【精品中考数学】2019年北京市初三数学二模分类汇编-第15讲 新定义压轴题

【2019·房山二模】1．对于平面直角坐标系中的点P 和⊙C，给出如下定义：若⊙C 上存在点A ，使得∠APC=30°，则称P 为⊙C 的半角关联点.
当⊙O 的半径为1时， （1）在点D （
12，-12
），E （2，0），F （0，32）中，⊙O 的半角关联点是__________； （2）直线l ：3
2y x =-
-交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，若直线l 上的点P （m ，n ）是⊙O 的半角关联点，求m 的取值范围. 【答案】(1) D 、E
(2) (23,0),(0,2)M N -
以O 为圆心,ON 长为半径画圆，交直线MN 于点G ， 可得 m ≤0
设小圆⊙O 与y 轴负半轴的交点为H ， 连接OG ∵ M （23，∴ OM =23，tan∠=
3
∴ ∠∴ △ ∴ GH ∴ 点G 3
x -3-，∴ m ≥3- 3-≤第15讲 新定义压轴题
⊙C ，给出如下定义:
P 为图形M 上任意一点，Q 为⊙C 上任意一点，如果P ,Q 两点间的距离有最小值，那么
称这个最小值为图形M 到⊙C 的“圆距离”，记作d （M -C ）. （1）点C 在原点O 时，
①记点A (4,3)为图形M ,则d （M -O ）=______；
②点B 与点A 关于x 轴对称，记线段AB 为图形M ,则d （M -O ）=______；
③记函数4y kx =+（0k >）的图象为图形M ，且d （M -O ）1≤，直接写出k 的取值范围；
（2）点C 坐标为（t ,0）时,点A ，B 与（1）中相同，记∠AOB 为图形M ，且d （M -C ）=1，直接写出t 的值.
【答案】解：（1）①4 ②3
③k （2）10
t=2t=
3
或 【2019·西城二模】3．对于平面内的∠MAN 及其内部的一点P ，设点P 到直线AM ，AN 的距
离分别为d1，d2，称12d d 和2
1d d 这两个数中较大的一个为点P 关于∠MAN 的“偏率”.在平面
直角坐标系xOy 中，
（1）点M ，N 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点.
①若点P 的坐标为（1，5），则点P 关于∠MON 的“偏率”为____________；
②若第一象限内点Q （a ，b ）关于∠MON 的“偏率”为1，则a ，b 满足的关系为____________； （2）已知点A （4，0），B （2，
，连接OB ，AB ，点C 是线段AB 上一动点（点C 不与点A ，B 重合）. 若点C 关于∠AOB 的“偏率”为2，求点C 的坐标；
（3）点E ，F 分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴上的两个点，动点T 的坐标为（t ，4），⊙T 是以点T 为圆心，半径为1的圆. 若⊙
T 上的所有点都在第一象限，且关于∠EOF 的“偏率”
t 的取值范围. 【答案】解：（1）①5； ②a=b ；
（2）∵点A （4,0），B （2,23），
∴OA=4，OB=22
+(23)2
=4,AB=(4-2)2
+(23)2
=4 ∴OA=OB=AB
∴△OAB 是等边三角形 ∴∠OAB=∠OBA=60°
过点C 作CD ⊥OA 于点D ，CH ⊥OB 于点H ，如图， 则∠CDA=∠CHB =90° ∴△ACD∽△BCH ∴CD CH =CA CB
. ∵点C 关于∠AOB 的“偏率”为2， ∴CD CH =2或CH
CD =2. 当CD CH =2时，则CA
CB =2. ∴CA=23AB=83
.
∴DA=CAcos60°=43，CD=CAsin60°=43
3,
∴OD=OA -DA=8
3
.
∴点C 的坐标为（83，43
3
）
同理可求，当CH CD =2时，点C 的坐标为（103，23
3）。

∴点C 的坐标为（83，433）或（103，23
3）
（3）1＜t ＜23
3
或t ＞2+4 3
【2019·东城二模】4．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P 和直线AB ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为直线AB 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P 和直线AB 之间的“确定距离”，记作d （P ，直线AB ）． 已知A(2，0)，B(0，2)． （1）求d （点O ，直线AB ）；
（2）⊙T 的圆心为(,0),T t 半径为1，若d(⊙T ，直线AB)≤1，直接写出t 的取值范围； （3）记函数,(11,0)y kx x k =-≤≤≠的图象为图形Q ．若d(Q ，直线AB)=1，直接写出k 的值． 【答案】(1)∵A(2，0)，B(0，2),
∴△AOB 是等腰直角三角形， 如图，作OH ⊥AB 于点H ，
∴点
H 是AB 的中点. ∵AB=2√2，
∴d （点O ，直线AB ）=OH=
√2； （2
）22t -≤≤+（3）3k =-+1k =-【2019·海淀二模】5．对于平面直角坐标系xOy 中的两个图形M 和N ，给出如下定义：
若在图形M 上存在一点A ，图形N 上存在两点B ，C ，使得△ABC 是以BC 为斜边且
BC =2的等腰直角三角形，则称图形M 与图形
N 具有关系()M N ，φ．
（1）若图形X 为一个点，图形Y 为直线y x =，图形X 与图形Y 具有关系()X Y ，φ，
则点1(0P ，2
(11)P ，，3(22)P -，中可以是图形X 的是_____； （2）已知点()20P ，
，点()02Q ，，记线段PQ 为图形X ． ①当图形Y 为直线y x =时，判断图形X 与图形Y
是否既具有关系()X Y ，φ又具有关系()Y X ，φ，如果是，请分别求出图形X 与图形Y 中所有点A 的坐标；如果不是，请说明理由；
②当图形Y 为以(0)T t ，T 时，若图形X 与图形X 具有关系()X Y ，φ，求t 的取值范围．
【答案】（1）1P ； （2）① 是，
图1 图2
如图1，在直线y x =上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A ，在到直线y x =距离为1的两条平行直线上. 这两条平行直线与PQ 分别交于1A ，2A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),X Y ϕ.
