2019-2020学年高中物理三维设计人教版选修3-4浙江专版讲义：第十一章 第2节 简谐运动的描述 Word版含答案

第2节简谐运动的描述
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。

(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。

2．全振动
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。

3．周期(T)和频率(f)
4．相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．简谐运动的振幅大，振动物体的周期一定大。

(×) 2．简谐运动的振幅大，振动物体的最大位移一定大。

(√) 3．简谐运动的快慢可以用频率和振幅来描述。

(×)
[释疑难·对点练]
1．对全振动的理解
正确理解全振动的概念，应注意把握振动的五种特征：
(1)振动特征：一个完整的振动过程。

(2)物理量特征：位移(x )、加速度(a )、速度(v )三者第一次同时与初始状态相同。

(3)时间特征：历时一个周期。

(4)路程特征：振幅的4倍。

(5)相位特征：增加2π。

2．简谐运动中振幅和几个常见量的关系 (1)振幅和振动系统的能量关系：
对一确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定，振幅越大，振动系统能量越大。

(2)振幅与位移的关系：
振动中的位移是矢量，振幅是标量，在数值上，振幅与某一时刻位移的大小可能相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。

(3)振幅与路程的关系：
振动中的路程是标量，是随时间不断增大的，其中常用的定量关系——一个周期内的路程为4倍的振幅，半个周期内的路程为2倍的振幅。

(4)振幅与周期的关系：
在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

3．弹簧振子四分之一周期内的路程
一质点做简谐运动的位移图象如图甲所示。

O 是平衡位置，B 、C 均
为最大位移处，用A 表示振幅，T 表示周期，s 表示T
4
时间内经过的路程。

(1)质点从位置P 向平衡位置O 运动，然后经过O 点运动至Q 点，假设从P 到Q 历时T
4，
那么在这段时间内质点运动的路程如何？比较质点由B 到O 的运动和由P 到Q 的运动，注意到PO 段的运动是相同的；再来比较BP 段和OQ 段的运动，发现BP 段质点运动得慢一
些，OQ 段质点运动得快一些，而两段运动的时间是相同的，所以BP ——
＜OQ ——。

故质点从P 运动到Q 的路程大于从B 运动到O 的路程，即s ＞A 。

(2)质点从Q 点向位置C 处运动，然后再从C 往回运动至M ，假设
运动时间也是T 4
，如图乙所示，那么在这段时间内质点运动的路程如何？
比较质点从O 至C 的运动和从Q 到C 再到M 的运动，注意到QC 段的运动是相同的，只需比较OQ 段和CM 段的运动，容易知道质点在OQ 段比CM 段运动得快，而运动时间相
同，所以OQ ——
＞CM ——。

故质点从Q 运动到C 再到M 的路程小于从O 运动到C 的路程，即s ＜A 。

(3)连续观察质点从P 到Q ，再经C 到M 的过程。

若运动的总时间为T
2
，容易证明，M
和P 关于平衡位置O 对称，质点通过的总路程为2A 。

综上分析，可得到结论：做简谐运动的质点，在向平衡位置运动的过程中，取某一位置开始计时，质点在T
4时间内通过的路程s ＞A ；在远离平衡位置的过程中，取某一位置开
始计时，质点在T
4时间内通过的路程s ＜A ；而如果计时起点就选在最大位移处或者平衡位
置，那么质点在T
4
时间内通过的路程s ＝A 。

[特别提醒] 简谐运动的振幅大，振动物体的位移不一定大，但其最大位移一定大。

[试身手]
1．一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。

当振子
上下振动时，以速率v 水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图象。

y 1、y 2、x 0、2x 0为纸上印迹的位置坐标。

由此图求得，振动的周期为______和振幅为______。

解析：由图象可知，振子在一个周期内沿x 方向的位移为2x 0，水平速度为v ，故周期T ＝2x 0
v ；又由图象知2A ＝y 1－y 2，故振幅A ＝y 1－y 22。

答案：2x 0v y 1－y 2
2
简谐运动的一般表达式为x ＝A sin(ωt ＋φ) (1)x 表示振动物体相对于平衡位置的位移。

(2)A 表示简谐运动的振幅。

(3)ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝2π
T ＝2πf 。

(4)ωt ＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t ＝0时的相位，叫做初相。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)
1．做简谐运动的质点先后通过同一点，速度、加速度、位移都是相同的。

