(安徽专版)九年级数学下册 24.2 圆的基本性质习题 (新版)沪科版

24.2 圆的基本性质
第1课时圆的相关概念及点与圆的位置关系
01基础题
知识点1圆的相关概念
1．下列说法中，不正确的是（B）
A．直径是弦
B．半径确定了，圆就确定了
C．圆上的点到圆心的距离都相等
D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
2．半径为5的圆的一条弦长不可能是（D）
A．3 B．5 C．10 D．12
3．如图所示，图中有1条直径，有3条弦，以E为端点的劣弧有5条，以A为端点的优弧有4条．
第3题图第4题图
4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O 的半径长为5．
知识点2点与圆的位置关系
5．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：（1）当0<r<3时，点A，B在⊙C外．
（2）当3<r<4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
02中档题
6．（xx·蚌埠模拟）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（－
3，4），则点M 与⊙O 的位置关系为（A ）
A ．M 在⊙O 上
B ．M 在⊙O 内
C ．M 在⊙O 外
D ．M 在⊙O 右上方
7．一个点到圆的最小距离为6 cm ，最大距离为9 cm ，则该圆的半径是（C ）
A ．1.5 cm
B ．7.5 cm
C ．1.5 cm 或7.5 cm
D ．3 cm 或15 cm
8．（xx·枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（B ）
A ．22＜r ＜17
B .17＜r ＜32
C .17＜r ＜5
D ．5＜r ＜29
第8题图 第9题图
9．（xx·淮北模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，已知∠AOD＝50°，AD ∥OC ，则∠BOC＝65°．
10．如图所示，在△ABC 中，BD ，CE 是两条高线，求证：B ，C ，D ，E 四点在同一个圆上．
证明：取BC 的中点O ，连接OD ，OE ，
∵BD ，CE 是△ABC 的两条高线， ∴∠BDC ＝∠BEC＝90°.
∴OD ＝OE ＝1
2BC ＝OB ＝OC （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴B ，C ，D ，E 四点在以点O 为圆心，BC 的一半长为半径的圆上．
第2课时 垂径分弦
01 基础题
知识点1 圆的对称性
1．两个同心圆的对称轴（D ）
A ．仅有1条
B ．仅有2条
C ．仅有4条
D ．有无数条
知识点2 垂径定理及其推论
2．（xx·张家界）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE ＝（A ）
A ．8 cm
B ．5 cm
C ．3 cm
D ．2 cm
第2题图 第3题图
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为M ，下列结论不成立的是（D ）
A ．CM ＝DM
B .CB ︵＝BD ︵
C ．∠AC
D ＝∠ADC
D ．OM ＝MD
4．（xx·芜湖模拟）如图，将半径为2 cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（D ）
A ．2 cm
B . 3 cm
C ．2 5 cm
D ．2 3 cm
第4题图 第5题图
5．如图，在⊙O 中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径是2__cm ．
6．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是4≤OM≤5．
7．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB的中点E，交CD于点F，试问：点F是CD的中点吗？
解：点F是CD的中点．
理由：∵直径MN平分不是直径的弦AB，
∴MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
∴CF＝FD.
∴点F是CD的中点．
知识点3垂径定理的实际应用
8．（教材P16例3变式）（xx·安徽模拟）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7 m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5 m，则水面AB的宽度是（A）
A．1.8 m B．1.6 m
C．1.2 m D．0.9 m
9．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中CD ︵，点O 是CD ︵
的圆心，CD ＝600 m ，E 为CD ︵
上一点，且OE⊥CD 于点F ，EF ＝90 m ，则这段弯路的半径是多少？
解：连接OD.
设这段弯路的半径为R m. ∵OE ⊥CD ，CD ＝600 m ， ∴DF ＝1
2
CD ＝300 m.
在Rt △DOF 中，OD 2＝OF 2＋DF 2， 即R 2＝（R －90）2＋3002. 解得R ＝545.
答：这段弯路的半径是545 m.
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径” 10．下列说法正确的是（D ）
A ．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B ．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C ．过弦的中点的直径垂直于弦
D ．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
02 中档题
11．（xx·合肥期末）如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（C ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第11题图 第12题图
12．（xx·淮北相山区四模）如图，⊙O 过点B ，C ，圆心O 在等腰Rt △ABC 的内部，∠BAC ＝90°，OA ＝2，BC ＝8，则⊙O 的半径为（C ）
A . 5
B ．5
C ．2 5
D ．6
13．（xx·嘉兴）如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为53
3
cm .
