三角函数的图象和性质(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向19 三角函数的图象和性质
【2022·全国·高考真题】记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ．若
23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭
中心对称，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭（ ）
A ．1
B ．3
2
C ．52
D ．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T 满足
23
T ππ<<，得223ππ
πω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，
所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5
()sin 22
4f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
所以5
sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：A
【2022·全国·高考真题（理）】设函数π()sin 3f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的
取值范围是（ ） A ．513,36⎫
⎡⎪⎢⎣⎭
B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】C
【解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象如下所示：
则
5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
． 故选：C ．
1．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+，常见方法有：
（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函； （2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；
（3）用两角和、差公式或辅助角公式sin cos a wx b wx +将已给函数化成同函．
2．研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述sin()y A wx φ=+或cos()y A wx φ=+的形式，有时会化简为二次函数型：22sin sin y a x b x c =++或22cos cos y a x b x c =++，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意sin cos x x 或的取值范围．
若将已给函数化简为更高次的函数，如22(1sin )cos (1sin )(1-sin )y x x x x =+=+，则换元后可通过导数求解．如：解析式中同时含有sin cos x x ±和sin cos x x ，令t =sin cos x x ±，由关系式
22sin cos 12sin cos t x x x x =±=±（）得到sin cos x x 关于t 的函数表达式．
3．求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型： （1）sin y a x b =+，令sin t x =，则[],(1,1)y at b t =+∈-；
（2）sin cos y a x b x c =++，引入辅助角tan b
a φφ=（）
，化为22)y a b x c φ=+++； （3）2sin sin y a x b x c =++，令sin t x =，则[]2,(1,1)y at bt c t =++∈-； （4）sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+（
），令t =sin cos x x ±， 则2
2
sin cos 12sin cos t x x x x =
±=±（），所以21
()2
t y a bt c -=±++； （5）sin cos a x b
y c x d
+=
+，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用
数形结合法求最值．
关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数sin y x =的对称轴为()2
x k k Z π
π=+
∈，对称中心为(,0)()k k Z π∈；
（2）函数cos y x =的对称轴为()x k k Z π=∈，对称中心为(,0)()2
k k Z π
π+∈；
（3）函数tan y x =函数无对称轴，对称中心为(
,0)()2
k k Z π
∈； （4）求函数sin()(0)y A wx b w φ=++≠的对称轴的方法；令()2
wx k k Z π
φπ+=
+∈，得2
()k x k Z w
π
πφ+-=∈；对称中心的求取方法；令()wx k k Z φπ+=∈，得k x w
πφ
-=
，即对称中心为(
)k b w
πφ
-，． （5）求函数)0()cos(≠++=w b wx A y ϕ的对称轴的方法；令)(Z k k wx ∈=+πϕ得
w
k x ϕππ
-+=2
，即对称中心为))(,2
(Z k b w
k ∈-+ϕππ
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数x y sin =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：
3(00)(1)(0)(1)(20)22
ππππ-，，，，，，，，，．
（2）在余弦函数x y cos =，]20[π，∈x 的图象中，五个关键点是：3(01)(0)(1)(0)(21)22
ππππ-，，，，，，，，，． 函数
x y sin =
x y cos =
x y tan =
图象
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中Z k ∈） 注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是2T ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是2
T ； 正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离
4
T ； 3．)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质 （1）最小正周期：w
T π2=
． （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ，A ]． （3）最值
假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，
⎪⎩
⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;
)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππ
ϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，
⎩⎨
⎧-∈+=+∈=+;
)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值
当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心． 假设00>>w A ，．
定义域 R
R
}2
|{π
π+≠∈k x R x x ，
值域 ]11[，-
]11[，-
R 周期性 π2
π2
π
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
递增区间 ]2
22
2[π
ππ
π+-k k ， ]22[πππk k ，+- )2
2
(π
ππ
π+
-
k k ，
递减区间 ]2
3222[π
ππ
π+
+
k k ， ]22[πππk k +，
无
对称中心 )0(，πk
)02
(，π
π+
k )02(
，π
k 对称轴方程
2
π
π+
=k x
πk x =
无
①对于)sin(ϕ+=wx A y ，
⎪
⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2
000000x wx y wx Z k k wx x
x wx y wx Z k k wx 的对称中心为
时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2
)cos(1
)cos()(0000
00x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置．
（5）单调性． 假设00>>w A ，． ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，
⎪⎩
⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.
)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，
⎩⎨
⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.
