高中数学 课时跟踪检测(十二)合情推理(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试

课时跟踪检测（十二） 合情推理
一、题组对点训练
对点练一 数(式)中的归纳推理
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
·a n (n ≥2)，且a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n
等于( )
A ．2(n ＋1)2
B ．2n (n ＋1)
C ．22n －1
D ．22n －1
解析：选B 由a 1＝1，S 2＝22
·a 2＝a 1＋a 2得a 2＝13，
由a 1＋a 2＋a 3＝9×a 3得a 3＝1
6
，
由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42
·a 4得a 4＝110，…，
猜想a n ＝
2
n (n ＋1)
，故选B.
2．将正整数排列如下图： 1
2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16 …
则2 018出现在 A ．第44行第81列 B ．第45行第81列 C ．第44行第82列
D ．第45行第82列
解析：选D 由题意可知第n 行有2n －1个数，则前n 行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2
，因为442
＝1 936，452
＝2 025，且1 936<2 018<2 025，所以2 018在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2018－1 936＝82，故2 018在第45行第82列，选D.
3．观察下列各式：1＝12,
2＋3＋4＝32,
3＋4＋5＋6＋7＝52,
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72
，…可以得出的一般结论是( )
A ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝n 2
B ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
C ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝n 2
D ．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －1)＝(2n －1)2
解析：选B 观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n －1(n ∈N *
)项的和，其首项为n ，右边是项数的平方，故第n 个等式首项为n ，共有2n －1项，右边是(2n －1)2
，即
n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，故选B.
4．设f(x)＝1
3x＋3
，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明．
解：f(0)＋f(1)＝1
30＋3＋
1
3＋3
＝
1
1＋3
＋
1
3＋3
＝
3－1
2
＋
3－3
6
＝
3
3
.
同理f(－1)＋f(2)＝
3
3
，f(－2)＋f(3)＝
3
3
.
由此猜想：当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝
3
3
.
证明：设x1＋x2＝1，
则f(x1)＋f(x2)＝1
3x1＋3＋
1
3x2＋3
＝
3x1＋3x2＋23
3x1＋x2＋3(3x1＋3x2)＋3
＝
3x1＋3x2＋23
3(3x1＋3x2)＋2×3
＝
3x1＋3x2＋23
3(3x1＋3x2＋23)
＝
3
3
.
故猜想成立．
对点练二归纳推理在几何中的应用
5．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色B．黑色
C．白色可能性大D．黑色可能性大
解析：选A 由图，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36颗珠子的颜色为白色．6．如图所示，第n个图形是由正n＋2边形拓展而来(n＝1,2，…)，则第n－2个图形共有________个顶点．
解析：第一个图有3＋3×3＝4×3个顶点；
第二个图有4＋4×4＝5×4个顶点；
第三个图有5＋5×5＝6×5个顶点；
第四个图有6＋6×6＝7×6个顶点；
……；
第n 个图有(n ＋3)×(n ＋2)个顶点． 第n －2个图有(n ＋1)×n ＝(n 2
＋n )个顶点． 答案：n 2
＋n
7．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮. 现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．
(1)求出f (5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；
(3)求
1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
的值． 解：(1)f (5)＝41.
(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，
f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4，
…
由上面规律，得出f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒
f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)
＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)
＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…
＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2
－2n ＋1. (3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1－1n .
所以
1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1
＝1＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12＋12－13＋13－1
4＋…＋1n －1－1n
＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n .
对点练三 类比推理
8．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，且b 1b 2b 3…b 9＝29
.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )
A ．a 1a 2a 3…a 9＝29
B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29
C ．a 1a 2…a 9＝2×9
D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9
解析：选D 等比数列中的积(乘方)类比等差数列中的和(积)，得a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9. 9．在平面中，△ABC 的∠ACB 的平分线CE 分△ABC 面积所成的比
S △AEC S △BEC ＝AC
BC
，将这个结论类比到空间：在三棱锥A ­BCD 中，平面DEC 平分二面角A ­CD ­B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．
解析：平面中的面积类比到空间为体积，故S △AEC S △BEC 类比成V A ­CDE
V B ­CDE
.平面中的线段长类比到空间为面积，故AC
BC 类比成
S △ACD S △BDC .故有V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD
S △BDC
. 答案：
V A ­CDE V B ­CDE ＝S △ACD
S △BDC
10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α，β，则cos 2
α＋cos 2
β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
解：如图①，在矩形ABCD 中，cos 2
α＋cos 2
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c
2
c 2＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝1，
证明如下：如图②，cos 2
α＋cos 2
β＋cos 2
γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫g l 2＝
m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2
l 2＝1.
二、综合过关训练
1．观察下列各式：72
＝49,73
＝343,74
＝2 401，…，则72 018
的末两位数字为( )
A ．01
B ．43
C ．07
D ．49
解析：选D 因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76
＝117 649，…， 所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又2 018＝4×504＋2， 所以7
2 018
的末两位数字与72
的末两位数字相同，为49.
2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：
那么下列4个图形中，
可以表示A *D ，A *C 的分别是( ) A ．(1)，(2) B ．(1)，(3) C ．(2)，(4)
D ．(1)，(4)
解析：选C 由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A 代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C 代表横线，字母D 代表小矩形，∴A *D 是(2)，A *C 是(4)．
3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A ．289
B ．1 024
C ．1 225
D ．1 378
解析：选C 记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，
a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2
.
同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2
.
将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.
4．将正偶数2,4,6,8，…按下表的方式进行排列，记a ij 表示第i 行和第j 列的数，若a ij
＝2 018，则i ＋j 的值为( )
第1 列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行
2 4 6 8 第2行 16
14 12 10 第3行
18 20 22 24 第4行 32
30 28 26 第5行
34 36 38 40 …
…
…
…
…
…
A ．257
B ．256
C ．255
D ．254
解析：选C 由表所反映的信息来看，第n 行的最大偶数为S n ＝8n (n ∈N *
)，则8(i －1)<2 018≤8i ，由于i ∈N *
，解得i ＝253；另一方面，奇数行的最大数位于第5列，偶数行的最大数位于第1列，第252行最大数为8×252＝2 016，此数位于第252行第1列，因此2 018位于第253行第2列，所以i ＝253，j ＝2，故i ＋j ＝253＋2＝255，故选C.
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，
T 16
T 12
成等比数列． 解析：等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，
T 12T 8，T 16
T 12
成等比数列． 答案：
T 8T 4T 12
T 8
6．如图(1)，在三角形ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2
＝BD ·BC .若类比该命题，如图(2)，三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是不是真命题．
解：命题是：三棱锥A ­BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为
M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S △BCD .此命题是一个真命题．
证明如下：
在图(2)中，延长DM 交BC 于E ，
连接AE ，则有DE ⊥BC . 因为AD ⊥平面ABC ， 所以AD ⊥AE .
又AM ⊥DE ，所以AE 2
＝EM ·ED .
于是S 2
△ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·AE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·EM ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12BC ·ED ＝S △BCM ·S △BCD .
7．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *
，m ≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； (3)求a 10，并说明a 10表示的实际意义； (4)已知a n ＝9 900，问a n 是数列第几项？
解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….
(2)因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *
. (3)a 10＝11×12＝132.a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
(4)令(n ＋1)(n ＋2)＝9 900，所以n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。