第一章离散时间信号与系统

如开关每次闭合τ秒，则采样器的输出是一串重复 周期为T，宽度为τ的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段 时间内信号的幅度(如图)，这一采样过程可看作是一 个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ 的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号 xa(t),则采样输出为
xp(t)xa(t)p(t)
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 地质勘探
上限频率 fmax 500Hz
采样频率 fs 1-2 kHz
生物医学 机械振动
语音 音乐 视频
1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz
２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
3-5倍
4．采样的恢复（恢复模拟信号）
2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)
3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)
4、序列的能量
S x(n) 2
平方可和序列 绝对可和序列
n
x(n) 2
n
x(n)
有界序列
n
x(n) Bx
序列的运算
序列的运算
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序列的运算
序列的运算
5、实序列的偶部和奇部
x(n )xe(n )xo(n )
…1.16
讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波
器G（j）的响应过程。
理想低通G（j）的冲激响应为
g(t)F1[G (j )]
g (t)2 1 G (j )ej td 2 T 2 ssej td 2
sin s t
sin t
2 s t
T
t
2
T
…1.17
因此
xa
n
xa
(nt)
G(j) T
0
S/2
Xˆa( j) xa(t)
G(j) Yj X a(j )
g(t) y(t)=xa(t)
G(j) T 0
s 2 s 2
…1.13
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱：
Y j X ˆa(j )G (j )
…1.14
由于在Y |Ωj| < Ω s/T 1 2时X a(j X ˆa)(G j (j) )T 1 XX a(a j( j ) ) …1.15
Impseq(0,-5,5)
(2)单位阶跃序列
1, u(n)0,
n0 n0
单位阶跃序列
function[f,k]=stepseq(k0,k1,k2); k=[k1:k2]; f=[(k-k0)>=0]; stem(k,f);
stepseq(0,-5,5)
(3)矩形序列 1,
R N(n) 0,
0nN1 n0,nN
s
in[ (t nT)]
T
(t nT)
T
…1.18
这里，g(t-nT) 称为内插函数
s in (t nT)
g(t nT)
T
(t nT)
T
特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点 上，值为零。
内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样 值xa（nT）来表示，它等于xa（nT）乘上对应的 内插函数的总和，如图1.7所示。
（1）由于 ejej(2) ，所以 X(ej) 是
以2π为周期的周期函数。 （2）DTFT
X(ej) x(n)ejn n
正是周期函数 X(ej )的傅氏级数展开，而
x(n)是傅氏级数的系数。这一概念在以后滤波器 设计中有用。
DTFT的一些主要性质见表1.2。
序列
DTFT
①ax(n)+by(n)
n
其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标
构成的平面为 z 平面。
常用Z[x(n)]表示对序列x(n)的 z 变换，即
Z[x(n)] x(n)zn n
这种变换也称为双边 z 变换，与此相应还有单边 z 变
换，单边 z 变换只是对单边序列（n>=0部分）进行变换
的z变换，其定义为
X(z)
x(n)zn
用M(t)表示
M(t)(tnT)
…1.6
n
则有
x ˆa(t)xa(t)M (t)
…1.7
xa(t)(tn)T xa(n)T (tn)T
n
n
…1.8
理想采样
实际情况下，τ＝0达不到，但τ<<T时， 实际采样接近理想采样，理想采样可看作是 实际采样物理过程的抽象，便于数学描述， 可集中反映采样过程的所有本质特性，理想 采样对Z变换分析相当重要。
的收敛域应满足
x(n)zn
n
因为对于实数序列，
x(n)zn x(n)zn
n
n
因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这 个范围一般表示为
Rx-〈|z|〈Rx+
…1.22
这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围 成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+ 的大小，即收敛域的位置与具体序列有关，特殊情况 为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心 圆。
3、采样信号的频谱
X a (j ) F x a (t) x a (t)e j td t
x a (t) F 1X a (j ) 2 1 X a (j )ej td
X a (j ) x ˆ a ( t)
X a (j ) 与 X a (j )
M (t)
(t n)T
aX(ejω)+bY(ej ω)
②x*(n)
X*(e-j ω)
③x*(-n)
X*(ej ω)
④ x(n-n0)
e-jno ω X(ej ω)
线性 共轭对称 移位
⑤ejωo x(n) ⑥Re[x(n)] ⑦jIm[x(n)] ⑧x(n)
⑨xe(n) ⑩xo(n)
X(ej (ω- ωo))
Xe(ejω) Xo(ejω) X(ejω)= X*(e-jω) Re[X(ejω)]=Re[X(e-jω)] Im[X(ejω)]=-Im[X(e-jω)] Arg[X(ejω)]=-arg[Xe(e-jω)] Re[X(ejω)]
也就是说，在时域中低通滤波器的输出为： y(t)=xa(t)
频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号 经理想低通后的输出为
y(t ) xˆa (t ) g (t )
[
xa ( ) (t n T )]g (t )d
n
xa
(
) g (t
) (
n T )d
n
xa (n T ) g (t n T ) n
1 ……
N-1 n
(4)实指数序列
x(n)anu(n)
指数序列
function[f,k]=expseq(a); k=0:10; f=a.^k; stem(k,f);
expseq(0.9）
(5)正弦序列
x(n) = sin（nω0）
正弦序列
function[f,k]=sinseq(a); k=0:39; f=sin(a.*k); stem(k,f);
3）归一化数字角频率
ω=ΩT=Ω/fs
…1.10
ωs=ΩsT=2
…1.11
Ω通常称作数字角频率，它是模拟
域频率对采样频率fs的归一化
Ω与Ωs的关系?