)](2,2[)](2,2[减区间增区间；
Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ （6）平移与伸缩
由函数x y sin =的图像变换为函数3)3
2sin(2++=π
x y 的图像的步骤；
方法一：)3
22
(π
π
+
→+
→x x x ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们
“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
−−−−−→−=个单位
向左平移的图像3
sin π
x y 的图像)3
sin(π
+
=x y 12
−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
的图像)3
2sin(π
+
=x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
的图像)3
2sin(2π
+=x y
−−−−−→−个单位
向上平移33)3
2sin(2++
=π
x y
方法二：)3
22
(π
π
+
→+
→x x x ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
的图像x y sin =1
2
−−−−−−−−→所有点的横坐标变为原来的
纵坐标不变
−−−−−→−=个单位
向左平移的图像6
2sin π
x y 的图像)2
2sin()6
(2sin π
π
+
=+
=x x y 2−−−−−−−−−→所有点的纵坐标变为原来的倍
横坐标不变
−−−−−→−+
=各单位
向上平移的图像3)3
2sin(2π
x y 3)3
2sin(2++
=π
x y
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x 而言的，即图像变换要看“变量x ”发生多大变化，而不是“角ϕ+wx ”变化多少．
1．（2022·上海青浦·二模）已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b ，值域为2⎡⎤-⎣⎦，则b a -的取值
范围是（ ） A ．3ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2．（2022·上海松江·二模）设函数()sin()(05)6
f x x π
ωω=+<<图像的一条对称轴方程为12
x π
=
，若1x 、2x 是函
数()f x 的两个不同的零点，则12||x x -的最小值为（ ） A ．6
π
B ．
4
π C ．
2
π D ．π
3．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()()tan 08f x x πωω⎛
⎫ ⎪⎝
⎭=+>的图象与直线()y a a =∈R 的两
相邻交点间的距离为2π，则ω=（ ）
A ．1
4
B ．1
2
C ．1
D ．2
4．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））若函数()sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭图象的两个相邻最高点间的距离
为π，则()f x 在下列区间中单调递增的区间是（ ） A ．π5π,1212⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．π0,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．5π11π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦ 5．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝
⎭，若()f x 的最大值为5
ω
，则ω的取值最多有（ ） A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
1．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ） A ．6
π
=
ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦单调递减
C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2
D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈
2．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎫
⎪⎝⎭单调递增，在2π,2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭
单
调递减，则ω的值为（ ） A ．1
2
B ．1
C ．2
D ．72
3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()2
3sin cos cos 0f x x x x ωωωω=+>，若函数
f (x )在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）
A ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．20,3⎛⎤
⎥⎝⎦
4．（2022·上海长宁·二模）已知函数()sin cos f x x a x =+满足：()π6f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
． 若函数()f x 在区间[]12,x x 上单
调，且满足12()()0f x f x +=，则12x x +的最小值为（ ）
A ．π6
B ．π3
C ．
2π3
D ．
4π3
5．（2022·青海·模拟预测（理））若3π-
，3
π
分别是函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的零点和极值点，
且在区间,155ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上，函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，则下列数值中，ω的可能取值
是（ ） A ．
814
B ．
994
C ．
105
4
D ．
117
4
6．（2022·全国·高三专题练习）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ．若
23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭
中心对称，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭（ ）
A ．1
B ．3
2
C ．52
D ．3
7．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos sin f x x x x =-，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2π B ．()f x 21
-
C ．()f x 的图像关于直线8
x π
=-
对称
D ．将()f x 的图像向右平移
8
π个单位长度，再向上平移12个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数
8．（多选题）（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）已知函数()cos 2sin f x x x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．直线2
x π=
为函数f (x )图像的一条对称轴
B ．函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，再向左平移2
π
后得到()cos22sin 2g x x x =+ C ．函数f (x )在[－
2π，2
π
]上单调递增 D ．函数()f x 的值域为[－259．（多选题）（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）已知函数()2sin 213f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，则下列说法正确的
是（ ）
A ．()()f x f x π+=
B ．6f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称
C ．若125012
x x π
<<<，则()()12f x f x <
D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，有()()()132f x f x f x +>成立
10．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos f x a x x =+（a 为常数，x ∈R ）的图像关于直
线π
6
x =
对称，函数()cos sin g x a x x =-，则下面说法正确的是（ ） A ．将()f x 的图像向左平移
2
π
个单位可以得到()g x 的图像 B ．()g x 的图像关于点,06
π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称
C ．()g x 在,33ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减
D ．()f x 的最大值为1
11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知函数2()322cos 1f x x x =-+，且方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
内
有实数根，则实数a 的取值范围是___________．
12．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数sin()(0)y x ωϕω=+>与直线1
2
y =的交点中，距离最近的两点间距离为
3
π
，那么此函数的周期是___________. 13．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，若
03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 在5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有最大值，没有最小值，则ω的最大值为______． 14．（2022·北京·人大附中三模）已知函数()[)(]sin ,2,00,2x
f x x x
ππ=∈-⋃，给出下列四个结论： ①()f x 是偶函数； ②()f x 有4个零点；
③()f x 的最小值为1
2
-；
④()12f x x <的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
其中，所有正确结论的序号为___________.