直线y x =与线段PQ 交于点M （1，1），过点M 作MH ⊥y 轴于H ，与1A B 交于点N ，
则11MA =，22MN =
，可得1A （212-，212
+）. 同理可求得 2A （212+
，2
12
-）. 如图2，在线段PQ 上取点B ，C ，且BC =2，则满足△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形的点A 在图中的两条线段上，这两条线段与直线y x =交于3A ，4A 两点. 故图形X 与图形Y 满足(),Y X ϕ.
同上可求得3A （212-
，212-），4A （212+，2
12
+）. ② 51t -≤≤-或225t ≤≤.
【2019·朝阳二模】6．1(1,)2M --，1(1,)2
N -是平面直角坐标系xOy 中的两点，若平面内
直线MN 上方的点P 满足：45°≤∠MPN ≤90°，则称点P 为线段MN 的可视点． （1）在点11(0,)2A ，21(,0)2
A ,32)A ,4(2,2)A 中，线段MN 的可视点为_____； （2）若点
B 是直线1
2
y x =+
上线段MN 的可视点，求点B 的横坐标t 的取值范围； （3）直线(0)y x b b =+≠与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，若线段CD 上存在线段MN
的可视点，直接写出b 的取值范围．
【答案】解：（1）A 1，A 3；
（2）如图，以（0，12-
）为圆心，1为半径作圆，以（0，1
2
2为半径作圆，两圆在直线MN 上方的部分线1
2
y x =+
分别交于点E ，F ． 与直
可求E ，F 两点坐标分别为（0，
12）和（1，32
）． 只有当点B 在线段EF 上时，满足45°≤∠MBN ≤90°，点B 是线段MN 的可视
点．
∴点B 的横坐标t 的取值范围是01t ≤≤．
（2）
1522
b ≤≤或33
22b -<≤-．
【2019·门头沟二模】7．对于平面直角坐标系xOy 中的动点P 和图形N ，给出如下定义：
如果Q 为图形N 上一个动点，P ，Q 两点间距离的最大值为d max ，P ，Q 两点间距离的最小值为d min ，我们把d max + d min 的值叫点P 和图形N 间的“和距离”，记作(),d P N 图形． （1）如图，正方形ABCD 的中心为点O ，A （3，3）．
① 点O 到线段AB 的“和距离”(),d O AB =线段 ；
② 设该正方形与y 轴交于点E 和F ，点P 在线段EF 上，
(),7d P ABCD =正方形， 求点P 的坐标．
（2）如图2，在（1）的条件下，过C ，D 两点作射线CD ，连接AC ，点M 是射线CD 上
的一个动点，如果()62,632d M AC <<+线段，直接写出M 点横坐标t 取值范
围．
y E
B
A
1
2345
y
x
F
E
D C
B
A
–1
–2
–3–4
–51
2345–1–2–3–4–51
2
3
4
5
6
O 图1
x
y P F
E
D
C
B
A
–1
–2
–3–4
1
234
–1–2–31
2
3
4
O
【答案】解：（1）① 323+；
② 如图，设P （0，t ）. ∵ 点P 在线段EF 上， ∴ -3≤t ≤3 .
当0≤t ≤3时，由题意可知d max =PC ，d min =PE . ∴ PE = 3-t ，PF = t +3，CF =3. ∵(),7d P ABCD =正方形， ∴ PC + PE =7. ∴ PC = 4+ t .
在Rt △PCF 中，由勾股定理得 ()()2
2
2433t t +=++， 解得 1.t = ∴ P （0，1）.
当0＞t ≥-3时，由对称性可知P （0，-1）. 综上，P 的坐标为（0，1）和（0，-1）.
