上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题

(A) P{X ≤ 0} = P{X ≥ 0} = 0.5
(B) f (x) = f (−x)
(C) P{X ≤ 1} = P{X ≥ 1} = 0.5
(D) F (x) = 1 − F (−x)
5. 设随机变量 X 的密度函数为ϕ(x) ，且ϕ(−x) = ϕ(x) ， F (x) 是 X 的分布函数，
一元件损坏仪器即停止工作，求仪器正常工作 1000 小时以上的概率。
解：设 Ai 表示第 i 个元件的寿命( i = 1,2,",5 )，则 Ai 相互独立，且
{ } P
Ai
> 1000
=
∫+∞
1000
f
(x)dx
=
∫+∞
1000
1 1000
e −x 1000 dx
=
−e −x 1000
+∞ 1000
上海交通大学概率论与数理统计学习指导与课外习题第二章第二章第二章一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布一内容提要与大纲要求一内容提要与大纲要求内容提要内容提要1
上海交通大学《概率论与数理统计》学习指导与课外习题 第二章
第二章 一维随机变量及其分布
一、内容提要与大纲要求
内容提要
1. 随机变量及其概率分布； 2. 随机变量分布函数的概念及性质； 3. 离散型随机变量的分布； 4. 连续型随机变量的概率密度； 5. 常见随机变量的概率分布； 6. 随机变量函数的概率分布。
= 1 − 0.98400 − 400 × 0.02 × 0.98399 ≈ 0.997165 。
或：用泊松近似， λ = np = 8 ，
P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
≈ 1 − 80 e−8 − 81e−8 = 1 − 9e−8 = 0.996981 。
(A) f1(x) + f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
(B) f1(x) f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
(C) F1(x) + F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。
(D) F1(x) F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。
4. 设 X ~ N (1,1) ，概率密度为 f (x) ，则( )。
2. 下列四个函数中，不能作为随机变量分布函数的是( )。
⎧0, x < 0
(A)
F1 ( x)
=
⎪⎪ x2 ⎨ ⎪2
,
0≤ x <1
⎪⎩1,
x ≥1
⎧0, x < 0
⎪⎪1 , 0 ≤ x < 1
(B)
F2 (x)
=
⎪ ⎨ ⎪ ⎪
3 1 2
,
1≤
x
<
2
⎪⎩1,
x≥2
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P{1 < X ≤ 3 2} = F (3 2) − F (1) = 1 2 −1 2 = 0 ，
P{1 < X < 3 2} = P{1 < X ≤ 3 2}− P{X = 3 2} = 0 − 0 = 0 。
例
4、设
r.v.X
的概率密度
f
(x)
=
⎪⎧a ⎨
cos
x
−π 2
<
x
<
π 2
，求(1)系数
( ) 10. 设随机变量 X 的概率密度ϕ(x) = 1 ，则 Y = 2X 的概率密度为( π 1+ x2
)。
1
( ) (A) π 1+ 4x2
2
( ) (B) π 4 + x2
1
( ) (C) π 1 + x2
(D) 1 arctan x π
Ⅱ. 填空题
1. 若随机变量 ξ 在 (1,6) 上服从均匀分布，则方程 x2 + ξx + 1 = 0 有实根的概率
(A) 单调增大
(B) 单调减小
(C)保持不变
(D) 增减不定
8. 设 F1 (x) 与 F2 (x) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X 2 的 分 布 函 数 。 为 使 F (x) =
aF1 (x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取( )。
(A) a = 3 , b = − 2 . (B) a = 2 , b = 2 . (C) a = − 1 , b = 3 . (D) a = 1 , b = − 3 .
