2023-2024学年四川省成都市成都高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年四川省成都市成都高一上册期末数学试题
第I 卷（选择题，共60分）
一.单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1.已知{M x
x A =∈∣且}x B ∉，若集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，则M =（）
A.
{}
2,4 B.
{}
6,8 C.
{}
1,3,5 D.
{}
1,3,6,8【正确答案】C
【分析】根据集合M 的定义求解即可
【详解】因为集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6,8A B ==，{M x
x A =∈∣且}x B ∉，所以{
}1,3,5M =，故选：C
2.已知α为第三象限角，且25
sin 5
α=-
，则cos α=（）
A. B.55
-
C.
D.5
-
【正确答案】B 【分析】
利用同角三角函数的平方关系22sin cos 1αα+=，计算可得结果【详解】αQ
为第三象限角，
cos 0α∴<，
22sin cos 1αα+= ，
cos α∴===，故选：B.
本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.
3.已知a 为实数，使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A.4a ≥
B.
5a ≥ C.3a ≥ D.5
a ≤【正确答案】B
【分析】根据全称量词命题的真假性求得a 的取值范围，然后确定其充分不必要条件.【详解】依题意，全称量词命题：[]3,4,0x x a ∀∈-≤为真命题，
a x ≥在区间[]3,4上恒成立，所以4a ≥，
所以使“[]3,4,0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是“5a ≥”.故选：B
4.当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －
x 与y ＝log a x 的图像为（
）
A. B.
C. D.
【正确答案】C 【分析】
根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a >1，∴0<1a
<1，
∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选：C.
本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.5.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是A.x y e -= B.3y x = C.ln y x = D.y x
=【正确答案】B
【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于A ，1x
x
y e
e -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，是R 上的减函数，不合题意；
对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意；对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意；
对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B.
本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.6.已知函数()21
log f x x x
=-在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.
()01，
B.
()12，
C.
()23， D.
()34，
【正确答案】B
【分析】确定函数单调递增，计算()10f <，()20f >，得到答案.【详解】()21log f x x x =-
在()0,∞+上单调递增，()110f =-<，()11
21022
f =-=>，故函数的零点在区间()1
2，上.故选：B 7.设0.3
43
log 5,lg 0.1,a b c -===，则（
）
A.c<a<b
B.b<c<a
C.a b c
<< D.c b a
<<【正确答案】A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可判断.【详解】因为3x y =在R 上单调递增，且30x y =>恒成立，所以0.300331-<<=，即01a <<，
因为4log y x =在()0,∞+上单调递增，所以44log 541log b =>=，因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以lg 0.1lg10c =<=，综上.c<a<b 故选：A
8.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）
A.若a ＜b ，则
11
a b
> B.若a ＞b ＞0，则
11b b
a a
+<+
C.若a ＞b ，则22ac bc >
D.若22ac bc >，则a ＞b
【正确答案】D
【分析】举反例说明选项AC 错误；作差法说明选项B 错误；不等式性质说明选项D 正确.【详解】当0a b <<时，
11a b
<，选项A 错误；()1011b b a b
a a a a +--=>++，所以11
b b a a +>+，所以选项B 错误；0
c =时，22ac bc =，所以选项C 错误；
22ac bc >时，a b >，所以选项D 正确.
故选：D
二.多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）
9.已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）
A.函数()f x 为增函数
B.函数()f x 为偶函数
C.当4x ≥时，()2f x ≥
D.当120x x >>时，
1212
()()
0f x f x x x -<-【正确答案】AC
【分析】设幂函数()f x 的解析式，代入点(9,3)，求得函数()f x 的解析式，根据幂函数的单调性可判断A 、C 项，根据函数()f x 的定义域可判断B 项，结合函数()f x 的解析式，利用单调递增可判断D 项.