15．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数()()sin 06f x x πωω⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭在[]0,π上有且仅有3个零点和2
个极小值点，则ω的取值范围为______．
16．（2022·江西师大附中三模（理））定义在[0,]π上的函数1
(3cos )cos (0)2
y x x x ωωωω=-+>有零点，
且值域1,2M ⎡⎫
⊆-+∞⎪⎢⎣⎭
，则ω的取值范围是__________．
17．（2022·陕西·西安中学一模（理））函数(21)()sin
ln 22
x f x x π
+=--的所有零点之和为_________. 18．（2022·浙江绍兴·模拟预测）函数()sin(π),R f x A x x ϕ=+∈（其中π
0,02
A ϕ>≤≤
）部分图象如图所示，
1
(,)3
P A 是该图象的最高点，M ，N 是图象与x 轴的交点．
(1)求()f x 的最小正周期及ϕ的值； (2)若π
4
PMN PNM ∠+∠=，求A 的值．
19．（2022·上海交大附中模拟预测）已知函数()()1cos 2f x x g x f x ωϕ⎛
⎫==+ ⎪⎝
⎭，，其中[]0,2πϕ∈
(1)若12
ω=且直线π
2x =是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；
(2)若21π3ωϕ==，，求函数()()()h x f x g x =-在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上的最小值；
20．（2022·海南中学高三阶段练习）已知函数()()sin 0,2
f x x π
ωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
，再从条件①、条件②、条件③
这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定. (1)求()f x 的解析式；
(2)设函数()()6g x f x f x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，求()g x 在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值.
条件①：()f x 的最小正周期为π； 条件②：()00f =；
条件③：()f x 图象的一条对称轴为4
x π
=
.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）设ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，函数
()2sin()cos sin f x x A x A =-+．
(1)若1
(0),3,12f a b =-==，求ABC 的面积；
(2)当512x π=时，()f x 取最大值，求()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上的值域.
22．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝
⎭满足：
①()f x 的最大值为2；②06f π⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
；()f x 的最小正周期为π．
(1)求()f x 的解析式；
(2)求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调递增区间与最小值．
1．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()
y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭
中心对称，则2f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭（ ）
A ．1
B ．3
2
C ．52
D ．3
2．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的
取值范围是（ ） A ．513,36⎫
⎡⎪⎢⎣⎭
B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦
3．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）
A ．()f x 在,26ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递减
B ．()f x 在,412ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭上单调递增
C ．()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
4．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos2f x x x =-是 A ．奇函数，且最大值为2
B ．偶函数，且最大值为2
C ．奇函数，且最大值为98
D ．偶函数，且最大值为9
8
5．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33
x x
f x =+的最小正周期和最大值分别是（ ） A ．3π2B ．3π和2
C ．6π2
D ．6π和2
6．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭单调递增的区间是（ ）
A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
7．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，
则（ ）
A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减
B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫
- ⎪⎝⎭
有两个极值点
C ．直线7π
6
x =是曲线()y f x =的对称轴 D ．直线3
y x =
是曲线()y f x =的切线 8．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若3
()f T =9
x π
=
为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．
9．（2021·全国·高考真题（理））已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件
74()()043f x f f x f ππ⎛
⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫---
> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的最小正整数x 为________．
10．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈．
（1）求函数2
2y f
x π⎡⎤
⎛
⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的最小正周期；
（2）求函数()4y f x f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．
1．【答案】D
【解析】π
()sin cos 2)4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤
+
∈++⎢⎥⎣⎦
，因为π
12)24
x -≤+≤2πsin()14x ≤+≤.