(×) 2．做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。

(√) 3．做简谐运动的质点，位移增大时，其速度一定减小。

(√)
[释疑难·对点练]
1．简谐运动的表达式理解
做简谐运动的物体位移x 随时间t 变化的表达式：x ＝A sin(ωt ＋φ), 由简谐运动的表达式可以直接读出振幅A 、圆频率ω和初相φ。

据ω＝2π
T 或ω＝2πf 可求周期T 或频率f ，可
以求某一时刻质点的位移x 。

2．简谐运动的相位及相位差的理解
(1)ωt ＋φ表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。

它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。

(2)相位差是指两个相位之差，在实际应用中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，它反映出两个简谐运动的步调差异。

设两频率相同的简谐运动的振动方程分别为x 1＝A 1sin(ωt ＋φ1)，x 2＝A 2sin(ωt ＋φ2)，它们的相位差Δφ＝(ωt ＋φ2)－(ωt ＋φ1)＝φ2－φ1。

可见，其相位差恰好等于它
们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差。

(3)若Δφ＝φ2－φ1＞0，则称B 的相位比A 的相位超前Δφ或A 的相位比B 的相位落后Δφ； 若Δφ＝φ2－φ1＜0，则称B 的相位比A 的相位落后|Δφ|或A 的相位比B 的相位超前|Δφ|。

①同相：表明两个振动物体步调相同，相差位Δφ＝0； ②反相：表明两个振动物体步调完全相反，相位差Δφ＝π。

[试身手]
2．两个简谐运动的表达式分别为x 1＝4a sin(4πbt ＋π2)，x 2＝2a sin(4πbt ＋3π
2)。

求它们的
振幅之比，各自的频率。

解析：它们的振幅之比A 1A 2＝4a 2a ＝2
1；
它们的频率相同，都是f ＝ω2π＝4πb
2π＝2b 。

答案：2∶1 频率均为2b
[典例1] B 、C 相距20 cm ，某时刻振子处于B 点，经过0.5 s ，振子首次到达C 点，求：
(1)振子的振幅； (2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s 内通过的路程及位移大小。

[思路点拨] 对做简谐运动的弹簧振子而言，离平衡位置最远的两个点关于平衡位置对称，其距离为2A 。

一个全振动的时间叫做周期，周期和频率互为倒数关系。

简谐运动的位移是振子离开平衡位置的距离。

要注意各物理量之间的区别与联系。

[解析] (1)设振幅为A ，则有2A ＝BC ＝20 cm ，所以 A ＝10 cm 。

(2)从B 首次到C 的时间为周期的一半，因此 T ＝2t ＝1 s ；
再根据周期和频率的关系可得 f ＝1
T ＝1 Hz 。

(3)振子一个周期通过的路程为4A ＝40 cm ，即一个周期运动的路程为40 cm ， s ＝t
T ×4A ＝5×40 cm ＝200 cm
5 s 的时间为5个周期，又回到起始点B ，位移大小为10 cm 。

[答案] (1)10 cm (2)1 s 1 Hz (3)200 cm 10 cm
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n 个周期内通过的路程必为n ·4A ；
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；
③振动物体在T
4内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当
初始时刻在平衡位置或最大位移处时，T
4
内通过的路程才等于振幅。

(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后，能回复到原来的状态。

2．对称性
如图所示，物体在A 和B 之间运动，O 点为平衡位置，C 和D 两点关于O 点对称，则：
(1)时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间经过的时间相等，如t DB ＝t BD ；
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时间相等，图中t OB ＝t BO ＝t OA ＝t AO ，t OD
＝t DO ＝t OC ＝t CO 。

(2)速度的对称
①物体连续两次经过同一点(如D 点)的速度大小相等，方向相反；
②物体经过关于O 点对称的两点(如C 与D )的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

[典例2] 一个质点在平衡位置O 点的附近做简谐运动，它离开O 点运动后经过3 s 时间第一次经过M 点，再经过2 s 第二次经过M 点，该质点再经过________s 第三次经过M 点。

