黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一上学期期末数学试题解析版

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一上学期
期末数学试题
一、单选题
1．设集合{}0,1,3,5,6,8U =， {}A 1,5,8B {2}==，，则()
U A B =U ð（ ） A ．{}0,2,3,6 B ．{}0,3,6
C ．{}1,2,5,8
D ．∅
【答案】A
【解析】根据集合的补集、并集运算即可得到结论． 【详解】
解：{}0,1,3,5,6,8U =Q ，{}1,5,8A =， {2}B =，
{}0,3,6U A ∴=ð (){}0,2,3,6U A B ∴=U ð
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是( ) A ．[],0π- B ．,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．[]0,π
D ．3,22ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】
解：函数sin y x =
其函数对应的单调递增区间为：[22k π
π-，2]2
k π
π+，k Z ∈． 令0k =，可得,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了正弦三角函数的图象，单调递增区间的求法，属于基础题． 3．cos390︒=( )
A ．
12
B ．12
-
C D ． 【答案】C
【解析】直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】
解：()cos390cos 36030cos30︒=︒+︒=︒= 故选：C 【点睛】
本题考查诱导公式的应用特殊角的三角函数值的求法，基本知识的考查．
4．已知(,3)a x =r ，(3,1)b =-r ，且a b ⊥r r
，则x 等于 ( )
A ．－9
B ．9
C ．1-
D ．1
【答案】D
【解析】根据向量垂直则数量积等于0，得到方程，解得. 【详解】
解：(,3)a x =r Q ，(3,1)b =-r ，且a b ⊥r r
0a b ∴⋅=r r
()3130x ∴+-⨯=
解得1x = 故选：D 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题. 5．要得到2sin(2)3
y x π
=-的图象，需要将函数sin 2y x =的图象 ( ) A ．向左平移
23π
个单位 B ．向右平移
23π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移3π
个单位
【答案】D
【解析】由“左加右减上加下减”的原则可确定函数sin 2y x =到2sin(2)3
y x π
=-的路线，进行平移变换，推出结果． 【详解】
解：将函数sin 2y x =向右平移
3
π个单位，即可得到sin[2()]3y x π
=-的图象，即
2sin(2)3
y x π
=-
的图象； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为“左加右减上加下减”．注意x 的系数，属于基础题．
6．若α是第四象限角，5
tan 12α=-
，则sin α=（ ） Ａ．513
Ｂ．513
-
Ｃ．
1213
Ｄ．1213
-
【答案】B
【解析】2
2
5
12
cos 0sin cos 1,
5sin cos ,sin 13
a a a a a a ααα∴>⇒+==⇒=-
Q 解：是第四象限角，tan =-tan
7． sin 70cos 20cos70sin 20+o o o o （ ） A ．0 B ．-1 C ．1
D ．sin50o
【答案】C
【解析】(
)sin70cos20cos70sin20sin 702090
1sin +=+==o
o
o
o
o o
o
.
故选C.
8．已知1
sin cos 2
αα+=
，则sin 2α=( ) A ．
34
B ．34
-
C ．
12
D ．12
-
【答案】B
【解析】将1
sin cos 2
αα+=两边同时平方，再根据二倍角的正弦公式可得. 【详解】
解：1sin cos 2
αα+=
Q
()
2
2
1sin cos 2αα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭
221sin 2sin cos cos 4
αααα∴++= 112sin cos 4
αα∴+=
3
2sin cos 4αα∴=-
3
sin 24
α∴=-
故选：B 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角的正弦公式，属于基础题.
9．已知a r ，b r
满足：||3a =r ，||2b =r ，||4a b -=r r ，则||a b +=r r ( )
A ．16
B ．4
C ．10
D
【答案】D
【解析】根据||4a b -=r r ，求出a b ⋅r r
的值，再根据||a b +=
r r .
【详解】
解：||3a =r Q ，||2b =r
，||4a b -=r r 22||4a b ∴-=r r
22216a b a b ∴+-⋅=r r r r 即2232216a b +-⋅=r r ，23a b ∴⋅=-r r
||a b ∴+=
=
==r r 故选：D 【点睛】
本题考查平面向量的数量积，以及向量的模，属于基础题. 10．3sin ,(,)52πααπ=
∈，则cos()4
π
α-=( )
A ．10-
B ．
C ．10
-
D 【答案】A
【解析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，再由两角差的余弦公式代入求值. 【详解】
解：3
sin 5
α=
Q ，22sin cos 1αα+= 4
cos 5
α∴=±
(,)2
π
απ∈Q
4
cos 5
α∴=-
43cos()cos cos sin sin 444252510
πππααα⎛⎫∴-=+=-+⨯=-
⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式，属于基础题.
11．设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两个根，则tan()αβ+的值为（ ） A ．-3 B ．-1
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】试题分析：由tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan （α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：
∵tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan （α+β）=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+=--3，故选A. 【考点】两角和与差的正切函数公式
点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．
12．已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2
()f x x =，
则(7)f =（ ） A ．49 B ．-49 C ．1 D ．-1
【答案】D
【解析】利用函数的周期性、奇偶性求解． 【详解】
解：()f x Q 在R 上是奇函数，且满足(4)()f x f x +=，
当(0,2)x ∈时，2
()f x x =，
()()()7433f f f ∴=+= ()()()()3411f f f ∴=+-=-
()()11f f ∴-=- ()()27111f f ∴=-=-=-
故选：D ． 【点睛】
本题考查函数值的求法，解题时要注意函数性质的合理运用，属于基础题．
二、填空题
13．函数()cos(2)6
f x x π
=-的最小正周期为_____________.
