苏教版高中数学同步辅导与检测必修1全集

模块综合检测卷
(时间：120分钟满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()
A．{3} B．{4}
C．{3，4} D．{1，3，4}
解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，
所以A∪B＝{1，2，3}．
所以∁U(A∪B)＝{4}．
答案：B
2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()
答案：A
3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．
答案：D
4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()
A．f(－x1)＞f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)＜f(－x2)
D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定
解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，
又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，
所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．
答案：A
5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()
A．(3，8) B．(－7，－2)
C．(－2，3) D．(0，5)
解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.
答案：B
6．若x ∈[0，1]，则函数y ＝x ＋2－1－x 的值域是( )
A ．[2－1，3－1]
B ．[1， 3 ]
C ．[2－1， 3 ]
D ．[0，2－1]
解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.
答案：C
7．下列不等式正确的是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭
⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A
8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )
A ．[2－2，2＋2]
B ．(2－2，2＋2)
C ．[1，3]
D ．(1，3)
解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.
答案：B
9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，
且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )
A ．－74
B ．－54
C ．－34
D ．－14
解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，
则2a －1＝－1不成立，舍去．
当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3.
所以a ＋1＝8，a ＝7.
此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74
. 答案：A
10．设偶函数f (x )＝log a |x ＋b |在(0，＋∞)上是单调减函数，则f (b －2)与f (a ＋1)的大小关系是( )
A ．f (b －2)＝f (a ＋1)
B ．f (b －2)＞f (a ＋1)
C ．f (b －2)＜f (a ＋1)
D ．不能确定
解析：因为y ＝log a |x ＋b |是偶函数，b ＝0，
所以y ＝log a |x |.
又在(0，＋∞)上是单调递减函数，
所以0＜a ＜1.
所以f (b －2)＝f (－2)＝f (2)，f (a ＋1)中1＜a ＋1＜2.
所以f (2)＜f (a ＋1)，因此f (b －2)＜f (a ＋1)．
答案：C
11．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时， 则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A ．16小时
B ．20小时
C ．24小时
D ．28小时
解析：由题设得e b ＝192，①
e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ＝48，②
将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12
. 当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123
×192＝24. 所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．
答案：C
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，
1＋1x ， x ≥1，
在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[4，＋∞)
D ．[2，4] 解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x
为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数，
要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，
所以a 2
≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值
不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.
所以实数a 的取值范围[2，4]．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．
解析：因为2－3＜1，312＜2，log 25＞2.
所以这三个数中最大的数为log 25.
答案：log 25
14．函数y ＝x －2x －3lg 4－x 的定义域是__________．
解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，
所以2≤x ＜4且x ≠3.
答案：[2，3)∪(3，4)
15．已知函数f (x )＝b －2x
2x ＋1
为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．
解析：因为函数f (x )＝b －2x
2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇
函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.
又f (0)＝b －2020＋1
＝b －12＝0，所以b ＝1.
故a＋b＝2.
答案：2
16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：作出g(x)＝|4x－x2|的图象，g(x)的零点为0和4.由图象可知，将g(x)的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.
答案：4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
解：(1)因为f(x)的两个零点是－3和2，
所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．
所以有9a－3(b－8)－a－ab＝0.①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0，
因为a≠0，
所以a＝－3.
所以b＝a＋8＝5.
所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.
(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋34＋18， 图象的对称轴方程是x ＝－12
，又0≤x ≤1， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18.
所以函数f (x )的值域是[12，18]．
18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，
若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0， (1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．
解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0，
所以a －b ＋1＝0.
又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0，
所以Δ＝b 2－4a ≤0.
所以(a ＋1)2－4a ≤0.
所以a ＝1，b ＝2.
所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.
所以F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.
(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 在[－2，2]上是单调函数，
所以k －22≥2或k －22
≤－2， 解之得k ≥6或k ≤－2.
所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．
19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x
，其定义域为{x |x ≠0}． (1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；
(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.
f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2
. 因为x 1＜x 2，
所以x 2－x 1＞0.
又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，
所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.