正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
， 所以()()max min 5ππ3π5ππ3π--=,-=442424b a b a ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故选：D 2．【答案】B 【解析】由题知
,1262
k k πππ
ωπ+=+∈Z ，则124,k k ω=+∈Z ， 因为05ω<<，所以4ω=
所以22
T
π
π
ω
=
=
易知12||x x -的最小值为24
T π
=. 故选：B 3．【答案】B
【解析】由正切型函数的性质可知，函数()()tan 08f x x πωω⎛
⎫ ⎪⎝⎭=+>的最小正周期为2π，
因此，1
22
πωπ==. 故选：B. 4．【答案】A
【解析】因为()sin (0)3f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭图象的两个相邻最高点间的距离为π，
所以2π=T πω
=
，解得1ω=，()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭. πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，Z k ∈解得π5π
ππ1212
k x k -+≤≤+，Z k ∈. 当0k =，π5π
1212
x -≤≤.
故选：A 5．【答案】A
【解析】∵π0,4x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则πππ,44π44x ωω⎡⎤--⎢⎥⎣-⎦∈
若()f x 的最大值为5
ω
，分两种情况讨论：
①当πππ442ω-
≥，即3ω≥时，根据正弦函数的单调性可知，()max 15f x ω
==，解得5ω=；
②当πππ442
ω-<，即03ω<<时，根据正弦函数的单调性可知，sin y x =在ππ,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以
()max ππsin 0445f x ωω⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，结合函数π
πsin 44y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与5
x y =在()0,3上的图像可知，存在唯一的
()0,3ω∈，使得π
πsin 4
45
ωω⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.
综上可知，若()f x 的最大值为5
ω
，则ω的取值最多有2个.
故选：A ．
1．【答案】D
【解析】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛
⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，
所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫
-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32
k k Z ππϕπ-+=∈，
又2πϕ<
，所以6
π
ϕ=-，故A 不正确； 所以()1
2sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
对于B ，当,2x ππ⎡
⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363
x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间
,
2
单调递增，故B 不正确；
对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16
π
=，故C 不正确； 对于D ，若()f x θ+为偶函数，且()()1
1
1+2sin +2sin +3
63
36f x x x ππθθθ⎡
⎤
⎛⎫=-
=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 所以()1
+3
6
2
k k Z π
π
θπ-=
∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，
故选：D. 2．【答案】A
【解析】依题意得：()2π2π
π2πππsin 1,2πZ 33
6362f k k ωω⎛⎫⎛⎫=+=∴+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
()1
3Z 2
k k ω∴=+∈，
又
()f x 在2π,2π3⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，2ππ4π2π,233
T ω∴≥-∴≥， 解得：34ω≤，10,2
ωω>∴=， 故选：A.
3．【答案】B 【解析】函数
()()()2313sin cos cos 021cos22f x x x x x x ωωωωωω+>++311
2cos222
x x ωω++1sin 262x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
由函数f (x )在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，且2,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，
得26232262k k ππωππππωππ
⎧
+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩
，k ∈Z ，解12233k k ω+≤≤+，k ∈Z .
又因为ω>0，12222
ππ
πω⨯≥-，所以k ＝0， 所以实数ω的取值范围是12,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：B 4．【答案】C 【解析】
2()sin cos 1sin()f x x a x a x ϕ=+=
++，[0,2)ϕπ∈
因为()π6f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭，所以当6x π=时，()f x 取得最大值，即sin()16
πϕ+=
所以
62ππϕ+=，即3
πϕ= 因为12()()0f x f x +=，所以1122(,()),(,())x f x x f x 的中点是函数()f x 的对称中心， 由,3x k k Z π
π+=∈，得,3
x k k Z π
π=-∈
所以
1223
x x k π
π+=-， 所以1222,3
x x k k π
π+=-
∈Z 易知，当0k =时12x x +取得最小值23π
.
