函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案
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函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知函数2
2(2)log (1),1()2
,1x x x f x x +⎧+>-⎪=⎨≤-⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，则下列结论正确的是（ ）
A ．12m <≤
B ．11sin cos 0x x ->
C ．3441x x +>- D
．22
12log m
x x ++10
【答案】ACD 【分析】
画出()f x 的图象，结合图象求得1234,,,,m x x x x 的取值范围，利用特殊值确定B 选项错误，利用基本不等式确定CD 选项正确. 【详解】
画出()f x 的图象如下图所示，
由于关于x 的方程()f x m =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<， 由图可知12m <≤，故A 选项正确. 由图可知12,x x 关于直线2x =-对称，故12
122,42
x x x x +=-+=-， 由(
)
()2
2221x x +=≤-解得3x =-或1x =-，
所以1232,21x x -≤<--<≤-，
3324π-<-
<-，当134x π=-
时，1212sin cos ,sin cos 02
x x x x ==--=，所以B 选项错误. 令()()2
22
1x m x +=≤-，()2
2log 2log 1x m m m +==，()2
2log 21m x +=，
(
)2
22log 1m x +=，12,x x 是此方程的解，
所以()
2
11log 22m x =
+
，或()2
21log 22m x =
+，
故()()
2
222
12112
11
log 422m x x x x x ++=+--+
+
()()
2
12
1122881022x x =++
+≥=+，
当且仅当()()
2
112
11
522,222x x x +=
=-+时等号成立，故D 选项正确.
由图象可知()()2324log 1log 1x x +=-+，
()()2324log 1log 10x x +++=，()()34111x x +⋅+=，4433111,111
x x x x +=
=-++
， 由()()2log 111x x +=>-，解得1x =或1
2
x =-，
由()()2log 121x x +=>-，解得3x =或3
4
x =-， 所以3431
,1342
x x -
≤<-<≤， ()34333311
44145111
x x x x x x +=+
-+=-+++ ()3321511
41
x x +≥+⋅
-=-①. 令()()21134,1,142
1x x x x +=
==-++或12x =-，
所以①的等号不成立，即3441x x +>-，故C 选项正确. 故选：ACD
【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问题，可考虑利用基本不等式来求解.
2．已知函数()
() ()
5
2 log1
,1
22,1
x x
f x
x x
⎧-<
⎪
=⎨
--+≥
⎪⎩
，则方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实根个数可能为（）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】ABC
【分析】
以()1
f x=的特殊情形为突破口，解出1
x=或3或
4
5
或4
-，将
1
2
x
x
+-看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.
【详解】
由基本不等式可得
1
20
x
x
+-≥或
1
24
x
x
+-≤-，
作出函数()
()
()
5
2
log1,1
22,1
x x
f x
x x
⎧-<
⎪
=⎨
--+≥
⎪⎩
的图像，如下：
①当2
a>时，
1
224
x
x
+-≤-或
1
021
x
x
<+-<，
故方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实数根个数为4；
②当2
a=时，
1
224
x
x
+-=-或
1
021
x
x
<+-<或
1
22
x
x
+-=，
故方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实数根个数为6；
③当12
a
<<时，
1
2424
x
x
-<+-<-或
1
021
x
x
<+-<或
1
122
x
x
<+-<
或
1
223
x
x
<+-<，
故方程
1
2
f x a
x
⎛⎫
+-=
⎪
⎝⎭
的实数根个数为8；
④当1
a=时，
1
24
x
x
+-=-或
1
021
x
x
<+-<或
1
21
x
x
+-=或
1
23
x
x
+-=，