【详解】设幂函数()f x x α
=，则()993f α==，解得1
2
α=
，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[
)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，
()()12
442f x f ≥==，故C 正确，
当120x x >>时，因为()f x 在[
)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()1212
0f x f x x x ->-，
故D 错误．
10.已知下列等式的左、右两边都有意义，则能够恒成立的是（）
A.5tan tan 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B.sin cos 36ππαα⎛⎫⎛
⎫+=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭C.2222tan sin tan sin αααα=- D.442sin cos 2sin 1
ααα-=-【正确答案】BCD
【分析】利用诱导公式分析运算即可判断AB ，根据平方关系和商数关系分析计算即可判断CD.【详解】解：对于A ，55tan tan tan 666πππαπαα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
-=-+=-+
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦，故A 错误；对于B ，sin sin cos 3266ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=+-=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故B 正确；
对于C ，222
2
22
22
sin 1cos tan sin sin sin cos cos αααααααα
-==⋅22222
22
1sin 1sin sin tan sin cos cos ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭
，故C 正确；对于D ，()()4
4222222sin
cos sin cos sin cos sin cos αααααααα
-=+-=-()222sin 1sin 2sin 1ααα=--=-，故D 正确.
故选：BCD.
11.已知函数()2
2f x x x a =-+有两个零点1x ，2x ，以下结论正确的是（
）
A .
1
a < B.若120x x ≠，则12112
x x a
+
=C.()()13f f -= D.函数有()y f
x =四个零点
【正确答案】ABC
【分析】根据零点和二次函数的相关知识对选项逐一判断即可．
【详解】二次函数对应二次方程根的判别式2(2)4440,1a a a ∆=--=-><，故A 正确；韦达定理122x x +=，12x x a =，
121212112x x x x x x a
++==，故B 正确；对于C 选项，()1123f a a -=++=+，()3963f a a =-+=+，所以()()13f f -=，故C
对于D 选项，当0a =时，由()0y f x ==得220x x -=，所以1
230,2,2x
x x ==-=故有三
个零点，则D 选项错误．故选:：ABC
12.设,a b 为正实数，4ab =，则下列不等式中对一切满足条件的,a b 恒成立的是（）
A.4
a b +≥ B.228
a b +≤ C.
111a b
+≥ D.
+≤【正确答案】AC
【分析】根据特殊值以及基本不等式对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A 选项，由基本不等式得4a b +≥=，当且仅当2a b ==时等号成立，A 选项正确.
B 选项，1,4a b ==时，4ab =，但22178a b +=>，B 选项错误.
C 选项，由基本不等式得111
a b +≥=，，当且仅当11,2a b a b ===时等号成立，C 选项正确.
D 选项，1,4a b ==时，4ab =，但3=>D 选项错误.故选：AC
第II 卷（选择题，共60分）
三.填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.已知函数log (3)1a y x =-+（0,1a a >≠）的图像恒过定点P ，则点P 的坐标为____.【正确答案】()
4,1【分析】由log 10a =，令真数为1，即4x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当4x =时，log 111a y =+=，∴函数的图像恒过定点()4,1故()
4,114.已知角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，且tan x θ=．则sin θ的值为_________
【正确答案】
2
【分析】根据三角函数定义即可求解．
【详解】由于角θ的终边经过点(),1(0)P x x >，所以1
tan x x
θ==，得1x =
所以sin 2
θ=
=
故
2
15.函数
y =的定义域为_________.【正确答案】3
{|
1}4
x x <≤【分析】根据根式、对数的性质有0.5
430
log (43)0x x ->⎧⎨-≥⎩求解集，即为函数的定义域.
