝⎣⎦
+=⎭-【答案】AC 【解析】
【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误.
【详解】()2
ln 21
21
x x '⎡⎤=⎣⎦
++，()5454e 5e x x --'=，()1
212x '-'==
，s s 2in 2co 233x x ππ'⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
+=+，故选：AC.
10.函数()f x 的定义域为R ，它的导函数()y f x '=的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（
）
A.()()
21f f ->- B.1x =是()f x 的极小值点C.函数()f x 在()1,1-上有极大值 D.3x =-是()f x 的极大值点
【答案】AD 【解析】
【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质和导函数的图象逐一判断即可.
【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增；
当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；
当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，故选：AD
11.已知函数()e ln (e)f x x x f =--，则（）
A.(1)1f =-
B.max ()0
f x =C.2
1(e )e f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭
D.
e
2e 2
>【答案】ABD 【解析】
【分析】计算(e)f 得函数解析式，计算(1)f -判断A ，求导数确定函数的单调性得最值判断B ，计算
21(e )e f f ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，判断正负后可判断C ，利用(2)0f <可判断D ．
【详解】因为(e)e e (e)f f =--，所以(0e)f =，所以()e ln f x x x =-，所以(1)1f =-，所以A 正确．
因为e e ()1x f x x x
-=
-='，所以当0e x <<时，'()0f x >，()f x 单调递增；当e x >时，'()0f x <，()f x 单调递减．所以max ()(e)0f x f ==，所以B 正确．因为2
2
111(e )3e e e(3e)0e e e f f ⎛⎫-=-+
=-+> ⎪⎝⎭
，所以21(e )e f f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，所以C 错误．因为(2)e ln 220f =-<，所以2
ln 2e
<，所以e
2e 2>，所以D 正确．故选：ABD ．
三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分，）
12.函数()1
2ln x f x x x
+=+的图象在点()()1,1f 处的切线方程的斜率为______．【答案】1【解析】
【分析】求导后借助导数的几何意义计算即可得.【详解】()()2
2
1221x x x f x x x x
-+-'=+
=，则()21111f -'==.故答案为：1.13.函数2
()ln 1
f x x x =-
-的单调增区间为_________.【答案】()0,1，()1,+∞【解析】
【分析】根据导数与单调性的关系，由()0f x '>即可求出单调增区间．【详解】因为函数的定义域为()()0,11,+∞ ，而()()2
1201f x x x '=+>-，所以函数2()ln 1
f x x x =--的单调增区间为()0,1，()1,+∞．故答案为：()0,1，()1,+∞．
14.记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0R x ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.已知：,R m n ∈，若函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =存在“S 点”，则实数m 的取值范围为___________.【答案】3
1,2e ⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】分别求出()f x '，()g x '，然后根据“S 点”的定义，列出方程，构造()()2
1ln 0x
h x x x -=>，通过导数求出()min h x 即可.
【详解】函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =，则()2f x mx n '=+与1()g x x
'=
，由题意得2000
00ln 12mx nx x mx n x
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，则0201ln x m x -=，令()()2
1ln 0x h x x x -=>，则()332ln x h x x -+'=，令()0h x '=，则32e x =，所以32,e x ⎛⎫ ⎪⎝∈+⎭∞时，则()0h x '>，故()h x 单调递增；320,e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，则()0h x '<，故()h x 单调递减；
所以()h x 在32
e
x =处取得极小值，也是最小值，()332
2
23min 321ln e 1
e 2e e h x h ⎛⎫-===-
⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭
，且x →+∞时，()h x →+∞，所以实数m 的取值范围为31,2e ⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭
故答案为:31
,2e ⎡
⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.求下列函数的最值：
（1）()sin cos f x x x =+，ππ22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，；（2）2
1()ln(1)4
f x x x =+-
，[]0,2x ∈．【答案】（1
，最小值为1-；（2）最大值为1
ln 24
-，最小值为0.【解析】
【分析】（1）先将函数化成正弦型函数，再根据定义域求出最值；（2）通过对函数求导，研究函数单调性，从而求出最值.【小问1详解】
π
()sin cos )4
f x x x x =+=+，
因为ππ,22x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以ππ3π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦
故当ππ42
x +=，即π
4x =时，函数的最大值为π()14f ==
当ππ44x +
=-，即π2x =-时，函数的最小值为π()()122
f -=-=-.