若该质点由O 点出发在20 s 内经过的路程是20 cm ，则质点做振动的振幅为________ cm 。

[思路点拨] 根据简谐运动的周期性和对称性分析解决问题。

[解析] 作出该质点做振动的图象如图所示，则M 点的位置可能有两个，即如图所示的M 1或M 2。

第一种情况：若是位置M 1，由题图可知T 1
4＝3 s ＋1 s ＝4 s ，T 1＝16 s ，根据简谐运动的
周期性，质点第三次经过M 1时所需时间为一个周期减第二次经过M 点的时间，故Δt 1＝16 s －2 s ＝14 s 。

质点在20 s 内(即n ＝
2016＝5
4
个周期)的路程为20 cm ，故由5A 1＝20 cm ，得振幅A 1＝4 cm 。

第二种情况：若是位置M 2，由题图可知3T 24＝3 s ＋1 s ＝4 s ，T 2＝16
3 s 。

根据对称性，
质点第三次经过M 2时所需时间为一个周期减第二次经过M 点的时间，故Δt 2＝16
3
s －2 s ＝10
3
s 。

质点在20 s 内(即n ＝ 20 163＝15
4个周期内)的路程为20 cm ，故由15A 2＝20 cm ，得振
幅A 2＝4
3
cm 。

[答案] 14 4或
103 43
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断： (1)若t 2－t 1＝nT ，则t 1、t 2两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同。

(2)若t 2－t 1＝nT ＋1
2T ，则t 1、t 2两时刻，描述运动的物理量(x 、F 、a 、v )均大小相等，
方向相反。

(3)若t 2－t 1＝nT ＋14T 或t 2－t 1＝nT ＋3
4T ，则当t 1时刻物体到达最大位移处时，t 2时刻物
体到达平衡位置；当t 1时刻物体在平衡位置时，t 2时刻到达最大位移处；若t 1时刻物体在其他位置，t 2时刻物体到达何处就要视具体情况而定。

[课堂对点巩固]
1．如图所示，弹簧振子在BC 间振动，O 为平衡位置，BO ＝OC ＝5 cm ，若振子从B 到C 的运动时间为1 s ，则下列说法正确的是( )
A ．振子从
B 经O 到
C 完成一次全振动 B ．振动周期是1 s ，振幅是10 cm
C ．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D ．从B 开始经过3 s ，振子通过的路程是30 cm
解析：选D 振子从B →O →C 仅完成了半次全振动，所以周期T ＝2×1 s ＝2 s ，振幅A ＝BO ＝5 cm ，A 、B 错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A ＝20 cm ，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm ，C 错误；3 s 的时间为1.5T ，所以振子通过的路程为30 cm ，D 正确。

2．一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下列说法正确的是( )
A ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍
B ．若t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T
2的整
数倍
C ．若Δt ＝T ，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻振子运动的加速度一定相等
D ．若Δt ＝T
2，则在t 时刻和(t ＋Δt )时刻弹簧的长度一定相等
解析：选C 对选项A ，只能说明这两个时刻振子处于同一位置，
设为P ，如图所示，并未说明这两个时刻振子的运动方向是否相同，Δt 可以是振子由P 向B 再回到P 的时间，故认为Δt 一定等于T 的整数倍
是错误的；对选项B ，振子两次到P 位置时速度大小相等、方向相反，但并不能肯定Δt 等
于T
2的整数倍，选项B 也是错误的；在相隔一个周期T 的两个时刻，振子只能位于同一位置，其位移相同，合外力相同，加速度必须相等，选项C 是正确的；相隔T
2的两个时刻，振子的
位移大小相等、方向相反，其位置可位于与P 相对称的P ′处，在P 处弹簧处于伸长状态，在P ′处弹簧处于压缩状态，弹簧长度并不相等，选项D 是错误的。