14．已知⊙O 的半径为5，弦AB ＝6，P 是AB 上任意一点，点C 是劣弧AB ︵
的中点．若△POC 为直角三角形，则PB 的长度为1或5．
15．如图，直线AC 与⊙O 交于点B ，C ，直线AD 过圆心O.若⊙O 的半径是5，且∠DAC ＝30°，AD ＝13，求弦BC 的长．
解：过点O 作OM⊥BC 于点M ，则BC ＝2MC. ∵AD ＝13，OD ＝5， ∴AO ＝8.
∵∠DAC ＝30°， ∴OM ＝1
2AO ＝4.
在Rt △OCM 中，
MC ＝OC 2－OM 2＝52－42＝3. ∴BC ＝2MC ＝6.
16．（xx·淮北模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD.
解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，
OA＝1 m，
∴OE＝0.8 m.
∵水管水面上升了0.2 m，
∴OF＝0.8－0.2＝0.6（m）．
∴CF＝OC2－OF2＝0.8 m.
∴CD＝1.6 m.
03链接中考
17．（xx·合肥包河区二模）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D，E为BC延长线上一点，AE＝10，则CE的长为2．
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
01 基础题
知识点1 圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是（D ）
2．如图，⊙O 的半径是1，B ，C 是圆周上的两点，∠BOC ＝36°，则劣弧BC ︵
的度数是（B ）
A ．18°
B ．36°
C ．72°
D ．条件不足，无法求出
3．已知⊙O 的半径为1，弦AB 的长为1，则弦AB 所对的圆心角为60度．
知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
4．（xx·淮北模拟）如果两个圆心角相等，那么（D ）
A ．这两个圆心角所对的弦相等
B ．这两个圆心角所对的弧相等
C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D ．以上说法都不对
5．如图，在⊙O 中，若点C 是AB ︵
的中点，∠A ＝50°，则∠BOC＝（A ）
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．60°
第5题图 第6题图
6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝35°，则∠AOE＝75°．
7．如图，D ，E 分别是⊙O 的半径OA ，OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC ︵
与BC ︵
的长度的大小关系是相等．
8．如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ︵＝CE ︵
.BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？
解：BE ＝CE.理由如下： ∵AB ，DE 是⊙O 的直径， ∴∠AOD ＝∠BOE. ∴AD ︵＝BE ︵. ∵AD ︵＝CE ︵， ∴BE ︵＝CE ︵.
∴BE ＝CE.
9．（xx·安庆期末）如图，M ，N 分别为⊙O 中两条不平行弦AB 和CD 的中点，且AB ＝CD.求证：∠AMN ＝∠CNM.
证明：连接OM ，ON.
∵O 为圆心，M ，N 分别为弦AB ，CD 的中点，
∴OM ⊥AB ，ON ⊥CD. ∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.
∴∠OMN ＝∠ONM.
∵∠AMN ＝90°－∠OMN， ∠CNM ＝90°－∠ONM， ∴∠AMN ＝∠CNM.
易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
10．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为（B ）
A ．AB>CD
B ．AB ＝CD
C ．AB<C
D D ．不能确定
02 中档题
11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB ，AC 于点D ，E ，则BD ︵
的度数为（C ）
A ．26°
B ．64°
C ．52°
D ．128°
第11题图
第13题图
12．已知⊙O 中，AB ︵＝2CD ︵
，则弦AB 和2CD 的大小关系是（C ）
A ．A
B ＞2CD B ．AB ＝2CD
C ．AB ＜2C
D D ．不能确定
13．如图所示，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN ︵
的中点，点P 是直径MN 上一动点．若⊙O 的直径为2，则AP ＋BP 的最小值是2．
14．如图，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F ，求证：
AE ＝CD.
证明：连接AC.
∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵的三等分点，
∴∠AOC ＝∠COD＝30°.
∴AC ＝CD.
又∵OA＝OC ，∴∠ACE ＝75°.
∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，
∴∠OAB ＝45°.
∴∠AEC ＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∴∠ACE ＝∠AEC.
