八上数学课件：线段、角的轴对称性(1)

几何语言：
∵点P是线段AB的垂直平分线l上的点，
∴PA＝PB ．
A
l P
C
B
6.如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分 别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则 ∠EAN=__3_2_0_．
7．利用网格线画线段PQ的垂直平分线．
P Q
现在你能回答本节开头提的问题吗？
如图，要在永庆路旁建一个车站C，C车站应建在什么
地方，才能使它到A、B两小区的距离相等？
A小区
B小区
C
永庆路
拓展延伸
已知：如图，AB=CD，AC、BD的垂直平分线EM、EN相 交于点E。 求证： ∠ABE= ∠CDE
常用辅助线：已知线段的垂直平分线时，常考虑将线段垂直平 分线上的点到线段两端的距离作出来.
课堂小结
通过这节课的学习,你有什么收获? 线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
P
证明： ∵MN⊥AB
∴ ∠ POA= ∠ POB=90o
在 ΔPOA和Δ POB中，
AO=BO ∠ POA= ∠ POB
A
OB
PO=PO
∴ ΔPAO ≌Δ PBO
N
∴PA=PB
把△PAO沿直线l翻折， ∵∠POA=∠POB ∴点A与点B重合， 叠 依据基本事实：“两点确定一条直 合 线”，可知PA与PB重合，∴PA=PB 法
情境引入
如图，要在永庆路旁建一个车站C，C车站应建在什么
地方，才能使它到A、B两小区的距离相等？
A小区
B小区
永庆路
为了得到答案，本节课就来研究线段AB有什么性质？
新课讲解
问题1：线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪 里？为什么？
l
12
A
B
A
O
B
线段是轴对称图形，它有两条对称轴：
一条是线段AB的垂直平分线； 另一条是线段AB所在的直线.
问题2：如图，点P是线段AB垂直平分线上的任一点，
PA和PB相等吗？改变点P的位置，结论还成立吗？
M
PA=PB
由此你能得到什么规律？
P
P
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
A
O (P)
B
你能验证这一结论吗？
P
N
已知：直线MN⊥AB,垂足为O,且AO=OB.点P在MN上.
求证： PA=PB
M
又∵ AC=5，BC=4 ∴ △BCD的周长=5+4=9
例2 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC.
证明： ∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，
B
∴PA=PB. 同理 PB=PC. ∴PA=PB=PC.
A M
M'
P
C N N'
课堂练习
1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD
上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ B ）
C
A. 6
B. 5
C. C中AC边上的垂直平分 A 线，如果BC=8cm，AB=10cm，则△EBC的周 长为（B ）
D
B
A．16 cm B．18cm C．26cm D．28cm
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂 直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（D ）
A．80° B．60 C．50° D．40°
4.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分 别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则
∠BAD为（ B ）
A．50° B．70° C．75° D．80°
5.如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE 交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为___1_3___．
解： (1)∵ DE是AB的垂直平分线 ∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距 离相等）
∵ △BCD的周长为8 ∴ BC＝ △BCD的周长－(BD＋CD)
＝8－(AD＋CD＝) 8－AC 又∵ AC=5 ∴ BC=8-5=3
(2)∵ △BCD的周长= BD+DC+BC ∴ △BCD的周长=AD+DC+B=CAC+BC
归纳
线段垂直平分线的性质：
定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
M
几何语言
P
∵点P是线段AB的垂直平分线l上的点， ∴PA＝PB ．
A
B
N
问题3：线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离 相等吗？为什么？ 请你画出图形，试着说明.
解：不相等.连接QB．
根据“线段的垂直平分线上的
点到线段两端点的距离相等”，
因为点Q在AB的垂直平分线上，
所以QA＝QB．
A
于是PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB．
因为三角形的两边之和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
l P
Q
12
O
B
例题精讲
例 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交 AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；
(2) 若BC＝4，求△BCD的周长．