（2）3 3.t -＜＜
【2019·平谷二模】8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P’，当点P’在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．
已知A （1,0），B （0,2），C （3,3） （1）当⊙O 的半径为1时，
①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ； ②已知点M 在直线3
23
y x =-
+上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；
（2）已知点D ()
23,0 ，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T （t ，－1），半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．
【答案】解：（1）①B ；
②03m ≤≤
（2）33433t ≤≤．
【2019·顺义二模】9．对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M (1x ，1y )，N (2x ，2y )，
给出如下定义：
点M 与点N 的“折线距离”为：2121),(y y x x N M d -+-=．
例如：若点M (-1，1)，点N (2，-2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：
(,)121(2)336d M N =--+--=+=．
根据以上定义，解决下列问题： (1) 已知点P (3，- 2) ．
① 若点A (-2，-1)，则d (P ，A )= ；
② 若点B (b ， 2)，且d (P ，B )=5，则b = ；
③ 已知点C （m , n ）是直线y x =-上的一个动点，且d (P ，C )<3 ，求m 的取值
范围．
(2) ⊙F 的半径为1，圆心F 的坐标为(0，t )，若⊙F 上存在点E ，使d (E ，O )=2，直接写出t 的取值范围．
【答案】解：(1) ① )1()2()2(3),(---+--=Q P d =6 ② 5432)2(3),(=+-=--+-=b b H P d
∴ 13=-b ∴
b =2或4
③ 3
2323)2(3),(<-+-=+-+-=--+-=m m m m n m C P d
即数轴上表示数m 的点到表示数3的点的距离与到表示数2的点的距离之和
小于3，所以1＜m ＜4
(2) 223322-≤
≤-≤≤-t t 或
【2019·怀柔二模】10．在平面直角坐标系xOy 中，对于两个点A ，B 和图形ω， 如果在
图形ω上存在点P ，Q （P ，Q 可以重合），使得AP=2BQ ，那么称点A 与点B 是图形ω的一对“倍点”．
已知⊙O 的半径为1，点B （0，3）．
（1）①点B 到⊙O 的最大值 ，最小值 ；
②在A 1（5，0），A 2（0，10），A 3（2，2）这三个点中，与点B 是⊙O 的一对“倍点”的是 ；
（2）在直线b +=
x y 3
3
上存在点A 与点B 是⊙O 的一对“倍点”，求b 的取值范围； （3）正方形MNST 的顶点M （m ，1），N （m+1，1），若正方形上的所有点与点B 都是⊙O
的一对“倍点”，直接写出m 的取值范围．
【答案】解：（1）①4,2 ② A 1 （2）∵O 到直线b +=
x y 3
3
的距离是9.∴36±=b ∴3636≤≤-b （3）7722≤
≤m -1 或2277-≤≤-
m -1
【2019·丰台二模】11．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A 、B ，使得点P 在射线BC 上，且∠APB=1
4∠ACB （0°<∠ACB<180°），则称P
为⊙C 的依附点。

（1）当⊙O 的半径为1时，
①已知点D （-1，0），E （0，-2），F （2.5，0），在点D 、E 、F 中，⊙O 的依附点是
；
②点T 在直线y=-x 上，若T 为⊙O 的依附点，求点T 的横坐标t 的取值范围；
（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+2与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，若线段MN 上的所有点都是⊙C 的依附点，直接写出圆心C 的横坐标m 的取值范围 【答案】解：（1）①E ，F ；
②t t <<<<
（2）42m -<<-4m <<【2019·石景山二模】12．对于平面直角坐标系xOy 中的点P ，Q ，给出如下定义：若P ，Q 为某个三角形的顶点，且边PQ 上的高h ，满足h=PQ ，则称该三角形为点P ，Q 的“生成三角形”.
（1）已知点A (4,0)，
①若以线段OA 为底的某等腰三角形恰好是点O ，A 的“生成三角形”，求该三 角形的腰长；
②若Rt △ABC 是点A ，B 的“生成三角形”，且点B 在x 轴上，点C 在直线
25y x =-上，则点B 的坐标为_________________________________；
（2）⊙ T 的圆心为点T )0,2(，半径为2，点M 的坐标为)6,2(，N 为直线4+=x y 上
一点，若存在Rt △MND ，是点M ，N 的“生成三角形”，且边ND 与⊙ T 有公共
11
点，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．
【答案】解：（1）①如图，不妨设满足条件的三角形为等腰△OAR ，
则OR=AR ．
过点R 作RH ⊥OA 于点H ，
∴OH=HA ．
∵以线段OA 为底的等腰△OAR 恰好是点O ，A 的“生成三角形”， ∴RH = OA=4．
∴OR=
即腰长为
②（1，0）（3，0）（7，0）
若A 为直角顶点时，点B 的坐标为（1，0）或（7，0）；
若B 为直角顶点时，点B 的坐标为（1，0）或（3，0） 综上，点B 的坐标为（1，0），（3，0）或（7，0）.
（2）若N 为直角顶点：10N x -≤≤；
若M 为直角顶点：62N x -≤≤-；
综上：60N x -≤≤．
4。