故f (x )＝2x －1x
在区间(0，＋∞)上为增函数． (2)解：因为f (x )＝2x －1x
在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32
. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m
－4x ，且f (4)＝3. (1)求m 的值；
(2)判断f (x )的奇偶性；
(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)因为f (4)＝3，
所以4m －44
＝3， 所以m ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝x －4x
， 其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．
又f (－x )＝－x －4
－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．
(3)因为y ＝x ，y ＝－1x
在区间[1，＋∞)上都是增函数， 所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，
即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立，
所以a ＜－3，
故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．
21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．
(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；
(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．
解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；
当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数，
由已知得⎩⎨⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.
故函数v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，
0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，
4≤x ≤20，x ∈N *.
(2)依题意并由(1)可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，
0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *
. 当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；
当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18
(x －10)2＋
10028
， f max (x )＝f (10)＝12.5.
所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.
当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
22．(本小题满分12分)已知奇函数f (x )＝
m －g （x ）1＋g （x ）
的定义域为R ，其中g (x )为指数函数，且过定点(2，9)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若对任意的t ∈[0，5]，不等式f (t 2＋2t ＋k )＋f (－2t 2＋2t －5)＞0恒成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)设g (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，则a 2＝9.
所以a ＝－3(舍去)或a ＝3，
所以g (x )＝3x ，f (x )＝m －3x 1＋3x . 又f (x )为奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0，
则m －301＋30＝0，所以m ＝1，所以f (x )＝1－3x
1＋3x . (2)设x 1＜x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝1－3x 11＋3x 1－1－3x 21＋3x 2＝2（3x 2－3x 1）（1＋3x 1）（1＋3x 2）
.
因为x1＜x2，
所以3x2－3x1＞0，
所以2（3x2－3x1）
（1＋3x1）（1＋3x2）
＞0，
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递减．
要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，
即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．
因为f(x)为奇函数，
所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．
又因为函数f(x)在R上单调递减，
所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，
即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．
而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.
章末知识整合
一 指数、对数的基本运算
[例1] 计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－13＋ 4（3－π）4＝________.
(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________．
解析：(1)原式＝1＋813＋|3－π|＝1＋2＋π－3＝π.
(2)因为f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg a 2b 2，
又f (ab )＝lg ab ＝1，所以lg a 2b 2＝2lg ab ＝2.
答案：(1)π
(2)2
规律方法
1．指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是考查的重要问题类型，也是高考的常考内容．主要考查指数和对数的运算性质，以客观题为主．
2．(1)指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算．
(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式进行对数计算、化简．
[即时演练] 1.计算：(1)(2014·安徽卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＋log 354＋log 345
＝________．
(2)(2015·浙江卷)2log 23＋log 43＝________．
解析：(1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323
＋0＝278. (2)原式＝2log 23＋log 23＝2log 2(33)＝3 3.
答案：(1)278
(2)3 3 二 幂函数的图象与性质
[例2] 已知幂函数f (x )＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随着x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 2<(3－2a )－m 2的a 的取值范围．
解：因为函数f (x )在(0，＋∞)上的函数值随着x 的增大而减小， 所以m 2－2m －3<0.
利用二次函数的图象可得－1<m <3.
又m ∈N *，所以m ＝1，2.
又函数图象关于y 轴对称，
所以m 2－2m －3为偶数，故m ＝1.
所以所以有(a ＋1)－12<(3－2a )－12
. 又因为y ＝x －12的定义域为(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上是减函数，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，
解得23<a <32
. 故实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a ⎪⎪⎪23<a <32
. 规律方法
1．幂函数y ＝x n 的图象，关键是根据n 的取值，确定第一象限的情况，然后再由定义域及奇偶性进一步确定幂函数在其他象限的图象．
2．幂函数中的参数问题，要依据题设条件列出指数中参数所含的方程或不等式，求出参数，然后再利用幂函数的图象和相关的性质进行计算检验．
[即时演练] 2.已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)．
(1)试确定函数的定义域，并指明该函数的单调性；
(2)若该函数的图象经过点(2，2)，求函数的解析式．
解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，
而m 与m ＋1中必有一个为偶数，
所以m (m ＋1)为偶数．
所以函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．
(2)因为函数f (x )经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1.
所以m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.
又因为m ∈N *，所以m ＝1.
因此函数f (x )＝x 12.
