函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案

函数的概念与基本初等函数多选题练习题含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1
．已知函数22(2)log(1),1()2,1xxxfxx，若关于x的方程()fxm有四个不等实根1x，

2
x
，3x，41234xxxxx，则下列结论正确的是（ ）

A．12m B
．

11

sincos0xx

C．3441xx D．2212log2mxx的最小值为10
【答案】
ACD
【分析】
画出fx的图象，结合图象求得1234,,,,mxxxx的取值范围，利用特殊值确定B选项错
误，利用基本不等式确定CD选项正确
.
【详解】
画出fx的图象如下图所示，
由于关于x的方程()fxm有四个不等实根1x，2x，3x，41234xxxxx，
由图可知12m，故A选项正确
.

由图可知12,xx关于直线2x对称，故12122,42xxxx，
由22221xx解得3x或1x，
所以1232,21xx，
3324，当13
4
x
时，12122sincos,sincos02xxxx，所以B选

项错误
.
令2221xmx，22log2log1xmmm，22log21mx，

2
22log21mx
，12,xx是此方程的解，

所以211log222mx，或221log222mx，

故


2

222

1211211log2422m
xxxxx





22

11
22

11

11
2282228102222xxxx


，

当且仅当211211522,222xxx时等号成立，故D选项正确
.
由图象可知2324log1log1xx，
2324log1log10xx，
34
111xx
，4433111,111xxxx，

由2log111xx，解得1x或12x，
由2log121xx，解得3x或34x，
所以3431,1342xx，

3433
33

11
44145111xxxxxx


3
3

2151141xx
①.

令21134,1,1421xxxx或12x，
所以①的等号不成立，即3441xx，故C选项正确
.
故选：
ACD

【点睛】
求解有关方程的根、函数的零点问题，可考虑结合图象来求解.求解不等式、最值有关的问
题，可考虑利用基本不等式来求解
.
2
．已知函数52log1,122,1xxfxxx，则方程12fxax的实根个数可能为

（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】
ABC
【分析】

以1fx的特殊情形为突破口，解出1x或3或45或4，将12xx看作整体，利
用换元的思想进一步讨论即可
.
【详解】
由基本不等式可得
120xx或1
24xx
，

作出函数52log1,122,1xxfxxx的图像，如下：

①
当2a时，1224xx或1021xx，

故方程12fxax的实数根个数为4；
②
当2a时，1224xx或1021xx或122xx，

故方程12fxax的实数根个数为6；
③
当12a时，12424xx或1021xx或

1
122xx

或1223xx，
故方程12fxax的实数根个数为8；
④
当1a时，124xx或1021xx或121xx或123xx，
故方程12fxax的实数根个数为7；
⑤
当01a时，1420xx或1324xx，

故方程12fxax的实数根个数为2；
⑥
当0a时，120xx或1324xx，

故方程12fxax的实数根个数为3；
⑦
当0a时，123xx，

故方程12fxax的实数根个数为2；
故选：
ABC
【点睛】
本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题
.

3．已知定义在R
上的函数fx的图象连续不断，若存在常数()ttR，使得

()()0fxttfx
对任意的实数x成立，则称fx是回旋函数.给出下列四个命题中，正确

的命题是（ ）
A
．常值函数()(0)fxaa为回旋函数的充要条件是1t；

B
．若(01)xyaa为回旋函数，则1t；

C
．函数2()fxx不是回旋函数；

D．若fx是2t的回旋函数，则fx在[0]4030，上至少有2015个零点.
【答案】
ACD
【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；C.
利用回

旋函数的定义，令0x，则必有0t ，令1x，则2310tt，推得矛盾；D.根据
回旋函数的定义，推得22fxfx，再根据零点存在性定理，推得零点的个数
.
【详解】
A.若fxa，则fxta，则0ata，解得：1t，故A
正确；

B.
若指数函数01xyaa为回旋函数，则0xtxata，即0tat，则0t，

故B不正确；
C.
若函数2fxx是回旋函数，则220xttx，对任意实数都成立，令0x，则
必有0t ，令1x，则2310tt，显然0t不是方程的解，故假设不成立，该函
数不是回旋函数，故C正确；
D.
若fx是2t的回旋函数，则220fxfx，对任意的实数x都成立，即有


22fxfx
，则2fx与fx异号，由零点存在性定理得，在区间


,2xx

上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x，则函数fx在0,4030上至少存在
2015
个零点，故D正确
.
故选：
ACD
【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题
型
.

4
．已知函数fx满足：当3≤0x时，1xfxex，下列命题正确的是

（ ）
A
．若fx是偶函数，则当03x时，


1xfxex

B．若33fxfx，则32gxfxe在6,0x上有3
个零点

C
．若fx是奇函数，则1x，23,3x，



12
2fxfx

D．若3fxfx，方程20fxkfx在3,3x上有6
个不同的根，则

k
的范围为

23

12
kee

【答案】
BC
【分析】
A选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B
选项，函数fx关于直线3x对

称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当6,0x时，函数

fx
与直线32ye有3个交点可判断；C选项，由函数图像关于原点对称求出函数的

值域进行判断；D选项，函数周期为3，作出函数图像知方程0fx在3,3x上有
两个不同的根，则2312kee时方程fxk在3,3x上有4个不同的根
.
【详解】
A
选项，若03x，则30x，1xfxex，因为函数fx是偶函

数，所以1xfxfxex，A错误；
B
选项，若33fxfx，则函数fx关于直线3x对称，当
3≤0

x

时，2xfxex，当3,2x时，0fx，函数fx单调递减，当
2,0x时，
0fx，函数fx
单调递增，且323fe，


2

1

20fe
，10f，

作出函数大致图像如图所示，则当6,0x时，函数fx与直线32ye有3个交
点，即函数32gxfxe在6,0x上有3个零点，B正确；

C选项，由B
知当[3,0)x时，2[,1)fxe，若函数fx为奇函数，则当

3,3x时1,1fx，所以1x，
2
3,3x
，122fxfx，C正确；

D选项，若3fxfx，则函数fx的周期为3
，作出函数在3,3x上的图像

如图所示，若方程20fxkfx即[]0fxfxk在3,3x上有6个不
同的根，

因为方程0fx在3,3x上有两个不同的根，所以fxk在3,3x上有
4
个不同的根，又323fe，2120fe，所以2312kee，D错误
.
故选：
BC
【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点
与方程的根，综合性较强，属于较难题
.