【小问2详解】
2112(2)(1)
()122(1)2(1)
x x x x f x x x x x --+-+-'=-==+++，
由()0f x '=得2x =-（舍）或1
x =.
当[]0,1x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在[]
0,1单调递增，当[]1,2x ∈时，()0f x '<，所以函数()f x 在[]1,2单调递减.故max 1
()(1)ln 24
f x f ==-
.又(0)0f =，(2)ln 310f =->，所以min ()(0)0f x f ==.
16.设函数()()3
30f x x ax b a =-+≠.
（1）若曲线()=y f x 在点()()
22f ,处与直线=8y 相切，求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值点.【答案】（1）4,24.a b ==（2）见解析.【解析】
【分析】（1）已知函数的解析式3()3f x x ax b =-+，把点()()
22f ,代入，再根据()f x 在点()()
22f ,处与
直线8y =相切，求出a ，b 的值；
（2）由题意先对函数y 进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.【小问1详解】
2()33f x x a '=-，
曲线()y f x =在点()()22f ,处与直线8y =相切，
∴(2)03(4)0(2)8868
f a f a b =-=⎧⎧⇒⎨⎨=+='-⎩⎩，∴4,24.
a b ==【小问2详解】
2()3()(0)f x x a a '=-≠ ，
当a<0时，()0f x '>，函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，此时函数()f x 没有极值点．
当0a >时，由()0f x x '=⇒=，
当(,x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
当(x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，
当)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，
即函数()f x 的增区间为(,-∞，)+∞，减区间为(；
此时x =()f x 的极大值点，x =()f x 的极小值点．
17.已知函数()32
4f x ax x =+的图象经过点()1,5A ．（1）求曲线()y f x =在点A 处的切线方程．
（2）曲线()y f x =是否存在过坐标原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）116
y x =-（2）曲线()y f x =存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为()0,0或()2,8-．
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）设出过坐标原点的切线方程以及切点坐标，利用导数的几何意义以及切点既在切线上也在曲线上列出方程组求解即可.
【小问1详解】
依题意可得()145f a =+=，则1a =,
∵()238f x x x '=+，∴()111f '=，
∴曲线()y f x =在点（1，5）处的切线方程为()5111y x -=-，
即116y x =-；
【小问2详解】
设过原点的切线方程为y kx =，则切点为(),m km ，
则3224,38,
m m km m m k ⎧+=⎨+=⎩,消去k ，整理得3220m m +=，
解得0m =或2m =-，
所以曲线()y f x =存在过坐标原点的切线，且切点的坐标为()0,0或()2,8-．
18.已知函数()e x f x bx =+（e 为自然对数的底数）．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若1b =，当210x x >>时，121212()()()(1)f x f x x x mx mx -<-++恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2）e (,2
-∞.
【解析】
【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分类讨论导数值正负即可作答.
（2）将给定的不等式等价变形，构造函数并借助导数结合函数单调性求解作答.
【小问1详解】
函数()e x f x bx =+的定义域为R ，求导得：()e x f x b '=+，
若0b ≥，则()0f x '>，即()e x f x bx =+在(,)-∞+∞上是增函数；
若0b <，由()0f x '<得ln()x b <-，由()0f x '>得ln()x b >-，即函数()f x 在(,ln())b -∞-上递减，在(ln(),)b -+∞上递增，
所以当0b ≥时，函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当0b <时，函数()f x 递减区间是(,ln())b -∞-，递增区间是(ln(),)b -+∞.