三 指数函数与对数函数的图象与性质
[例3] 已知函数f (x )＝log 12ax －2x －1(a 为常数)． (1)若常数a ＜2且a ≠0，求f (x )的定义域；
(2)若f (x )在区间(2，4)上是减函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)由题意，ax －2x －1
＞0，即(x －1)(ax －2)＞0. 当0＜a ＜2时，2a
＞1. 解不等式得x ＜1或x ＞2a
. 当a ＜0时，解得2a
＜x ＜1. 故当a ＜0时，定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪2a ＜x ＜1； 当0＜a ＜2时，定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1或x ＞2a . (2)令u ＝ax －2x －1，因为f (x )＝log 12
u 为减函数，
故要使f (x )在(2，4)上是减函数，只需函数u (x )＝ax －2x －1
＝ a ＋a －2x －1
， 在(2，4)上单调递增且为正．
故由⎩
⎪⎨⎪⎧a －2＜0，u （2）＝2a －22－1≥0，解得1≤a ＜2. 所以实数a 的取值范围为[1，2)．
规律方法
1．求解f (x )的定义域，注意a 的取值影响，要进行分类讨论．
2．第(2)问中，逆用“对数型”复合函数的性质，在脱去对数符号时，其真数一定要大于0，从而u (2)≥0得到关于a 的不等式组．
[即时演练] 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
.
(1)画出函数f (x )的图象；
(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．
解：(1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
的图象，利用偶函数的图象
关于y轴对称，再作出f(x)在x∈(－∞，0)时的图象．
(2)函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．
四函数模型的实际应用
[例4]甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息如图甲和图乙所示．甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减少到第六年10个，请你根据提供的信息说明．
图甲图乙
(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；
(2)到第六年这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由；
(3)哪一年的规模最大？说明理由．
解：(1)由题图可知，直线y甲＝kx＋b，经过(1，1)和(6，2)．可求得k＝0.2，b＝0.8.
所以y 甲＝0.2(x ＋4)．
故第二年甲鱼池的产量为1.2万只．
同理可得y 乙＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x ＋172. 故第二年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)．
(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．
(3)设第x 年规模最大，
即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x ＋172＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．
当x ＝－ 3.62×（－0.8）＝214
≈2时， y 甲·y 乙＝－0.8×4＋3.6×2＋27.2＝31.2(万只)最大．
即第二年规模最大，甲鱼产量为31.2万只．
[即时演练] 4.某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、第二、第三、第四年，现在有两个函数模型：二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ≠1，b ＞0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与第
x 年的关系？
解：建立年销量y (万辆)与第x 年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．
(1)构造二次函数型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，
将点的坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝7，c ＝0.
则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为4.7. (2)构造指数函数型g (x )＝a ·b x ＋c ，将点的坐标代入，
可得⎩⎪⎨⎪
⎧ab ＋c ＝8，
ab 2＋c ＝18，ab 3
＋c ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝
125
3
，b ＝65
，c ＝－42.
则g (x )＝1253×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
65x
－42， 故g (4)＝
1253×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
654
－42＝44.4，与计划误差为5.1. 由上可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y (万辆)与第x 年的关系．
五 转化与数形结合思想
[例5] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？
解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，
函数的大致图象如图所示．
根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：
⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＞0，
f （1）＜0，f （2）＞0，即⎩⎪⎨⎪
⎧a 2－a －2＞0，
a 2－2a －8＜0，a 2
－3a ＞0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＜－1或a ＞2，
－2＜a ＜4，a ＜0或a ＞3，
所以－2＜a ＜－1或3＜a ＜
4. 规律方法
1．转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程；化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题．
2．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．
[即时演练] 5.(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．
解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于函数y ＝|2x －2|
与y＝b的图象有两个不同的交点．
在同一坐标系中作出y＝|2x－2|与y＝b的图象(如图所示)．由图象知，两图象有2个交点，则0＜b＜2.
答案：{b|0＜b＜2}
章末过关检测卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．f (x )＝1
x －x 的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．直线y ＝－x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y ＝x 对称
解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f (－x )＝1
－x
－(－
x )＝－⎝
⎛⎭
⎪⎫
1x －x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，图象关于原点对称．
答案：C
2．下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2＋x B ．y ＝－x 3 C ．y ＝e x
D ．y ＝ln x 2＋1
解析：选项A ，C 为非奇非偶函数，选项B 为奇函数． 答案：D
3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( ) A.14 B ．－1
4
C ．2
D ．－2 解析：设幂函数为f (x )＝x α
，则有3＝9α
，得α＝1
2
，所以f (x )＝
x 12，f (2)＝2，所以log 4f (2)＝log 42＝log 441
4＝1
4
.
