中考数学复习攻略 专题6 方程与不等式的实际应用(含答案)

专题六 方程与不等式的实际应用
解决方程与不等式的实际应用题的一般步骤：①认真审题，理解题意，弄清题中的已知量、未
知量以及它们之间的关系；②设未知数(合理地选择未知数是解题的关键)；③列方程(组)或不等式；④解方程(组)或不等式(注意：解分式方程时必须要有“验根”这一步)；⑤检验，对所求结果进行检验，看是否符合题意；⑥作答．
解决方程与不等式的实际应用题时，首先要认真审题，从题中找出已知量与未知量之间的关系，然后根据题意列出关系式，进而解决相关问题．在解决问题的过程中要注意方程与不等式的解是否符合题意，涉及函数要检验自变量的取值范围，当题干中出现方案设计问题或最值问题时，往往需要根据题干中的已知条件和函数的增减性来解决方案设计或最值问题．
中考重难点突破
一次方程(组)的实际应用
【例1】(2021·陕西中考)一家商店在销售某种服装(每件的标价相同)时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价．
【解析】设这种服装每件的标价是x 元，根据“这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等”列出方程，然后解方程即可求解．
【解答】解：设这种服装每件的标价是x 元．
根据题意，得10×0.8x ＝11(x －30).
解得x ＝110.
答：这种服装每件的标价为110元．
1．现有一条长度为359 mm 的铜管料，把它锯成长度分别为39 mm 和29 mm 的两种不同规格的小铜管(要求没有余料)．每锯一次损耗1 mm 的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39 mm 的小铜管__6__段，29 mm 的小铜管__4__段．
2．某中学组织七年级全体学生参加社会实践，若只调配45座客车若干辆，则有15人没有座位；若只调配30座客车，则用车数量将增加3辆，且空出15个座位．
(1)该学校七年级总共有多少学生？
(2)若同时调配45座和30座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
解：(1)设只调配45座客车x 辆，则该学校七年级共有学生(45x ＋15)人，只调配30座客车需要(x ＋3)辆．
由题意，得30(x ＋3)－(45x ＋15)＝15.
解得x ＝4.
∴45x ＋15＝45×4＋15＝180＋15＝195.
答：该学校七年级共有学生195人；
(2)设需要调配45座客车m 辆，30座客车n 辆，
由题意，得45m ＋30n ＝195.
∴n ＝13－3m 2
. 又∵m ，n 均为正整数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝5 或⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2. 答：需调配45座客车1辆，30座客车5辆或调配45座客车3辆，30座客车2辆．
分式方程的实际应用
【例2】(2021·常州中考)为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20 t 水可以比原来多用5天．该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？
【解析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．设该景点在设施
改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t ，根据“20 t 水可以比原来多用5天”列出方程并解答．
【解答】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x t ，则在改造前平均每天用水2x t.
根据题意，得20x －202x
＝5. 解得x ＝2.
经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意．
答：该景点在设施改造后平均每天用水2 t ．
3．(2021·徐州中考)某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的
数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？
解：设该商品打折前每件x 元，则打折后每件0.8x 元．
根据题意，得400x ＋2＝4000.8x
. 解得x ＝50.
经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意．
答：该商品打折前每件50元．
方程与不等式的综合应用
【例3】某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋供兴趣小组使用，其中购买象棋用了420元，购买围棋用了756元，已知每副围棋比每副象棋贵8元．
(1)求每副围棋和象棋各是多少元？
(2)若该校决定再次购买同种围棋和象棋共40副，且再次购买的费用不超过600元，则该校最多可再购买多少副围棋？
【解析】(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元，根据“420元购买象棋数量＝756元购买围棋数量”列出方程求解即可；
(2)设购买围棋m 副，则购买象棋(40－m )副，根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：(1)设每副围棋x 元，则每副象棋(x －8)元．
根据题意，得420x －8
＝756x .解得x ＝18. 经检验，x ＝18是原方程的解，且符合题意．
∴x －8＝10.
答：每副围棋18元，每副象棋10元；
(2)设该校购买m 副围棋，则购买(40－m )副象棋．
根据题意，得18m ＋10(40－m )≤600.解得m ≤25.
∵m 为正整数，∴m 的最大值是25.
答：该校最多可再购买25副围棋．
4．(2021·玉林中考)某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电．有A ，B 两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚
烧垃圾均为100 t ，每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉比B 焚烧炉多发电50度，A ，B 焚烧炉每天共发电55 000度．
(1)求焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉各发电多少度？
(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉和B 焚烧炉的发电量分别增加a %和2a %，则A ，B 焚烧炉每天共发电至少增加(5＋a )%，求a 的最小值．
解：(1)设焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电m 度，B 焚烧炉发电n 度．
根据题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧m －n ＝50，100（m ＋n ）＝55 000. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝300，n ＝250.
答：焚烧一吨垃圾，A 焚烧炉发电300度，B 发焚烧炉发电250度；
(2)由题意，得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A 焚烧炉发电300(1＋a %)度，则B 焚烧炉发电250(1＋2a %)度，
由题意，得100×300(1＋a %)＋100×250(1＋2a %)≥55 000[1＋(5＋a )%].