∴AE ＝AC.
∴AE ＝CD.
15．（教材P 19例4变式）如图，A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点．
（1）求∠BOC 的度数；
（2）若AB ＝3，求⊙O 的半径长及S △ABC .
解：（1）∵A，B ，C 为⊙O 上的三等分点，
∴AB ︵＝BC ︵＝AC ︵.
∴∠BOC ＝13
×360°＝120°. （2）过点O 作OD⊥AB 于点D ，
∵A ，B ，C 为⊙O 上的三等分点，
∴AB ＝AC ＝BC ＝3，
即△ABC 是等边三角形．
∴∠BAO ＝∠OBA＝30°，AD ＝12AB ＝32
. ∴DO ＝
32，OA ＝3，即⊙O 的半径长为 3. ∴S △ABC ＝3×12DO·AB＝934
.
03 链接中考
16．（教材P 19例5变式）如图1，PC 是⊙O 的直径，PA 与PB 是弦，且∠APC＝∠BPC.
（1）求证：PA ＝PB ；
（2）如果点P 由圆上运动到圆外，PC 过圆心，如图2，是否仍有PA ＝PB ？为什么？
（3）如图3，如果点P 由圆上运动到圆内，那么PA ＝PB 是否仍然成立？
解：（1）证明：过点O 作O E⊥PA，OF ⊥PB ，垂足分别为E ，F ，
∵∠APC ＝∠BPC，∴OE ＝OF.
∴PA ＝PB.
（2）仍有PA ＝PB.理由如下：
过点O 作OG⊥PA，OH ⊥PB ，垂足分别为G ，H ，
∵∠APC ＝∠BPC，∴OG ＝OH.
又∵OP＝OP ，∴Rt △OPG ≌Rt △OPH （HL ）．
∴PG ＝PH.
∵OG ⊥AM ，OH ⊥BN ，OG ＝OH ，
∴AM ＝BN.∴AG＝BH.
∴PG ＋AG ＝PH ＋BH ，即PA ＝PB.
（3）PA ＝PB 仍然成立．
第4课时圆的确定
01基础题
知识点1确定圆的条件
1．下列命题不正确的是（C）
A．过一点有无数个圆
B．过两点有无数个圆
C．弦是圆的一部分
D．过同一直线上三点不能画圆
2．若A，B，C是平面内的三点，且AB＝3，BC＝6，AC＝5，则下列说法正确的是（A）A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C一定在圆外
C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B一定在圆外
D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A一定在圆内
3．平面直角坐标系内的三个点A（1，0），B（0，－3），C（2，－3）能确定一个圆．（填“能”或“不能”）
4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作3个．
知识点2三角形的外接圆
5．三角形的外心是三角形（B）
A．三个内角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条中线的交点
6．三角形的外心具有的性质是（B）
A．到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（B）
A．2 3 cm B．4 3 cm
C．6 3 cm D．8 3 cm
8．已知直角三角形的两条直角边分别为5 cm，12 cm，则该三角形的外接圆半径为6.5__cm．9．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．
解：在△ABC的外心处能最省力地同时顾及三个洞口．作法如下：
连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求．
知识点3反证法
10．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．
11．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.
则有∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾．
因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
02中档题
12．（教材P26习题T15变式）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（B）A．第①块B．第②块
C．第③块D．第④块
第12题图第14题图
13．在用反证法证明“三角形中不能有两个角都是钝角”这一命题时，得出的结果与下列哪个结论互相矛盾（A）
A．三角形的内角和定理
B．三角形的外角和定理
C．三角形内角的定义
D．三角形外角的定义
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（C）
A. 3 B．3
C．2 3 D．4
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝90°，sin A＝
3
3
，BC＝23，则⊙O的半径为3．
第15题图第16题图
16．（xx·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）．
17．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，
所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．解：有错误．
改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.
又因为∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°.这与∠A≠45°矛盾，
所以AC＝BC不成立．所以AC≠BC.
18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C（如图），小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：（1）分别作出两边BC，AC的垂直平分线，交点为O.以O为圆心，OA为半径作出⊙O，即为所求作的花坛的位置．
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，
∴BC＝10 m.
∴△ABC外接圆的半径为5 m.
∴小明家圆形花坛的面积为25πm2.。