答案：A
4．函数f (x )＝|log 12
x |的单调递增区间是( )
A ．(0，1
2)
B ．(0，1)
C ．(0，＋∞)
D ．[1，＋∞)
解析：画f (x )＝|log 12
x |的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，
＋∞)．
答案：D
5．已知10m ＝2，10n ＝4，则103m －n
2
的值为( )
A ．2 B. 2 C.10 D ．2 2
解析：103m －n
2
＝10
3m
2÷10n 2＝(10m )32÷(10n )12＝232÷41
2＝23
2
－1＝ 2.
答案：B
6．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3 解析：由f (0)＝0得b ＝－1.
所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3. 答案：A
7．已知函数f (x )＝e －x －e x
x ，则其图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y ＝x 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于y 轴对称
解析：函数的定义域为{x |x ≠0}， f (－x )＝e x －e －x －x
＝e －x －e x
x ＝f (x )，
所以函数f (x )的偶函数，其图象关于y 轴对称． 答案：D
8．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
则函数f (x )A ．(－∞，1) B ．(1，2) C ．(2，3)
D ．(3，＋∞)
解析：因为f (2)·f (3)＜0，所以f (x )在(2，3)内一定存在零点． 答案：C
9．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝2－|x |
解析：选项A 为奇函数，选项C ，D 在(0，＋∞)上是减函数． 答案：B
10．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a
3，y ＝1
2
log a 5，z ＝log a 21－
log a 3，则( )
A ．x ＞y ＞z
B ．z ＞y ＞x
C ．y ＞x ＞z
D ．z ＞x ＞y
解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1
2log a 6，z ＝log a 21－log a 3
＝log a 7＝12log a 7.因为0＜a ＜1，所以12log a 5＞12log a 6＞1
2
log a 7.即y ＞x
＞z .
答案：C
11．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋x
b ，若生产出的产品
能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大．此时每吨的价格为40元，则有( )
A ．a ＝45，b ＝－30
B ．a ＝30，b ＝－45
C ．a ＝－30，b ＝45
D ．a ＝－45，b ＝－30
解析：设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，
则y ＝xQ －P ＝x ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋x b －⎝
⎛
⎭
⎪⎫1 000＋5x ＋110x 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1b －110·x 2＋(a －
5)x －1 000(x ＞0)．
由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.
所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －52⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，
解得⎩⎨⎧a ＝45，b ＝－30.
答案：A
12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
－3，x ≤0，x 12
， x ＞0，
已知f (a )＞1，则实数a 的
取值范围是( )
A ．(－2，1)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：当a ≤0时，f (a )＝(1
2
)a －3＞1，解得a ＜－2；
当a ＞0时，f (a )＝a 1
2＞1，解得a ＞1.
综上a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x ＜2，
log 3（2x
－1），x ≥2，
则f (f (2))＝________． 解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.
答案：2
14．(2014·上海卷)若f (x )＝x 2
3－x 1
2，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是________．
解析：根据幂函数的性质，由于12＜23
，
所以当0＜x ＜1时，x 2
3＜x 1
2；当x ＞1时，x 2
3＞x 1
2. 因此f (x )＜0的解集为(0，1)． 答案：(0，1)
15．若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，
a ，a ＜
b ，
则函数f (3x *3－x )的值域是
________．
解析：由定义可知该函数是求a ，b 中较小的那一个，所以分别
画出y ＝3x 与y ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
的图象，
由图象很容易看出函数f (3x *3－x )的值域是(0，1]． 答案：(0，1]
16．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是
________．
解析：当x ≤0时，由x 2－2＝0，得x ＝－ 2.
当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x 是增函数且f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0.
所以f (x )在区间(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上可知f (x )的零点有2个． 答案：2
三、解答题(本题共6个小题，满分共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝bx
ax 2＋1
(b ≠0，a ＞0)． (1)判断f (x )的奇偶性；
(2)若f (1)＝12，log 3(4a －b )＝1
2log 24，求a ，b 的值．
解：(1)f (x )的定义域为R ，
f (－x )＝－bx
ax 2＋1＝－f (x )，
故f (x )是奇函数．
(2)由f (1)＝b
a ＋1＝12，得a －2
b ＋1＝0.