整理，得5a ≥55.
解得a ≥11.
∴a 的最小值为11.
一元二次方程的实际应用
【例4】(2021·烟台中考)直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【解析】(1)根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x 元，则每件
的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5
＝(140－2x )件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；(2)设该商品需要打a 折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：(1)设售价应定为x 元，则每件的利润为(x －40)元，日销售量为20＋10（60－x ）5
＝(140－2x )件． 由题意，得(x －40)(140－2x )＝(60－40)×20.
整理，得x 2－110x ＋3 000＝0.
解得x 1＝50，x 2＝60(舍去).
答：每件售价应定为50元；
(2)设该商品需要打a 折销售．
由题意，得62.5×a 10
≤50. 解得a ≤8.
答：该商品至少需打8折销售．
5．列方程(组)解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600 m 2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一面靠墙，墙长35 m ，另外三面用69 m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1 m 宽的门(不包括篱笆)．求这个茶园的长和宽．
解：设茶园AB 边的长为x m ，则BC 边的长为(69＋1－2x ) m ．根据题意，得
x (69＋1－2x )＝600.
整理，得x 2－35x ＋300＝0.
解得x 1＝15，x 2＝20.
当x ＝15时，70－2x ＝40＞35，不符合题意，舍去；
当x ＝20时，70－2x ＝30＜35，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30 m ，20 m ．
6．如图，某城建部门计划在新建的城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1 200 m 2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知整个长方形空地的长为50 m ，宽为40 m.
(1)求四周通道的宽度；
(2)某建筑公司希望用80万元的承包金额承揽这项工程，城建部门认为金额太高需要降价，经过两次协商，最终以51.2万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：(1)设四周通道的宽度为x m ，则停车场的长为(50－2x ) m ，宽为(40－2x ) m.
由题意，得(50－2x )(40－2x )＝1 200.
整理，得x 2－45x ＋200＝0.
解得x 1＝5，x 2＝40.
当x ＝5时，40－2x ＝40－2×5＝30，符合题意；
当x ＝40时，40－2x ＝40－2×40＝－40＜0，不符合题意，舍去．
答：四周通道的宽度为5 m ；
(2)设每次降价的百分率为a .
由题意，得80(1－a )2＝51.2.
解得a 1＝0.2＝20%，a 2＝1.8(不合题意，舍去).答：每次降价的百分率为20%.
中考专题过关
1.(2021·吉林中考)港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，它由桥梁和隧道两部分组成，桥梁和隧道全长共55 km.其中桥梁长度比隧道长度的9倍少4 km.求港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度．
解：设港珠澳大桥隧道长度为x km ，桥梁长度为y km.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝55，y ＝9x －4. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝5.9，y ＝49.1. 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为49.1 km 和5.9 km.
2．(2021·郴州中考)“七·一”建党节前夕，某校决定购买A ，B 两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知A 奖品比B 奖品每件多25元，预算资金为1 700元，其中800元购买A 奖品，其余资金购买B 奖品，且购买B 奖品的数量是A 奖品的3倍．
(1)求A ，B 奖品的单价；
(2)购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A 奖品的资金不少于720元，A ，B 两种奖品共100件，求购买A ，B 两种奖品的数量，有哪几种方案？
解：(1)设A 奖品的单价为x 元，则B 奖品的单价为(x －25)元．
由题意，得800x ×3＝1 700－800x －25
. 解得x ＝40.
经检验，x ＝40是原方程的解，且符合题意．
∴x －25＝15.
答：A 奖品的单价为40元，B 奖品的单价为15元；
(2)设购买A 奖品的数量为m 件，则购买B 奖品的数量为(100－m )件．
由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧40×0.8×m ≥720，40×0.8×m ＋15×0.8×（100－m ）≤1 700. 解得22.5≤m ≤25.
∵m 为正整数，
∴m 的值为23，24，25.
∴有三种方案：
①购买A 奖品23件，B 奖品77件；
②购买A 奖品24件，B 奖品76件；
③购买A 奖品25件，B 奖品75件．
3．(2021·朝阳中考)某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于38元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间符合一次函数关系，如图所示．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w (元)，当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0).
由所给函数图象可知，⎩
⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝70，35k ＋b ＝50. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝120. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋120(20≤x ≤38)；
(2)根据题意，得(x －20)(－2x ＋120)＝600.
整理，得x 2－80x ＋1 500＝0.
解得x ＝30或x ＝50(不合题意，舍去).
答：每件商品的售价应定为30元；
(3)∵y ＝－2x ＋120，
∴w ＝(x －20)y
＝(x －20)(－2x ＋120)
＝－2x 2＋160x －2 400
＝－2(x －40)2＋800.
∵－2<0，20≤x ≤38，
∴当x ＝38时，w 最大＝792.
∴当每件商品的售价定为38元时，每天销售利润最大，最大利润是792元．。