【小问2详解】
当1b =时，()e x f x x =+，122212121212()()()(1)e e x x f x f x x x mx mx mx mx -<-++⇔-<-，
令2()e x x mx ϕ=-，依题意，当210x x >>时，12()()x x ϕϕ<恒成立，即函数()x ϕ在(0,)+∞上单调递增，
因此0x ∀>，()e 20x
x mx ϕ'=-≥，即e 2x m x ≤恒成立，令e (),0x
h x x x =>，求导得：2(1)e ()x
x h x x
-'=，当01x <<时，()0'<h x ，当1x >时，()0'>h x ，因此函数()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，min ()(1)e h x h ==，则2e m ≤，即e 2m ≤，所以实数m 的取值范围为e (,2-∞.
19.关于x 的函数()ln 2(2)f x x x b b =+->，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”.
（1）证明：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈；
（2）现在，我们任取1x ∈(1,a )开始，实施如下步骤：
在()()11,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()2,0x ；
在()()
22,x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()3,0x ；……
在()()
,n n x f x 处作曲线()f x 的切线，交x 轴于点()+1,0n x ；可以得到一个数列{}n x ，它的各项都是()f x 不同程度的零点近似值.
（i ）设()1n n x g x +=，求()n g x 的解析式(用n x 表示+1n x )；
（ii ）证明：当()11,x a ∈，总有1n n x x a +<<.
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i ）()()ln 112n n n n n x x b x g x x -++=
+；（ii ）证明见解析.【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）（i ）由导数的几何意义得曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为12ln 1n n n
x y x x b x +=+--，进而
得()()ln 112n n n
n n x x b x g x x -++=+；
（ii ）令()12ln 1n n n x h x x x b x +=+--，进而构造函数1()()()ln ln 1n n
F x f x h x x x x x =-=--+，结合函数单调性证明1n x a +<，再根据()0,()()0n n f x f x f a '><=证明1()()n n n n n f x x x x f x +'=-
>即可得答案.【小问1详解】
证明：()ln 2(2)f x x x b b =+->，定义域为()0,∞+，
所以，()'120f x x
=+>在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，
因为()()ln1220(2),lnb 2ln 0(2)1b f b b b f b b b b b =+-=-<>=+-=+>>，
所以，存在唯一()1,a b ∈，使得()0f a =，即：()f x 有唯一零点a ，且()1,a b ∈.
【小问2详解】
解：（i）由（1）知()'12f x x
=+，所以，曲线()f x 在()(
),n n x f x 处的切线斜率为12n n k x =+，所以，曲线()f x 在()(),n n x f x 处的切线方程为()()()'n n n y x f f x x x -=-，即
12ln 1n n n
x y x x b x +=+--令0y =得()ln 112n n n
n
x x b x x x -++=+所以，切线与x 轴的交点()ln 112,0n n n
n
x x b x x -+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1ln 112n n n n n x x b x x x +-++=+，所以，()()ln 112n n n
n n
x x b x g x x -++=+.(ii)对任意的()0,n x ∈+∞，由（i ）知，曲线()f x 在()()
,n n x f x 处的切线方程为：12ln 1n n n x y x x b x +=+--，故令()12ln 1n n n
x h x x x b x +=+--，
令1()()()ln ln 1.n n
F x f x h x x x x x =-=--+所以，'11()n n n x x F x x x x x
-=-=，所以，当(0,)n x x ∈时，()0,()F x F x '>单调递增，当,()n x x +∞∈时，()0,()F x F x '<单调递减；所以，恒有()()0n F x F x ≤=，即()()f x h x ≤恒成立，当且仅当n x x =时等号成立，
另一方面，由（i ）知，1()()
n n n n f x x x f x +'=-，且当n x a ≠时，1n n x x +≠，（若n x a =，则()()0n f x f a ==，故任意11...n n x x x a +====，显然矛盾）
因为1n x +是()h x 的零点，
所以11()()()0,
n n f x h x f a ++<==因为()f x 为单调递增函数，
所以，对任意的n x a ≠时，总有1.
n x a +<又因为1x a <，
所以，对于任意*N n ∈，均有n x a <，
所以，()0,()()0.n n f x f x f a '
><=所以1()()
n n n n n f x x x x f x +'=->，综上，当()11,x a ∈，总有1n n x x a
+<<【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数1()()()ln ln 1n n F x f x h x x x x x =-=-
-+，进而结合函数的单调性证明不等式.。