又log 3(4a －b )＝1
2
log 24＝1，即4a －b ＝3.
由⎩⎨⎧a －2b ＋1＝0，4a －b ＝3，
解得a ＝1，b ＝1.
18．(本小题满分12分)对于函数f (x )，若存在x 0∈R 使f (x 0)＝x 0
成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．
(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；
(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取
值范围．
解：(1)因为a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3， 由f (x )＝x ⇒x 2－2x －3＝0⇒x ＝－1或x ＝3， 所以f (x )的不动点为－1和3.
(2)由题设知ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1＝x 有两个不等实根， 即ax 2＋bx ＋b －1＝0有两个不等实根，
所以Δ＝b 2－4a (b －1)>0⇒b 2－4ab ＋4a >0恒成立． 所以(－4a )2－4×4a <0⇒0<a <1. 故a 的取值范围是(0，1)．
19．(本小题满分12分)设海拔x m 处的大气压强是 y Pa ，y 与 x 之间的函数关系式是 y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量，已知某地某天在海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105 Pa ，求600 m 高空的大气压强(精确到0.001)．
解：将x ＝0，y ＝1.01×105；x ＝1 000 , y ＝0.90×105, 代入 y ＝c e kx 得：⎩⎨⎧1.01×105＝c e k ·0，0.90×105＝c e
k ·1 000
，
即⎩⎨⎧c ＝1.01×105， ①
0.90×105＝c e 1 000k
. ②
将①代入②得：0.90×105
＝1.01×105e 1 000k
⇒k ＝11 000×ln 0.90
1.01
，
计算得：k ＝－1.15×10－4.
所以y ＝1.01×105×e －1.15×10－4x .
将 x ＝600 代入，得：y ＝1.01×105×e －1.15×10－4×600， 计算得：y ＝0.943×105(Pa)．
所以在600 m 高空的大气压约为0.943×105 Pa.
20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝lg(a x －b x )，(a ＞1＞b ＞0)． (1)求f (x )的定义域；
(2)若f (x )在(1，＋∞)上递增且恒取正值，求a ，b 满足的关系式．
解：(1)由a x －b x ＞0，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a b x
＞1.
因为a ＞1＞b ＞0，所以a
b ＞1.所以x ＞0.
所以f (x )的定义域为(0，＋∞)．
(2)因为f (x )在(1，＋∞)上递增且恒为正值， 所以f (x )＞f (1)，只要f (1)＞0. 则lg(a －b )≥0，所以a －b ≥1. 因此a ，b 满足的关系为a ≥b ＋1.
21．(本小题满分12分)某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、2万件、1.3万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝ab x ＋c (其中a ，b ，c 为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
解析：根据题意，该产品的月产量y 是月份x 的函数，可供选用
的函数有两种，其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量越接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定这两个函数的具体解析式．
设y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ，q ，r 为常数， 且p ≠0)，y 2＝g (x )＝ab x ＋c ，根据已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＝1，4p ＋2q ＋r ＝1.2，9p ＋3q ＋r ＝1.3和⎩⎪⎨⎪
⎧ab ＋c ＝1，
ab 2＋c ＝1.2，ab 3
＋c ＝1.3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7和⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－0.8，
b ＝0.5，
c ＝1.4.
所以f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4.所以f (4)＝1.3，g (4)＝1.35.
显然g (4)更接近于1.37，故选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12|x |
. (1)若f (x )＝2，求x 的值；
(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x
－12
x .
由条件可知2x
－1
2
x ＝2，即22x －2×2x －1＝0，
解得2x ＝1±2.
因为2x ＞0，所以x ＝log 2(1＋2)．
(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2t －12t ≥0，
因此m (22t －1)≥－(24t －1)． 因为22t －1＞0， 所以m ≥－(22t ＋1)． 因为t ∈[1，2]，
所以－(1＋22t )∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数 3.1.1 分数指数幂
(对应学生用书P41)
A 级 基础巩固
1．下列各式正确的是( ) A.a 2
＝a
B.6
a 6＝a C.5
a 5
＝|a |
D.7
a 7＝a
解析：A 、B 不正确，因为当a ≤0时，a 2
＝－a ，6
a 6＝－a ；C 不正确，n
a n ＝a (n 为奇数)，故D 正确．
答案：D
2．若a ＜1
2，则化简4（2a －1）2的结果是( )
A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a
D ．－1－2a
解析：因为a ＜1
2
，所以2a －1＜0，所以
（2a －1）2＝1－2a .