故选：C 5．【答案】C
【解析】设函数()y f x =的最小正周期为T ,由题意得1122
,3(,),3
2k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+⎪⎩则3(21),4,24k k ωππϕ+⎧
=⎪='⎪⎨⎪+⎪⎩其中
121221
,(,),k k k k k Z k k k =+⎧∈⎨
=-⎩'在区间,155ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上， 函数()y f x =存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，
所以
22,51515T πππ-=≤解得030,ω<≤即3(21)30,4
k +≤解得19.5.k ≤ 对于D.若117
4ω=，则19.k =由11139(),34k k k Z ππϕπωπ=+=+
∈且0ϕπ<<可知3,4
πϕ=可使1122
,3
(,),3
2k k k Z k π
ωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨
⎪+=+
⎪⎩成立， 当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时117
3(2.7,6.6),44x πππ+∈当011739442x ππ+=或132
π时，()01f x =都成立，
故不符合； 对于C. 若105
4ω=
，则17k =，1135,34
k k ππϕπωπ=+=+
且0ϕπ<<可知 3,4πϕ=可使1122
,3(,),3
2k k k Z k π
ωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=+
⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时105
3(2.5,6)44x πππ+∈，当
010539442x ππ+=时，存在唯一的极大值点0x ，使得()01f x =，故符合条件； 对于B. 若949ω=
，则16,k =由1133,34k k ππϕπωπ=+=+
且0ϕπ<<可知,4
π
ϕ= 可使1122
,3(,),3
2k k k Z k π
ωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨
⎪+=+⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时99
(1.9,5.2)44x πππ+∈， 当
0995442x ππ+=或92
π
时，()01f x =都成立，故不符合； 对于A. 若148ω=，则13,k =由 112734k k ππϕπωπ=+=+且0ϕπ<<可知3,4
π
ϕ=
可使1122
,3(,),3
2k k k Z k π
ωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪∈⎨
⎪+=+
⎪⎩成立，当,155x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，813(2,1,4.8)44x πππ+∈， 当
08135442x ππ+=或92
π时，()01f x =都成立，故不符合； 故选：C 6．【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T 满足
23T ππ<<，得223ππ
πω
<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫
⎪⎝⎭对称，所以3,24
k k Z ππωπ+=∈，且2b =，
所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52
ω=，5
()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
所以5
sin 2124
4f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故选：A
7．（多选题）【答案】BD
【解析】()()21
1cos 221sin cos sin sin cos sin sin 222
242x f x x x x x x x x x π-⎛
⎫=-=-=-=+- ⎪⎝
⎭，故()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=21-，故A 错误，B 正确；
对称轴方程为242x k ππ
π+=+，k ∈Z ，即28k x ππ=
+，k ∈Z ，当8
x π=-时，k 不为整数，故C 错误； 对于选项D ，将()f x 的图像向右平移
8
π
个单位长度后得到2121
2228422
2y x x ππ⎡⎤⎛⎫=
-+-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 然后将此图像向上平移1
2个单位长度， 得到函数()2
2g x x =的图像，()g x 是一个奇函数，故D 正确. 故选：BD.
8．（多选题）【答案】AD
【解析】解：对于A ：()()()()cos 2sin cos 2sin f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，选项A 正确； 对于B ：函数f (x )图像横坐标缩短为原来的一半，得到()2cos 22sin 2f x x x =+，再向左平移2
π
后得到
()cos 22sin 2cos 22sin 222g x x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，选项B 错误；
对于C ：当22
x ππ-
≤≤时，()()cos 2sin cos 2sin 5sin f x x x x x x ϕ=+=++，其中1
tan 2ϕ=，不妨令ϕ为锐
角，2222x x ππππϕϕϕ-≤≤⇒-+≤+≤+
当22
x ππϕϕ-+≤+≤即，,22x ππϕ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递增，
当122
x πϕϕ≤+≤+，即,22x π
πϕ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，f (x )单调递减，选项C 错误；
对于D ：2π是函数的周期，可取一个周期[－2
π，32π
]探究f (x )值域．
而函数f (x )的对称轴为：2x π
=． 因此：可取区间[－2
π
，
2
π
]探究f (x )值域，
当22
x ππ-
≤≤时，()()cos 2sin 5sin f x x x x ϕ=++，其中1tan 2ϕ=，
()sin cos sin 12
2
2
225x x x π
π
π
π
πϕϕϕϕϕϕ⎛⎫
-
≤≤
⇒-
+≤+≤
+⇒-+=-=≤+≤ ⎪⎝⎭
即：()25f x -≤，选项
D 正确． 故选：AD.
9．（多选题）【答案】ACD
【解析】∵函数()2sin 213f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22
T ππ=
=，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；
又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 131663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 131663f πππ⎛⎫⎛⎫
-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以
6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以6f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；
当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭在50,12π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；
因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦3sin 213x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭， ()31,3f x ⎤∴∈⎦，又)
2
313>，即min max 2()()f x f x >，
所以对123,,[,],32
x x x ππ
∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.
故选：ACD.