【详解】由函数解析式知：0.5430log (43)0
x x ->⎧⎨
-≥⎩，解得3
14x <≤，
故答案为.3
{|
1}4
x x <≤16.对于函数()x
f x e =（e 是自然对数的底数），a ，b ∈R ，有同学经过一些思考后提出如下命题：
①()()()f a f b f a b =⋅+；②()()()()af a bf b af b bf a +≥+；
③3
()12
f a a ≥
+；④()()22a b f a f b f ++⎛⎫≤
⎪⎝⎭
.则上述命题中，正确的有______.【正确答案】①②④【分析】
根据指数函数的单调性，结合基本不等式，特殊值代入，即可得到答案；【详解】对①，()()()a b a b f a f b e e e f a b +⋅=⋅==+，故①正确；对②，()()()()af a bf b af b bf a +≥+()()()()f a a b f b a b ⇔--，
当a b =时，显然成立；当a b >时，()()f a f b >；当a b <时，()()f a f b <，综上可得：()()()()f a a b f b a b --成立，故②正确；
对③，取1
2a =
，
1724f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
不成立，故③错误；
对④，
2
()()2
22a b a b
e e a b
f a f b e
f ++++⎛⎫=⇒≤
⎪⎝⎭
，故④正确；故答案为：①②④
本题考查指数函数的性质及基本不等式的应用，求解时还要注意特殊值法的运用.
四.解答题：（本题共6小题，共70分17题10分，18-22题每小题12分.）
17.（1）求值：()()()5
2
42
lg50.250.5lg5lg2lg20-+⨯+⨯+；
（2）若tan 2α=，求22
sin sin cos 1cos ααα
α
++的值.【正确答案】（1）2.5；(2)1
【分析】(1)应用指对数运算律计算即可;(2)根据正切值,弦化切计算可得.【详解】（1）
()()()()()()52
42
45
lg50.250.5lg5lg2lg20
0.50.5lg5lg5lg2lg21
0.5lg5lg210.5112.5
--+⨯+⨯+=⨯⨯+++=+++=++=+(2)因为tan 2α=,所以
2222222
sin sin cos sin sin cos tan tan 6
11cos sin 2cos tan 26
αααααααααααα+++====+++18.已知集合{
}2
230A x x x =-->，{}
40B x x a =-≤.（1）当1a =时，求A B ⋂；
（2）若A B = R ，求实数a 的取值范围.
【正确答案】（1）()(]
134∞--⋃，，
（2）34
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】（1）代入1a =，求解集合A ，B ，按照交集的定义直接求解即可；（2）求解集合B ，由并集为全集得出集合B 的范围，从而求出a 的范围.【小问1详解】
解：由2230x x -->得1x <-或3x >.
所以()()13A ∞∞=--⋃+，，.当1a =时，(]
4B ∞=-，.所以()(]
134A B ∞⋂=--⋃，
，.【小问2详解】
由题意知(4B a ∞=-，
].又()()13A ∞∞=--⋃+，，，因为A B = R ，所以43a ≥.所以34
a ≥
.所以实数a 的取值范围是
34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，.19.已知函数()332
x x
f x --=．
（1）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明；（3）若()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，求x 的取值范围．【正确答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）(]
1,0-.
【分析】（1）根据证明函数的奇偶性步骤解决即可；（2）根据单调性定义法证明即可；
【小问1详解】
()332
x x
f x --=
为奇函数，理由如下易知函数的定义域为(),-∞+∞，关于原点对称，
因为33()()2
---==-x x
f x f x ，
所以()f x 为奇函数.【小问2详解】
()f x 在()0,∞+上的单调递增，证明如下
因为()332
x x
f x --=，()0,x ∈+∞，
设任意的12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，
所以()()()()12121122
12
33333333222
----------==-x x x x x x x x f x f x ()()12
1
2
1212
123313333133332
2
⎛⎫-⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
=x x x x x x
x x x x 因为12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，所以1212330,330-<>x x x x ，
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,∞+上的单调递增.【小问3详解】
由（1）知()f x 为奇函数，由（2）知()f x 在()0,∞+上的单调递增，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增，
因为()()120f ax f x -+->对任意(],2a ∈-∞恒成立，所以(1)(2)(2)->--=-f ax f x f x ，
所以12ax x ->-对任意(],2a ∈-∞恒成立，
令()()10g a xa x =+->，(]
,2a ∈-∞则只需0(2)2(1)0x g x x ≤⎧⎨=+->⎩
，解得10-<≤x ，所以x 的取值范围为(]
1,0-.