所以
4
（2a －1）2＝
1－2a .
答案：C
3．若(1－2x )－
3
4有意义，则x 的取值范围是( ) A ．x ∈R B ．x ∈R 且x ≠1
2
C ．x ＞1
2
D ．x ＜1
2
解析：因为(1－2x )－3
4＝1
4
（1－2x ）3
，
所以1－2x ＞0，得x ＜1
2.
答案：D
4．计算(2a －3
b －
2
3)·(－3a －1b )÷(4a －4b －
5
3)得( ) A ．－32b 2 B.32b 2 C ．－32b 7
3 D.32
b 7
3
解析：原式＝－6a －4b 1
34a －4b －53＝－32
b 2
. 答案：A
5．当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9的结果是( )
A ．2x －5
B ．－2x －1
C ．－1
D ．5－2x
解析：因为2－x 有意义，所以2－x ≥0，即x ≤2.
所以
x 2－4x ＋4－
x 2－6x ＋9＝
（x －2）2－
（x －3）2＝
|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x )＝－1.
答案：C 6.
614
－3
338
＋4
0.062 5－(3＋π)0的值是( ) A ．0 B.12 C ．1
D.32
解析：原式＝52－32＋0.5－1＝1
2.
答案：B
7．化简（π－4）2＋3
（π－4）3的结果为________． 解析：原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0. 答案：0
8．若x ＜0，则|x |－x 2＋x
2
|x |
＝________．
解析：因为x ＜0，所以原式＝－x －(－x )＋－x
－x ＝－x ＋x ＋1＝1.
答案：1
9．若 4a 2
－4a ＋1＝
3
（1－2a ）3，则a 的取值范围是________．
解析：因为
（2a －1）2＝|2a －1|＝1－2a ，
所以2a －1≤0，即a ≤12
.
答案：⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，12 10．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
2－x 1
4＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1
2＋x 1
4＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －x 1
2＋1＝________．
解析：原式＝[(x 12＋1)2－(x 14)2](x －x 12＋1)＝(x ＋1＋x 12)(x －x 1
2＋1)
＝(x ＋1)2－(x 1
2)2＝x 2＋x ＋1.
答案：x 2＋x ＋1
11.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫3
6
a 94·⎝
⎛⎭
⎪⎪
⎫6
3
a 94
的结果是________． 解析：[(a 96)1
3]4·[(a 93)1
6]4
＝a 12×4·a 12×4＝a 2＋2＝a 4.
答案：a 4
12．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________．
解析：因为m ＝2－3，n ＝2＋3，
所以原式＝1
（3－3）2＋1
（3＋3）2
＝1
12－63＋1
12＋63＝ 16(12－3＋12＋3)＝16⎝⎛⎭⎫2＋3＋2－3＝46＝23. 答案：23
B 级 能力提升
13．如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( ) A.x ＋1x －1 B.x ＋1x
C.x －1x ＋1
D.x x －1
解析：由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1.
所以
y ＝1＋2－b ＝1＋12
b ＝1＋
1
x －1＝x x －1
. 答案：D
14.已知二次函数 y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4
（a －b ）4的值为(
)
A ．a ＋b
B ．－(a ＋b )
C ．a －b
D ．b －a
解析：由图象知a ＜0，－b
a ＞－1，
故b ＞a ，即a －b ＜0，
所以
4
（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .
答案：D
15．化简：
a 3b
2
3
ab 2
（a 14b 12）4
3
b a
(a ，b >0)的结果是________．
解析：原式＝[a 3b
2
(ab 2)13]1
2÷(ab 2b 1
3
a －1
3)
＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13·12b ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫2＋23×12
÷(a 23b 7
3)
＝a 5
3－2
3·b 4
3－7
3＝a
b
.
答案：a
b
16．计算下列各式的值：
(1)(0.027)13－⎝
⎛⎭
⎪⎫
61412＋25634＋(22)2
3－3－1＋π0；
(2)(a 8
5·b －
65)－
1
2·5
a 4
÷5
b 3(a ＞0，b ＞0)．
解：(1)原式＝[(0.3)3]1
3－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5221
2＋(44)34＋(232)2
3－13＋1＝0.3－52＋43
＋2－13＋1＝967
15
.