10．（多选题）【答案】ABC
【解析】由题意πππ()sin cos 666f a =+1322a =21a =+3
a =
3231323()cos (sin ))23
f x x x x x x π
=+==+， 32313()sin (cos )2g x x x x x =-=2355cos cos sin )66
x x ππ=+ 235)6
x π=
+， 将()f x 的图像向左平移2
π
个单位所得图像的解析式为23235))
236
y x x πππ=
++=+()
g x =，A 正确；
235()sin()0666
g πππ
=+=，B 正确； ,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时，573,,62622x πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，此时()g x 是减函数，C 正确；
()f x 23D 错误．
故选：ABC ． 11．【答案】[2,1]-
【解析】2
()3sin 22cos 13sin 2cos 22sin(2)6
f x x x x x x π=-+=-=-，
方程()0f x a -=在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内有实数根，即()a f x =在,36ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦内有实数根，
,36x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，得2()1f x -≤≤，即a 的取值范围是[2,1]-，
故答案为：[2,1]- 12．【答案】k π且Z k ∈
【解析】根据正弦型函数的周期性，当1
sin()2
x ωϕ+=
，则： 若16x πωϕ+=
，最近的另一个值为256
x πωϕ+=， 所以212()3
x x πω-=，而213x x π
-=，可得2ω=.
故此函数的最小正周期是2ππ
ω=，则函数的周期为k π且Z k ∈.
故答案为：k π且Z k ∈ 13．【答案】17
【解析】由03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且()f x 在5,
312ππ⎛⎫
⎪
⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得2()33
k k ωπππ+=∈Z ， 所以61()k k ω=-∈Z .
由()f x 在5,312ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上有最大值，没有最小值，可得1253241234ππππωω
⨯
<-≤⨯，解得618ω<≤，又61()k k ω=-∈Z ，当3k =时，17ω=，则ω的最大值为17，,
故答案为：17 14．【答案】①②
【解析】对于①：因为函数的定义域为[)(]2,00,2ππ-，且()()()sin sin x x
f x f x x
x
---==
=--，所以()f x 是偶函数.故①正确；
对于②：在[)(]2,00,2x ππ∈-⋃，令()0f x =，解得：2x π=-，x π=-，x π=，2x π=.所以()f x 有4个零点.故②正确；
对于③：因为()f x 是偶函数，所以只需研究(]0,2x π∈的情况. 如图示，作出sin y x =（(]0,2x π∈）和
1
2
y x =-的图像如图所示：
在(]0,2x π∈上，有1sin 2
x x >-，所以sin 12x x >-，即()f x 的最小值大于1
2
-.故③错误； 对于④：当[)(]2,00,2x ππ∈-⋃时，()1
2f x x
<可化为：
当0x >时，1sin 2
x ，解得：50,,266x πππ⎛⎫⎛⎤
∈⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；
当0x <时，1sin 2
x >，解得：11
7,66x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭；
综上所述：()12f x x
<的解集为1175,0,,26666πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤
--⋃⋃ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦.故④不正确.
故答案为：①② 15．【答案】1023,36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【解析】如下图，作出简图，由题意知，[)45,x x π∈，设函数()f x 的最小正周期为T ，
因为06x πω=-
，则40077210443T x x x ππωω+=+⋅==，500223226x x T x ππ
ωω
=+=+⋅=，
结合[)45,x x π∈有103ππω≥且236ππω
<，解得1023,36ω⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭．
故答案为：1023,36⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
16．【答案】12,123⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】2
1313sin cos cos
2cos2sin 22226y x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=-+
=-=- ⎪⎝
⎭， 当[0,]x π∈时，2,266
6x πππωπω⎡⎤
-
∈--⎢⎥⎣⎦，
因为函数有零点，所以206π
πω-
≥，解得1
12
ω≥
， 当266
ππ
πω-=-时，12y =-，
因为值域1,2M ⎡⎫
⊆-+∞⎪⎢⎣⎭，所以72666
ππππω-<-≤，解得203ω<≤，
综上，
12123
ω≤≤. 故答案为：12,123⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
17．【答案】12
【解析】由()0f x =，可得(21)sin ln 22x x π+=-，令(21)sin ,ln 22
x y y x π
+==-， 可得函数(21)sin
2
x y π
+=与ln 2y x =-的图象都关于直线2x =的对称， 在同一坐标系内作出函数(21)sin 2
x y π
+=与ln 2y x =-的图象，如图所示，
由图象可得，函数(21)sin 2
x y π
+=与ln 2y x =-的图象有6个公共点，
其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，
这6个点两两关于直线2x =的对称，所以1625344x x x x x x +=+=+=， 所以12345612x x x x x x +++++=， 即函数(21)()sin ln 22
x f x x π
+=--的所有零点之和为12. 故答案为：12.