{ } Y 的分布函数 FY ( y) = P{Y ≤ y} = P X 2 ≤ y 。
当 y ≤ 0 时， FY ( y) = 0 ， fY ( y) = FY′ ( y) = 0 ；
{ } 当 y > 0 时， FY ( y) = P −
y<X<
y
=
∫−
y y
fX
( x)dx
=
∫0
y e−x dx ，
2
2
⎪⎪⎪⎩∫−−∞π20dt
+
π
∫−2π 2
1 2
cos tdt
+
∫πx
2
0dt
=1
x < −π 2
−π ≤x≤π 。
2
2
x>π 2
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(3) P{0 ≤ X ≤ π
4}
=
π
∫04
1 2
cos
xdx
=
2。 4
例 5、某元件寿命 X 服从θ = 1000 指数分布，一台仪器中装中 5 个这种元件，任
(C)
F3
(
x)
=
⎪⎧ ⎨
ln(1 + x) 1+ x
,
x≥0
⎪⎩ 0, x < 0
(D)
F4
(
x)
=
⎧1 ⎨ ⎩
−e 0,
−x
,
x≥0 x<0
3. 设 X1 和 X 2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为
f1(x) 和 f 2 (x) ，分布函数分别为 F1(x) 和 F2 (x) ，则( )。
fY ( y) = FY′ ( y) = e−
y⋅ 1 2y
，故
fY
( y)
=
⎧1
⎪ ⎨
2
y
e−
⎪ ⎩
0
y
y>0 。
y≤0
三、习题
Ⅰ. 选择题
1. P{X = k} = b (k = 1,2,") 为离散型随机变量的概率分布，则 b = ( )。
k(k + 1)
(A) 2
(B) 1
(C) 1 2
(D) 3
⎪ ⎪
1 3
⎨ ⎪
1 3
+
1 6
0≤ x <1 1≤ x< 2
=
⎪ ⎪ ⎨ ⎪
1 3
1 2
⎪⎩
1 3
+
1 6
+
1 2
x≥2
⎪⎩1
x<0 0≤ x <1
， 1≤ x< 2
x≥2
P{X ≤ 1 2} = F (1 2) = 1 3 ，
P{X < 2} = P{X ≤ 2}− P{X = 2} = F(2) − P{X = 2} = 1 −1 2 = 1 2 ，
= e−1 ，
故所求为 P{(A1 > 1000)"(A5 > 1000)} = P{(A1 > 1000)}"P{(A5 > 1000)} = e−5 。
例 6、设 X 服从 λ = 1的指数分布，求 Y = X 2 的分布律。
解：
X
的密度函数为
fX
(x)
=
⎧e − x ⎨ ⎩0
x > 0， x≤0
二、典型例题
( ) 例 1、设 r.v.X 的分布律为 P{X = k} = a 3k k! (k = 0,1,2,") ，求 a 。
解：
∞
∑
P{X
k =0
=
k}
=
1,
∞
a∑
k =0
1 3k k!
=
a
∞
∑
(1
k =0
3)k
k!
1
= ae 3
= 1,
−1
a=e 3。
例 2、某人射击命中率为 0.02，现独立射击 400 次，求至少击中 2 次的概率。
x < −1, −1 ≤ x < 1, 1 ≤ x < 3,
x ≥ 3,
则 X 的概率分布为
。
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9. 设随机变量 X 服从参数为 (2, p) 的二项分布，随机变量 Y 服从参数为 (3, p) 的
二项分布。若 P{X ≥ 1} = 5 9 ，则 P{Y ≥ 1} =
是。
2. 已知随机变量 X 的概率密度函数 f (x) = 1 2 e− x , − ∞ < x < +∞ ，则 X 的概率
分布函数 F (x) =
。
3. 设随机变量 X 服从 (0,2) 上的均匀分布，则随机变量 Y = X 2 在 (0,4) 内概率分
布密度 fY ( y) =
。
4. 设在一次试验中，事件 A 发生的概率为 p 。现进行 n 次独立试验，则 A 至少发
5
5
33
22
2
2
9. 设随机变量 X ~ B(n, p) ，且 (n + 1)p 不是整数，要使 P{X = k}最大，则 k =
( )，其中[m] 表示 m 的最小整数部分。
(A) (n + 1)p
(B) (n + 1)p −1
(C) np
(D) [(n +1)p]
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则对任意实数 a ，有( )。
∫a
(A) F (−a) = 1 − ϕ(x)dx 0
∫ (B)
F(−a) = 1 −
a
ϕ ( x)dx
20
(C) F (−a) = F (a)
(D) F (−a) = 2F (a) −1