(2)原式＝a －45b 3
5·a 4
5÷b 3
5＝a －4
5＋4
5·b 3
5－3
5＝a 0b 0＝1.
17．化简：
a 4
3－8a 1
3b
4b 2
3＋23
ab ＋a
23
÷⎝
⎛
⎭
⎪⎪⎫1－23
b a ·3
a . 解：原式＝
a 1
3（a －8b ）
4b 2
3＋2a 13b 1
3＋a 23
÷
a 1
3－2b 1
3
a 1
3
·a 1
3
＝
a 1
3（a 1
3－2b 1
3）（a 2
3＋2a 13b 1
3＋4b 2
3）
4b 2
3＋2a 1
3·b 1
3＋a 2
3
·
a 1
3
a 1
3－2b 13
·a 13
＝a 1
3·a 1
3·a 1
3 ＝a .
18．已知a ＝
2 0131
n －2 013－1
n
2
(n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n 的值．
解：因为a ＝2 0131
n －2 013－1
n
2
，
所以a 2＋1＝2 0132
n ＋2 013－2
n －2
4
＋1
＝
（2 0131
n ）2＋2＋（2 013－1
n ）2
4
＝
（2 0131
n ＋2 013－1
n ）2
4
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0131
n
＋2 013－1n 2
2
. 所以a 2＋1＋a ＝2 0131
n ＋2 013－1
n 2＋2 0131
n －2 013－1
n 2.
所以(a 2＋1＋a )n ＝2 013.
第3章指数函数、对数函数和幂函数
3.1 指数函数
3.1.2 指数函数
A级基础巩固
1．下列一定是指数函数的是()
A．形如y＝a x的函数B．y＝x a(a>0，a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x D．y＝(a－2)a x
答案：C
2．下列判断正确的是()
A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83
C．π2＜π2D．0.90.3＞0.90.5
解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，
所以0.90.3＞0.90.5.
答案：D
3．函数y＝2x＋1的图象是()
解析：当x＝0时，y＝2，且函数单调递增，故选A.
答案：A
4．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度所得图象与y＝e x关于y轴对称，则f(x)＝()
A ．e x ＋1
B ．e x －1
C ．e －x －1
D ．e －x ＋1
解析：和y ＝e x 关于y 轴对称的是y ＝e －x ，将其向左移一个单位即y ＝e －x －1.
答案：C
5．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝5x
，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若
f (
g (1))＝1，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．－1 解析：先求函数值，再解指数方程．
因为g (x )＝ax 2－x ，所以g (1)＝a －1.因为f (x )＝5|x |， 所以f (g (1))＝f (a －1)＝5|a －1|＝1.所以|a －1|＝0. 所以a ＝1. 答案：A
6．当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( )
A ．1＜|a |＜2
B ．|a |＜1
C ．|a |＞1
D ．|a |＞ 2
解析：根据指数函数性质知a 2－1＞1，即a 2＞2. 所以|a |＞ 2. 答案：D
7．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＋32x >⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋a ＋321－x ，则实数x 的取值范围
________．
解析：因为a 2
＋a ＋32＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋122＋5
4>1，
即y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2＋a ＋32x
在R 上为增函数，
所以x >1－x ⇒x >12
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 8．函数y ＝a 2x ＋b ＋1(a ＞0，且a ≠1，b ∈R)的图象恒过定点(1，2)，则b 的值为________．
解析：因为函数y ＝a 2x ＋b ＋1的图象恒过定点(1，2)，
所以⎩⎨⎧2×1＋b ＝0，
a 0
＋1＝2，
即b ＝－2.
答案：－2
9．若函数f (x )＝a ＋
1
4x ＋1
为奇函数，则a ＝________． 解析：因为f (x )为奇函数且定义域为R ， 所以f (0)＝0，即a ＋1
40＋1＝0.所以a ＝－1
2.
答案：－1
2
10．求函数y ＝
32x －1－1
9的定义域为________．
解析：要使函数有意义，则x 应满足32x －1－1
9≥0，
即32x －1≥3－2.
因为函数y ＝3x 是增函数，
所以2x －1≥－2，即x ≥－1
2
.