图1.3
图1.4
X ˆa(j) Xa(j) 0
s 2 s 2
…1.12
如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱 中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆 ”现象（图1.4）,为简明起见,图中将xa(j)作为 标量处理,一般xa(j)为复数,交叠也是复数相加 。当出现频谱混淆后,一般就不可能无失真地滤出 基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。
xe(n)1 2[x(n)x(n)]
xo(n)1 2[x(n)x(n)]
6、序列的单位脉冲序列表示
x(n)x(m)(nm) m
1.2 采样
对信号进行时间上的离散化，这是对信号作 数字化处理的第一个环节。
研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件
n0
单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即 序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变 换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。
三、 z变换的收敛域
x(n)z n
一般，序列的Z变换 n
并不一定对任何z值
都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。
我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面
一、 离散信号的DTFT变换 离散信号（数字序列）的DTFT定义
X(ej) x(n)ejn n
数字序列的IDTFT变换定义
…1.19
x (n )1 2
X (ej) ej n d
…1.20
DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若 x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。
另外,平方可和序列的DTFT也存在,要强调的 是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件。 值得指出：
aejm st m
m
m
s 2T2fs
amT 1T T2 2M (t)ejm stdt
1
T 2
(t nT)ejmstdt
T T2 n
1
T 2
(t)ejmst dt
1
T T2
T
所以
M(t)1
ej m st
Tm
X ˆ a (j ) F x ˆ a ( t) F x a ( t) M ( t)
sinseq(pi/6);
(6)复指数序列
x ( n ) A e ( j 0 ) n A e n ( c o s0 n j s i n 0 n )
当 0 时x(n)的实部和虚部
分别是余弦和正弦序列。
x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).
序列的运算
1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
xa
(t ) M
(t )e
jt
dt
1 T
xa (t)
e jm st e jt dt
m
因此有，
1 T M
xa
(t )e
j (ms
)t
dt
X ˆa(j )T 1m X a(j jm s)
…1.9
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期 延拓,重复周期为s(采样频率)。
1.采样过程
采样的这些性质对离散信号和系统的分 析十分重要，要了解这些性质，首先分析采 样过程。
采样器一般由电子开关组成，开关每隔 Ｔ秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实 现一次采样。
连续时间信号的采样
采样器
xa (t)
xp (t)
P(t)
T
1 fs T
T为采样周期，fs为采样频率
采样过程
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号 最高频率谱不超过折迭频率
Xˆa(j)Xa(j) 0
s 2 s 2
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此
有
X ˆa(j )T 1m X a(j jm s)
X ˆa(j)T 1Xa(j) ││< S/2
将采样信号 xˆa (t通) 过一个理想低通滤波器（只 让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2， 特性如图
jIm[X(ejω)]
二、z变换定义
利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分 析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等， 需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉 氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。
一个离散序列 x（n）的Z变换定义为
X(z) x(n)zn
…1.21
奈奎斯特Nyquist采样定理：要使实信号采 样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最 高频率的两倍。 Ωs≥2Ωmax
实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混 淆，采样频率总是选得比两倍信号最高频率 max更大些， 如Ωs >(3~5)max。
同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入 采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护 性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于 S/2频率分量进入。
一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输 入信号在离散时间点上的瞬时值。
2. 理想采样
开关闭合时间τ→0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些 冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准 确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅 过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为 零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则 由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。
内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续 信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息——奈 奎斯特定律。
1.3 离散时间信号的DTFT与z变换
第一章离散时间信号与系统
本章主要内容Topics
离散时间信号 采样 离散信号的傅氏变换与Z变换 离散时间系统 系统的频率响应与系统函数
1.1 离散时间信号
(1)单位脉冲序列
(n) 1 0,,
n0 n0
单位脉冲序列
function[f,k]=impseq(k0,k1,k2); k=[k1:k2]; f=[(k-k0)==0]; stem(k,f);