20.有一种放射性元素，最初的质量为500g ，按每年10%衰减
（1）求两年后，这种放射性元素的质量；
（2）求t 年后，这种放射性元素的质量w （单位为：g ）与时间t 的函数表达式；
（3）由（2）中的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期（剩留量为原来的一半所需的时间叫做半衰期）．（精确到0.1年，已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）
【正确答案】（1）405g
（2）5000.9t
w =⨯（3）6.6年.
【分析】(1)根据衰减率直接求解即可；(2)根据衰减规律归纳出函数表达式；(3)半衰期即为质量衰减为原来的一半，建立等式，利用换底公式求解.
【小问1详解】
经过一年后，这种放射性元素的质量为500(10.1)5000.9⨯-=⨯，
经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，
即两年后，这种放射性元素的质量为405g
【小问2详解】
由于经过一年后，这种放射性元素的质量为1500(10.1)5000.9⨯-=⨯，
经过两年后，这种放射性元素的质量为2500(10.1)(10.1)5000.9⨯-⨯-=⨯，
……
所以经过t 年后，这种放射性元素的质量5000.9t w =⨯.
【小问3详解】
由题可知5000.9250t ⨯=，即0.9lg 0.5lg 2log 0.5 6.6lg 0.92lg 31
t -===≈-年.21.已知函数()()3312log ,log x x f x g x =-=．
（1）求函数()()2
63y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点；
（2）讨论函数()()()2 h x g x f x k ⎡⎤=---⎣⎦在[]1,27上的零点个数．
【正确答案】（1）9（2）答案见解析．
【分析】（1）由题知()2332log 5log 20x x -+=，进而解方程即可得答案；
（2）根据题意，将问题转化为函数()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数，进而数形结合求解即可.
【小问1详解】
解：由()()2 630f x g x ⎡⎤-+=⎣⎦，得()233 12log 6log 30x x --+=，
化简为()2332log 5log 20x x -+=，解得3 log 2x =或31 log 2x =
，
所以，9x =或x =
所以，()()2 63y f x g x ⎡⎤=-+⎣⎦的零点为9．
【小问2详解】
解：由题意得()()2
33 log 2log 1h x x x k =-+--，
令()0h x =，得()233 log 2log 1x x k -+-=，令3log t x =，[]1,27x ∈，则[]
2 0,3,21t t t k ∈-+-=，所以()h x 在[]1,27上的零点个数等于函数()2
21F t t t =-+-在[]0,3上的图像与直线y k =的交点个数．
()2 21F t t t =-+-在[]0,3上的图像如图所示．
所以，当0k >或4k <-时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =无交点，
所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；
当0k =或41k -≤<-时()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有1个交点，
所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；
当10k -≤<时，()F t 在[]0,3上的图像与直线y k =有2个交点，
所以，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．
综上，当0k >或4k <-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为0；
当0k =或41k -≤<-时，()h x 在[]1,27上的零点个数为1；
当10k -≤<时，()h x 在[]1,27上的零点个数为2．
22.已知函数()ln()()f x x a a R =+∈的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值；
（3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.【正确答案】（1）()ln f x x =；（2）k 的取值为2或3；（3）()1,2.
【分析】
（1）根据题意，得到ln(1)0a +=，求得a 的值，即可求解；
（2）由（1）可得()
2ln 2y x kx =-，得到2210x kx --=，设2()21h x x kx =--，根据题意转
化为函数()y h x =在()1,2上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得()g x 的最大值()g m ，得出max ()ln(1)g x m <--，得到22ln(1)m m m -<--，设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，结合()h m 单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数()ln()()f x x a a R =+∈的图像过点()1,0，所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的解析式为()ln f x x =.
（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈，
令()
2ln 20x kx -=，得2210x kx --=，
设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720
h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<，因为Z k ∈，所以k 的取值为2或3.
（3）因为0m >且1m m >，所以1m >且101m
<<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--，
所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝
⎭所以2
max ()()2g x g m m m ==-，
只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--，
设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增，
又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<，
所以m 的取值范围是()1,2.
已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()
f x中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。