6. 设 X ~ N(μ,42 ), Y ~ N(μ,52 ) ，记 p1 = P{X ≤ μ − 4}, p2 = P{Y ≥ μ + 5}，则( )。
求常数 a 。
2. 设随机变量 X 的分布函数为
⎧ 0, x < −1,
F
(x)
=
⎪⎪0.2, ⎪⎨0.7,
− 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 4,
⎪⎩ 1, x ≥ 4,
求 X 的分布律。
3. 设随机变量 X 的分布律为 P{X = −1}= 0.2, P{X = 1}= 0.5, P{X = 2}= 0.3，求 (1) X 的分布函数；(2) P{X > 1 2}；(3) P{− 1 ≤ X ≤ 3}。
大纲要求
1. 理解随机变量及其概率分布的概念； 2. 理解随机变量分布函数的概念及性质，会计算与随机变量有关的事件的概率； 3. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0-1 分布，二项分布，泊松分 布及其应用； 4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握概率密度与分布函数之间的关 系； 5. 掌握正态分布，均匀分布和指数分布及其应用； 6. 会求简单随机变量函数的概率分布。
(A) 对任何实数 μ ，都有 p1 = p2
(B) 对任何实数 μ ，都有 p1 < p2
(C) 只对 μ 的个别值，才有 p1 = p2 (D) 对任何实数 μ ，都有 p1 > p2
{ } 7. 设随机变量 X ~ N (μ,σ 2 ) ，则随着σ 的增大，概率 P X − μ < σ ( )。
生一次的概率为
；而事件 A 至多发生一次的概率为
.。
5. 设三次独立试验中，事件 A 出现的概率相等。若已知 A 至少出现一次的概率等
于19 27 ，则事件 A 在一次试验中出现的概率为
。
( ) 6. 设随机变量 X 服从正态分布 N μ， δ 2 (δ > 0) ，且二次方程 y 2 + 4 y + X = 0
4. 设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，若 P{X = 1}= P{X = 2}，求 P{X = 4} 及 P{X > 1}。
5. 对某目标进行独立射击，每次射中的概率为 p ，直到射中为止。求(1)射击次 数 X 的分布律；(2) 脱靶次数 Y 的分布律。
a
；(2)
X
的分
⎪⎩ 0
其它
布函数 F (x) ；(3) P{0 ≤ X ≤ π 4}。
解：(1)
∫+∞
−∞
f
(x)dt
=
π
∫−2π
a cos
xdx
=
2a
=
1,a=1。 22 Nhomakorabea⎧
⎪⎪∫−x∞ 0dt = 0
(2)
F (x) = ∫−x∞ f (t)dt
=
⎪⎪⎨∫−−∞π20dt
⎪
+
∫−xπ 2
1 cos tdt = 1 + sin x
。
10. 设随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
=
⎧ ⎨ ⎩
2x, 0,
0 < x < 1, 其它,
以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 {X ≤ 1 2} 出现的次数，则 P{Y = 2} =
。
Ⅲ. 计算与证明题
1. 设随机变量 X 的分布律为
( ) (1) P{X = k}= ae−k , k = 0,1,2," ；(2) P{X = k}= a 3k k! , k = 0,1,2," ；
解： n = 400, p = 0.02 ，设击中次数为 X ，则 X ~ B(400,0.02) ，
其分布律为 P{X
=
}k
=
C
k 400
0.02
k
0.98
400−k
k = 0,1,2,",400 ，
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所求为 P{X ≥ 2} = 1− P{X < 2} = 1− (P{X = 0}+ P{X = 1})
无实根的概率为1 2 ，则 μ =
。
7. 设随机变量 X 的分布函数为
⎧ 0,
x < 0,
F (x) = ⎪⎨Asin x, 0 ≤ x ≤ π 2,
⎪⎩ 1,
x ≥ π 2,
则 A=
， P{X < π 6}=
。
8. 设随机变量 X 的分布函数为
⎧ 0,
F
(
x)
=
⎪⎪0.4, ⎪⎨0.8,
⎪⎩ 1,
0!
1!
例 3、 设 X 的分布律为 P{X = 0}= 1 , P{X = 1}= 1 , P{X = 2}= 1 ，求 F (x) 及
3
6