故所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－12，＋∞ 11．求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2
－2x ＋2
(0≤x ≤3)的值域．
解：令t ＝x 2
－2x ＋2，则y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t
，
又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为0≤x ≤3，
所以当x ＝1时，t min ＝1，当x ＝3时，t max ＝5.
故1≤t ≤5，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫125
≤y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫121
. 故所求函数的值域⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
132，12.
12．已知函数f (x )＝1＋2
2x －1.
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)证明函数f (x )在(－∞，0)上为减函数． (1)解：f (x )＝1＋
2
2x
－1
， 因为2x －1≠0，所以x ≠0.
所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}． (2)证明：任意设x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2.
f (x 1)－f (x 2)＝22x 1－1－2
2x 2－1＝2（2x 2－2x 1）
（2x 1－1）（2x 2－1）.
因为x 1，x 2∈(－∞，0)且x 1＜x 2， 所以2x 2＞2x 1且2x 1＜1，2x 2＜1. 所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在(－∞，0)上为减函数．
B 级 能力提升
13．函数y ＝a x －1
a
(a >0，a ≠1)的图象可能是( )
解析：函数y ＝a x －1a 过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1－1a ，当a >1时，1－1
a ∈(0，1)且
为增函数，排除A ，B ；当0<a <1时，1－1a <0且y ＝a x －1
a 为减函数，
排除C.
答案：D
14．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)，若g (2)＝a ，则f (2)等于( )
A ．2 B.154 C.17
4
D ．a 2
解析：因为f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2.①
所以得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2.② ①＋②，得g (x )＝2， ①－②，得f (x )＝a x －a －x .
又g (2)＝a ，所以a ＝2.所以f (x )＝2x －2－x . 所以f (2)＝22－2－2＝15
4.
答案：B
15．若函数f (x )＝⎩
⎨⎧1
x ，x ＜0，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x ，x ≥0，则不等式f (x )≥1
3的解集是
________．
解析：(1)当x ≥0时，由f (x )≥13得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥1
3，
所以0≤x ≤1.
(2)当x ＜0时，不等式1x ≥1
3明显不成立，
综上可知不等式f (x )≥1
3的解集是{x |0≤x ≤1}．
答案：{x |0≤x ≤1}
16．若函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．
解析：当a >1时，有a
2
＝4，a －1＝m ⇒a ＝2，m ＝
1
2
，但此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，则a －1＝4，a 2＝m ⇒a ＝
14
，m ＝1
16
，适合题意．
答案：1
4
17．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13ax 2
－4x ＋3
.
(1)若a ＝－1时，求函数f (x )的单调增区间； (2)如果函数f (x )有最大值3，求实数a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－x 2
－4x ＋3
，
令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 由于g (x )在(－2，＋∞)上递减，
y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x
在R 上是减函数， 所以f (x )在(－2，＋∞)上是增函数，即f (x )的单调增区间是(－2，＋∞)．
(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫13h （x ）
，
由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1； 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，
解得a ＝1.
故当f (x )有最大值3时，a 的值为1.
18．一个人喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50%的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.08 mg/mL ，那么喝了少量酒的驾驶员，至少要过几小时才能驾驶(精确到1小时)?
解：1小时后驾驶员血液中的酒精含量为0.3(1－50%)mg/mL ，…，x 小时后其酒精含量为0.3(1－50%)x mg/mL ，由题意知0.3(1－50%)x
≤0.08，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
≤4
15.
采用估算法，x ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫121
＝12＞4
15.
x ＝2时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝14＝416＜4
15.
由于⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
是减函数，所以满足要求的x 的最小整数为2.
故至少要过2小时驾驶员才能驾驶.
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.2 对数函数 3.2.1 对数
A 级 基础巩固
1．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
解析：由log 2(log 3x )＝0，得log 3x ＝1，则x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.所以x ＋y ＋z ＝3＋4＋2＝9. 答案：A
2．已知log 2x ＝3，则x －
1
2等于( ) A.13 B.123 C.133
D.24 解析：因为log 2x ＝3，所以x ＝23＝8. 则x －1
2＝8－1
2＝18＝24
. 答案：D
3．log 242＋log 243＋log 244等于( ) A ．1 B ．2 C ．24 D.12
解析：log 242＋log 243＋log 244＝log 24(2×3×4)＝log 2424＝1. 答案：A。