3．(浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动。

可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20 cm ，周期为3.0 s 。

当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。

地面与甲板的高度差不超过10 cm 时，游客能舒服地登船。

在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( )
A ．0.5 s
B ．0.75 s
C ．1.0 s
D ．1.5 s
解析：选C 由于振幅A 为20 cm ，振动方程为y ＝A sin ωt (从游船位于平衡位置时开始计时，ω＝
2π
T
)，由于高度差不超过10 cm 时，游客能舒服登船，代入数据可知，在一个振动周期内，临界时刻为t 1＝T 12，t 2＝5T
12
，所以在一个周期内能舒服登船的时间为Δt ＝t 2－t 1＝T
3
＝1.0 s ，选项C 正确。

4．弹簧振子以O 点为平衡位置，在B 、C 两点间做简谐运动，在t ＝0时刻，振子从O 、B 间的P 点以速度v 向B 点运动；在t ＝0.2 s 时，振子速度第一次变为－v ；在t ＝0.5 s 时，振子速度第二次变为－v 。

(1)求弹簧振子振动周期T ；
(2)若B 、C 之间的距离为25 cm ，求振子在4.0 s 内通过的路程；
(3)若B 、C 之间的距离为25 cm 。

从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象。

解析：(1)弹簧振子做简谐运动的示意图如图甲所示。

由对称性可
得：T ＝⎝⎛⎭⎫
0.22＋
0.5－0.22 s ×4＝1.0 s 。

(2)B 、C 间的距离为2个振幅，则振幅 A ＝1
2×25 cm ＝12.5 cm 。

振子4.0 s 内通过的路程为： s ＝4.0
T ×4×12.5 cm ＝200 cm 。

(3)根据x ＝A sin ωt ， A ＝12.5 cm ，ω＝2π
T ＝2π。

得x ＝12.5sin 2πt cm 。

振动图象如图乙所示。

答案：(1)1.0 s (2)200 cm (3)x ＝12.5sin 2πt cm 图象见解析图 - - - - - - - - - - - - - - -[课堂小结]- - - - - - - - - - - - - - -
[课时跟踪检测二]
一、单项选择题
1.如图所示，弹簧振子以O 为平衡位置在BC 间做简谐运动，则( )
A ．从
B →O →
C 为一次全振动 B ．从O →B →O →C 为一次全振动 C ．从C →O →B →O →C 为一次全振动
D ．从D →C →O →B →O 为一次全振动 解析：选C 由全振动的概念可知C 正确。

2.如图所示，弹簧振子的频率为5 Hz ，让振子从B 位置开始振动，
并开始计时，则经过0.12 s 时( )
A ．振子位于BO 之间，运动方向向右
B ．振子位于BO 之间，运动方向向左
C ．振子位于CO 之间，运动方向向右
D ．振子位于CO 之间，运动方向向左
解析：选C 因弹簧振子频率为5 Hz ，则周期为0.2 s ，题中所给的时间0.12 s ＝ 3
5T ＜
T ，而T 2＜35T ＜3
4T ，因此在0.12 s 时，振子应位于CO 之间且正向右运动，所以选项C 正确，
A 、
B 、D 错误。

3．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x 后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x (弹性限度内)后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A．1∶1,1∶1 B．1∶1,1∶2
C．1∶4,1∶4 D．1∶2,1∶2
解析：选B弹簧的压缩量即为弹簧振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2。

而对同一振动系统，其周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关，则周期之比为1∶1，选项B正确。

4．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为()
A．15次，2 cm B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
解析：选B已知该简谐运动的周期为2 s，半分钟为15个周期，一个周期的路程为4倍的振幅，故半分钟内振子经过平衡位置的次数为30次；15个周期的路程为60A，即60A ＝60 cm，故A＝1 cm，B正确。

5.物体做简谐运动，其图象如图所示，在t1和t2两时刻，物体的()
A．相位相同
B．位移相同
C．速度相同
D．加速度相同
解析：选C由题图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝A sin ωt, 其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图象知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。

6．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，
把振子拉到A点，OA＝1 cm，然后释放振子，经过0.2 s振子第1
次到达O点，如果把振子拉到A′点，OA′＝2 cm，则释放振子后，
振子第1次到达O点所需的时间为()
A．0.2 s B．0.4 s C．0.1 s D．0.3 s
解析：选A简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况
下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的1
4，即0.2 s，A正确。