【答案】π
【解析】由题意得2ω=，再代入复合三角函数的周期公式2||
T π
ω=求解． 【详解】
解：根据复合三角函数的周期公式2||
T π
ω=
得， 2|2|
T π
π∴=
= 函数()cos(2)6
f x x π
=-的最小正周期是π，
故答案为：π． 【点睛】
本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2||
T π
ω=应用，属于基础题．
14．函数tan()4
y x π
=-
的定义域是_________________.
【答案】3,4x x k k Z ππ⎧⎫
≠+∈⎨
⎬⎩⎭
【解析】由正切函数的定义得，4
2
x k π
π
π-≠+
，()k ∈Z ，求出x 的取值范围．
【详解】
解：tan()4y x π
=-Q ，
4
2
x k π
π
π∴-
≠+
，()k ∈Z ，
34
x k π
π∴≠+
，()k ∈Z ， ∴函数的定义域是3,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
故答案为：3,4x x k k Z ππ⎧
⎫≠+∈⎨⎬⎩
⎭
． 【点睛】
本题考查了正切函数的定义域问题，属于基础题．
15．化简：()()
AC DP BA CP BD -++-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
__________．
【答案】0r
【解析】0AC CP PD DB BA ++++=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v v
16．函数sin cos()6
y x x π
=-+的值域为_______________.
【答案】[
【解析】利用两角和的余弦公式及辅助角公式化简，集合正弦函数的性质求解. 【详解】
解：sin cos()6
y x x π
=-+
Q
sin cos cos sin sin
6
6
y x x x π
π
=-+
3sin 22
y x x =
-
1
cos 2y x x ⎫=-⎪⎪⎭
6y x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝⎭
1sin 16x π⎛
⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭Q
6x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭
y ⎡∴∈⎣
即函数的值域为⎡⎣
故答案为：⎡⎣
【点睛】
本题考查三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于基础题.
三、解答题
17．(1)已知tan 3α=，求
4sin 2cos 5cos 3sin αα
αα
-+的值.
(2)化简
cos()sin(2)
sin()cos()
πααπαπα++--.
【答案】（1）
57
；（2）1- 【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系将式子弦化切，再代入求值. （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】
解：（1）∵tan 3α=，显然cos 0α≠，
∴
4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337
cos αααααααααααα
---⨯-====++++⨯. （2）cos()sin(2)sin()cos()πααπαπα++--(cos )sin (sin )(cos )
αα
αα-=--1=-.
【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于基础题. 18
．已知函数())4
f x x π
=+
．
(1)求()f x 的最大值以及对应的x 的集合； (2)求()f x 的单调递增区间. 【答案】
(1)
,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
；(2) 3[,],88k k k Z ππ
ππ-
++∈ 【解析】（1）根据正弦函数的性质解答即可. （2）根据正弦函数的性质解答即可. 【详解】
解：（1）1sin(2)14
x π
-≤+
≤Q
)4x π
≤+≤()f x ∴
，
此时22,4
2
x k k Z π
π
π+=
+∈，
解得22,4
x k k Z π
π=+∈，
即,8
x k k Z π
π=
+∈，
因此使函数())4f x x π
=+取得最大值的x 的集合是,8x x k k Z π
π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
.
（2）令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，
得 3222,44k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈， 即3,88
k x k k Z ππ
ππ-+≤≤+∈， ()f x ∴的单调递增区间3[,],88
k k k Z ππ
ππ-++∈.
【点睛】
本题考查正弦函数的性质，属于基础题.
19．已知向量a r ，b r 的夹角为60o
，且||1a =r ，||2b =r ，求：
(1) a b ⋅r r ；
(2)||a b -r r
.
【答案】(1)1；
【解析】（1）根据向量的数量积的定义运算即可；
（2）根据||a b -=
r r 1）所求的数量积可求.
【详解】
解：（1）因为向量a r ，b r 的夹角为60o
，且||1a =r ，||2b =r ，
1
cos601212
a b a b ∴⋅==⨯⨯=o r r r r .
（2）a b -====r r Q
a b ∴-=r r
【点睛】
本题考查向量的数量积的运算，属于基础题.
20．已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2).a b θθθ=-=r r
（1）若//a b r
r
，求tan θ的值；
（2）若,0,a b θπ=<<r
r 求θ的值.
【答案】（1）1tan .4θ=
（2）2
π
θ=，或3.4πθ= 【解析】试题分析：（1）由向量平行得到坐标满足的关系式2sin cos 2sin θθθ=-，整理可得tan θ（2）代入向量模的计算公式可得到角θ的方程，解方程求解角的大小 试题解析：（1）
3分
． 5分
（2）22
,sin (cos 2sin )5a b θθθ=∴+-=Q r r 8分
所以，
,
． 10分
【考点】1．向量的坐标运算；2．三角函数式的化简。