18．【解析】(1)函数()sin(π)f x A x ϕ=+的最小正周期2π
2π
T =
=， 因1(,)3P A 是函数()f x 图象的最高点，则1ππ2π,Z 32k k ϕ+=+∈，而02πϕ≤≤
，有0k =，π6
ϕ=，
所以函数()f x 的最小正周期为2，π6
ϕ=
. (2)由（1）知，π
()sin(π)6
f x A x =+，由ππ06x +
=得16
x =-，即点1(,0)6M -，由ππ2π6x +=得11
6x ，即点11
(,0)6
N ， 于是得
tan 211()36
A PMN A
∠=
=--，
2
tan 111363
A PNM A
∠=
=-，而π4PMN PNM ∠+∠=， 则22tan tan 3tan()121tan tan 123
A A
PMN PNM PMN PNM PMN PNM A A +
∠+∠∠+∠=
==-∠⋅∠-⋅，又0A >，解得71A =， 所以7
1A =
-. 19．【解析】(1)可知1
1()cos 2
2g x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
因为直线π
2x =是()g x 图象的一条对称轴，故1π1
π,222
k k Z ϕ⨯
+=∈， 解得π2π,2k k Z ϕ=-∈，而[]0,2πϕ∈，故3π2
ϕ=，则1
3()cos π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，
则周期2π
4πT ω
=
=， 再令
13π[2π,π2π],24
x k k k Z +∈+∈，则3ππ4π,4π,22x k k k Z ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦，
故()g x 的递减区间为3ππ4π,4π,22k k k Z ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.
(2)可知π()cos 3g x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
ππ()cos()cos cos cos 3 3h x x x x x ⎛⎫⎛
⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2
1313cos cos cos cos 22x x x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
11cos 23
222x x +=
⋅1π1sin 2264x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
因为π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，故ππ5π2,666x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
则在ππ262x -
=即π
3x =取()h x 最小值，其最小值为111244
-+=-.
20．【解析】(1)选择条件①②： 由条件①及已知得2T π
πω
=
=，所以2ω=. 由条件②()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z .
因为2
π
ϕ<
，所以0ϕ=， 所以()sin 2f x x =， 经检验0ϕ=符合题意. 选择条件①③： 由条件①及已知得2T π
πω
=
=，所以2=ω． 由条件③得()π
π
2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ， 解得π()k k ϕ=∈Z ，因为||2
ϕπ<， 所以0ϕ=， 所以()f x sin2x =．
若选择②③：由条件②()00f =，即sin 0ϕ=，解得()k k ϕπ=∈Z ， 因为2
π
ϕ<
，所以0ϕ=， 由条件③得()π
π
π42k k ω⨯=+∈Z ，
∴2()4k k ω=+∈Z ，则()f x 的解析式不唯一，不合题意.
(2)由题意得()sin 2sin 23g x x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
化简得()sin 2sin 2cos
cos 2sin 33
g x x x x ππ=++ 33sin 223226x x x π⎛
⎫=
=+ ⎪⎝
⎭ 因为04x π≤≤
，所以22663x πππ
≤+≤， 所以当262x ππ+=，即6
x π
=时，()g x 321．【解析】(1)因为()2sin()cos sin f x x A x A =-+，1
(0)2
f =- 所以12sin()cos0sin sin 2A A A -+=-=-，即1sin 2
A =
， 6
A π=
或56π， 由正弦定理可得sin sin a b
A B
=,又3,1a b ==，所以1sin 6B =，
若6
A π=
则13135
sin ,cos ,cos 26A A B B ====
所以353
sin sin()C A B +=+=
1
35+3
sin 2ABC
S
ab C =
= 当56
A π=
则13135
sin ,cos ,cos 26A A B B ====
所以353
sin sin()C A B -=+= 1353
sin 2ABC
S
ab C -=
=
(2)()2sin()cos sin f x x A x A =-+
2sin()cos sin[()]2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x A x x x A x x A =-+--=-+--- sin cos()cos sin()sin(2)x x A x x A x A =-+-=-．
因为()f x 在512x π=
处取得最大值，所以522,Z 122
A k k ππ
π⨯
-=+∈， 即2,Z 3A k k ππ=-+∈．因为(0,)A π∈，所以3
A π=，所以()sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭．
因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以3sin 213x π⎛
⎫<-≤ ⎪⎝
⎭， ()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭上的值域为31⎤⎛⎥ ⎥⎝⎦
. 22．【解析】(1)由条件③，得
2||
π
πω=又0>ω，所以2ω=． 由条件①，得||2A =，又0A >，所以2A =．
由条件②，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又02πϕ<<，所以3
πϕ=．
所以2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
经验证，2n 2)3(si f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭符合题意．
(2)函数sin y x =的单调递增区间为222,2()k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦．
由222()2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈，得5()1212
k x k k Z ππππ-
≤≤+∈．又因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，
所以()f x 在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，单调递减区间为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以当4233x ππ+=，即2x π
=时，()f x 取得最小值，min ()32π⎛⎫== ⎪⎝⎭f x f
故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，最小值为3-
1．【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T 满足
23
T ππ<<，得223ππ
πω<<，解得23ω<<， 又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，
所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5