二、多项选择题
7．下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法正确的是() A．振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
B．周期和频率的乘积是一个常数
C．振幅增加，周期必然增加，而频率减小
D．做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
解析：选BD 振幅是标量，A 错误；周期和频率互为倒数，即Tf ＝1，B 正确；简谐运动的周期、频率由系统本身决定，与振幅没有关系，所以C 错误，D 正确。

8．一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是( )
A ．质点振动频率为4 Hz
B ．在10 s 内质点经过的路程为20 cm
C ．在5 s 末，质点做简谐运动的相位为32
π D ．t ＝1.5 s 和t ＝4.5 s 两时刻质点的位移大小相等，都是 2 cm
解析：选BD 由题图知T ＝4 s 故f ＝0.25 Hz ，A 错；在10 s 内质点完成的全振动次数为n ＝104＝52
次，在一次全振动过程中质点通过的路程为4A ＝8 cm ，故10 s 内通过的路程为52×8 cm ＝20 cm ，B 对；5 s 末质点的相位为2πT t ＝2π4×5＝52
π，故C 错；由振动方程x ＝A sin 2πT t ＝2sin π2
t 知，当t 1＝1.5 s 时，x 1＝ 2 cm ，当t 2＝4.5 s 时，x 2＝ 2 cm ，故D 对。

9．弹簧振子在AOB 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得A 、B 之间的距离为8 cm ，完成30次全振动所用时间为60 s ，则( )
A ．振子的振动周期是2 s ，振幅是8 cm
B ．振子的振动频率是2 Hz
C ．振子完成一次全振动通过的路程是16 cm
D ．振子通过O 点时开始计时，3 s 内通过的路程为24 cm
解析：CD 由题干知A 、B 之间的距离为8 cm ，则A ＝4 cm ，A 错；周期T ＝6030
s ＝2 s ，所以振子的振动频率为f ＝12
Hz ＝0.5 Hz ，B 错；振子完成一次全振动所通过的路程为4个振幅，即4A ＝16 cm ，C 对；3 s 内通过的路程是6个振幅，即6A ＝24 cm ，D 对。

10.如图所示，弹簧振子的小球在B 、C 之间做简谐运动，O 为B 、C
间的中点，B 、C 间的距离为10 cm ，则下列说法中正确的是( )
A ．小球的最大位移是10 cm
B ．只有在B 、
C 两点时，小球的振幅是5 cm ，在O 点时，小球的振幅是零
C ．无论小球在哪一位置，它的振幅都是5 cm
D ．从任意时刻起，一个周期内小球经过的路程都是20 cm
解析：选CD 小球的最大位移是5 cm ，故A 错误；振幅是小球离开平衡位置的最大距离，即小球在任何位置时振幅都是5 cm ，故B 错误，C 正确；从任意时刻起小球在一个周期内的路程为4A ＝4×5 cm ＝20 cm ，故D 正确。

11．一质点做简谐运动的位移x 与时间t 的关系如图所示，由
图可知()
A．频率是2 Hz
B．振幅是5 cm
C．t＝1.7 s时的加速度为正，速度为负
D．t＝0.5 s时质点所受的合外力为零
解析：选CD由题图可知，质点振动的周期为2.0 s，易得频率为0.5 Hz。

振幅为5 m，A、B选项错误；t＝1.7 s时的位移为负，加速度为正，速度为负，C选项正确；t＝0.5 s时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D选项正确。

三、非选择题
12．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动。

(1)试写出用正弦函数表示的振动方程。

(2)10 s内通过的路程是多少？
解析：(1)简谐运动振动方程的一般表示式为
x＝A sin(ωt＋φ)。

根据题目条件，有：A＝0.08 m，ω＝2πf＝π。

所以
x＝0.08sin(πt＋φ)m。

将t＝0，x＝0.04 m，代入得
0．04 m＝0.08sin φ m，
解得初相位φ＝π
6或φ＝
5
6
π，
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝5
6π。

故所求的振动方程为x＝0.08sin(πt＋5
6
π)m。

(2)周期T＝1
f＝2 s，所以
10 s＝5T，
因1T内的路程是4A，
则10 s内通过的路程s＝5×4A＝20×8 cm＝160 cm。

答案：(1)x＝0.08sin(πt＋5
6
π)m(2)160 cm。