九年级数学上册 第4章 锐角三角函数 4.1 正弦和余弦 第3课时 余弦同步练习 (新版)湘教版

第4章锐角三角形函数
4.1 正弦和余弦
第3课时余弦
知识点 1 余弦的定义
1．如图4－1－8，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则cos A的值是( )
A.3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
图4－1－8
图4－1－9
2．如图4－1－9，点A为∠α的边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是( )
A.BD
BC
B.
BC
AB
C.
AC
AB
D.
CD
AC
3．xx·哈尔滨在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，则cos B的值为( )
A.15
4
B.
1
4
C.
15
15
D.
417
17
图4－1－10
4．xx·南通如图4－1－10，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则cos A＝________．
5．已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝4，求cos A，cos B的值．
知识点 2 互余两角的正弦与余弦的关系
图4－1－11
6．如图4－1－11，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝________，cos B ＝________，所以sin A ＝cos________．由此可知，若α为锐角，则有sin α＝cos________．
7．已知α为锐角， cos α＝sin50°，则α等于( ) A ．20° B．30° C．40° D．50°
8．如果α为锐角，且sin α＝4
5，那么cos(90°－α)＝________.
知识点 3 特殊角的余弦值
9．xx·郴州月考计算2cos45°的结果为( ) A. 2 B ．1 C.
22 D.12
10．已知α为锐角，且cos α＝
3
2
，则α的度数为( ) A ．30° B．60° C．45° D．75° 11．计算：sin60°cos30°－1
2
＝________．
12．计算：2cos45°cos60°－2cos 2
30°.
知识点 4 用计算器求余弦值或角度
13．用计算器求下列锐角的余弦值(精确到0.01)： (1)71°； (2)56°36′.
14．已知下列余弦值，用计算器求对应的锐角α(精确到0.1°)： (1)cos α＝0.8805； (2)cos α＝0.3453.
15．点M (－sin60°，cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32
，－12
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32
图4－1－12
16．xx·荆州如图4－1－12，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是( )
A ．2 B.2 5
5
C.12
D.55
17．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且|sin A －12|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －322＝0，则△ABC 是( )
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．形状不能确定
18．计算：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
－2cos30°＋27＋(2－π)0
.
19．(1)用计算器比较下列各数的大小： ①sin38°________cos38°； ②sin40°________cos40°； ③sin45°________cos45°； ④sin50°________cos50°； ⑤sin80°________cos80°.
(2)根据上述结果归纳sin α与cos α(0°＜α＜90°)的大小关系．
20．如图4－1－13，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，M 是直角边AC 上一点，MN ⊥AB 于点N ，AN ＝3，AM ＝4，求cos B 的值．
图4－1－13
21．规定：sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，sin(x ＋y )＝sin x ·cos y ＋cos x ·sin y . 据此判断下列命题是否正确，并说明理由．
①cos(－60°)＝－1
2；
②sin75°＝
6＋2
4
； ③sin2x ＝2sin x ·cos x ；
④sin(x －y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y .
1．C [解析] cos A ＝AC AB ＝3
5
.故选C.
2．C [解析] 在Rt△ABC 中，sin α＝AC AB
，故选项C 错误．故选C.
3．A [解析] ∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，∴BC ＝42
－12
＝15，则cos B ＝BC AB ＝
15
4
.故选A. 4.34 [解析] ∵Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，CD ＝2，∴AB ＝4，∴cos A ＝AC AB ＝34. 5．在△ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝2，AB ＝4， ∴AC ＝AB 2
－BC 2
＝42
－22
＝2 3，
∴cos A ＝AC AB ＝2 34＝32，cos B ＝BC AB ＝24＝12
.
6.BC AB BC
AB
B (90°－α) 7．C
8.4
5 [解析] ∵sin α＝cos(90°－α)， ∴cos(90°－α)＝sin α＝4
5.
9．B [解析] 2cos45°＝2×2
2
＝1. 故选B. 10．A 11.1
4
12．解：原式＝2×
22×12－2×(32)2＝12－2×3
4
＝－1. 13．解：(1)cos71°≈0.33.(2)cos56°36′≈0.55. 14．解：(1)α≈28.3°.(2)α≈69.8°. 15．B
16．D [解析] 由勾股定理得AB 2＝42＋32＝25，AC 2＝42＋22＝20，BC 2＝12＋22
＝5，
∴AC 2＋BC 2＝20＋5＝25＝AB 2
，
∴△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°， ∴cos∠ABC ＝BC AB ＝5
5
.故选D. 17．B
18．解：原式＝2－2×
3
2
＋33＋1＝2－3＋3 3＋1＝2 3＋3. 19． (1)①＜ ②＜ ③＝ ④＞ ⑤＞ (2)当0°＜α＜45°时，sin α＜cos α；当α＝45°时，sin α＝cos α；当45°<α<90°时，sin α＞cos α.
20．解：∵∠C ＝90°，MN ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ANM ＝90°.
又∵∠A ＝∠A ，∴△AMN ∽△ABC ，
∴AC AB ＝AN AM ＝34
.
设AC ＝3x ，AB ＝4x (x ＞0)，
由勾股定理得：BC ＝AB 2
－AC 2
＝7x . 在Rt△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝
7x 4x ＝74
. 21．解：①cos(－60°)＝cos60°＝1
2
，命题错误；
②sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°×cos45°＋cos30°×sin45°＝12×22＋
3
2×
22＝24＋64＝6＋2
4
，命题正确； ③sin2x ＝sin(x ＋x )＝sin x ·c os x ＋cos x ·sin x ＝2sin x ·cos x ，命题正确；
④sin(x －y )＝sin x ·cos(－y )＋cos x ·sin(－y )＝sin x ·cos y －cos x ·sin y ，命题正确．。