()sin 22
4f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，
所以5
sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
故选：A 2．【答案】C
【解析】解：依题意可得0>ω，因为()0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎛⎫+
∈+ ⎪⎝⎭
， 要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象如下所示：
则
5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
． 故选：C ． 3．【答案】C
【解析】因为()22
cos sin cos2f x x x x =-=．
对于A 选项，当2
6
x π
π
-<<-时，23x π
π-<<-
，则()f x 在,26ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递增，A 错； 对于B 选项，当4
12
x π
π
-
<<
时，22
6x π
π
-
<<
，则()f x 在,412ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不单调，B 错； 对于C 选项，当03
x π
<<时，2023
x π<<
，则()f x 在0,3π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
74
12x π
π<<
时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，D 错．
故选：C ． 4．【答案】D
【解析】由题意，()()()()cos cos 2cos cos2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，
又2
2
19()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛
⎫=-=-++=--+ ⎪⎝
⎭，
所以当1
cos 4x =时，()f x 取最大值98
． 故选：D ． 5．【答案】C
【解析】由题，22()sin
cos 223s 33334x x x x f x x π=+=⎛+⎫
⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2
6
13
T
2
故选：C ． 6．【答案】A
【解析】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭，
对于函数()7sin 6f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，
解得()2223
3
k x k k Z π
π
ππ-
<<+
∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，A 选项满足条件，B 不满足条件； 取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫
⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，CD 选项均不满足条件． 故选：A ． 7．【答案】AD
【解析】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ， 即4π
π,3
k k ϕ=-+∈Z ，
又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=
，故2π()sin 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
对A ，当5π0,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减； 对B ，当π11π,1212x ⎛⎫
∈- ⎪
⎝⎭
时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π
232x +=，解得5π12x =，即5π12
x =为函数的唯一极值点；
对C ，当7π6x =时，2π
23π3
x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；
对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭， 解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ， 从而得：πx k =或π
π,3
x k k =
+∈Z ， 所以函数()y f x =在点3⎛ ⎝⎭
处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-， 切线方程为：3
(0)y x =--即3y x =-． 故选：AD ． 8．【答案】3
【解析】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）
所以最小正周期2π
T ω=
，因为()()2π3cos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫
=⋅+=+== ⎪⎝⎭
又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又π
9
x =
为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，
因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=； 故答案为：3 9．【答案】2
【解析】由图可知313341234
T πππ=
-=，即2T ππω==，所以2ω=； 由五点法可得23
2
π
π
ϕ⨯
+=
，即6
π
ϕ=-
；
所以()2cos 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
因为7()2cos 143f π11π⎛⎫
-
=-= ⎪⎝⎭
，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；
所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ
--->可得()1f x >或()0f x <； 因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫
=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，
解得,36
k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ
，
可得x 的最小正整数为2．
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛
⎫=-< ⎪⎝
⎭，符合题意，可得x 的最
小正整数为2． 故答案为：2．
10．【解析】（1）由辅助角公式得()sin cos 24f x x x x π⎛
⎫=+=+
⎪⎝⎭
， 则2
2
233322sin 1cos 21sin 22442y f
x x x x x ππππ⎡
⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫
=+=+=+=-+=- ⎪ ⎪
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
⎣
⎦⎛⎫
⎪⎭⎦⎝
⎣
， 所以该函数的最小正周期22T π
π=
=； （2）由题意，()222sin sin 444y f x f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
222
2sin 22cos x x x x x x ⎫=⋅+=⎪⎪⎝⎭
1cos 2222222222sin 224x x x x x π-⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭， 由0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可得32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以当242x ππ-=即38x π=时，函数取最大值2
1。