线性代数练习册第四章习题及答案

线性代数练习册第四章习题及答案
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第四章 线性方程组
§4—1 克拉默法则
一、选择题
1．下列说法正确的是（ C ）
A 。

元齐次线性方程组必有组解；
B 。

元齐次线性方程组必有组解; C.元齐次线性方程组至少有一组解，即零解; D 。

元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）
A.当时，非齐次线性方程组只有唯一解； B 。

当时,非齐次线性方程组有无穷多解;
C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则；
D.若非齐次线性方程组有无解，则. 二、填空题
1．已知齐次线性方程组有非零解， 则 1 , 0 。

2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式,
则方程组有唯一解 .
1． 解：
，
所以，
2．
解：
n n
n 1n -n n 0D ≠0
D ≠0D =0D =1231231230020
x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩λ=
μ=0D ≠i x =832623x y x y +=⎧⎨
+=⎩8320
62D ==-≠123532D ==-2821263D =
=-125,6
2D D x y D D ====-123123123
22
2310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪-+-=⎩21
31
121121
221303550
111010r r D r r ---=--=-≠+---
， ，
所以，
3．
解: , ，
所以，
4．
解:
11222100511321135011011D r r ---=-+-
=---212121505213221310101101D r r --=-+-
=-----31212250021122115110110D r r --=+=
---312
123
1,2,1D D D x x x D D D ======21
241832x z x y z x y z -=⎧⎪
+-=⎨⎪-++=⎩
132010012412041200183583D c c --=-+-
=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=
2322112102112100123125D c c -=-+=
--313201001241204120182582D c c =-=
--3121,0,1
D D D
x y z D D D ======12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨
---=-⎪⎪
+++=⎩
所以，
§4—2 齐次线性方程组
一、选择题 1．已知矩阵的秩为，是齐次线性方程组 的两个不同的解， 为任意常数，则方程组的通解为（ D ）。

A 。

； B.；
2131412131
1111
111112140
1
2
3223150537331211
021
8
1
2
3
1
2
3
5537
0138142
2218
0514
r r D r r r r r r r r ---=
------------+=----=-+---3214212
32
511
1
51
110
2221422
518231523528110121101005110010
5251827332142
10252823522c c D c c c c c c --------=
----------+=-----=----21
231
41
1323
15111511
121407232221501237
330211015187
2
3
230132123733
031284
315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------1234221311151
21510312245221823251111322831
0110100
2510200
251
52185297426
52
11228115127
c c D c c c c c c -------=
---------+=-----=----1243232
21
1115
2115
312125252
223121135231200100215215
5525027142
51152604
c c D c c r r r r --------=
----------+=----=---3124
1234
1,2,3,1D D D D x x x x D D D D ========-m n ⨯A 1n -12,αα0A
X =k
0A
X =1k α2k α
C 。

； D.。

解：因为矩阵的秩为，所以方程组的基础解系 含1个向量.而是齐次线性方程组的两个不同的解， 所以为的解，则方程组的通解为。

2．设线性方程组 有非零解，则正确的是( C ）
A.必定为0； B 。

必定为1； C. 为0或1； D.这样的值不存在。

3．，且，
，
则的基础解系中含有（ A ）个向量.
A.； B 。

； C.； D 。

不确定.
解：因为
所以,，所以，。

4．设为阶方阵， ，且是的三个 线性无关的解向量,则的基础解系为（ A ）．
A ．；
B ．；
C ．；
D ．． 二、填空题 1．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 。

2．当 时，齐次线性方程组有非零解.
3．写出一个基础解系由，组成的 12()k αα+12()k α
α-m n ⨯A
1n -0A
X =12,αα0A
X =120α
α-≠0A X =0A X =12()k αα-123123123
020
kx x x x kx x x x x ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩k k k
k 1112
12122
212
n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥
⎣⎦
L L M M O M L 0
i a ≠(1,2,,)
i n =L 0(1,2,,)j
j n b ≠=L 0A x =1n -n 1()1112112122221212n n n n n n n n a b a b a b a a b a b a b a A b b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L M M O M M L 11()10()1R A a b R A ≤≠⇒≥；又()1RA
=A
n
()3rA
n =-123,,a a a 0A x =0A x =122331,,aa aa aa +++213213,,aa aa aa ---2132131
2,,2a a a a a a ---1233213,,2a
a a a a aa ++---n
0mn A
X ⨯=()RA n <023λλλ===或或12312312
3(1)240
2(3)0(1)0
x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪
+-+=⎨⎪++-=⎩[]12,1,0T
η
=-[]23,0,1T
η=
齐次线性方程组___ __ 。

解：方程组可为
即
三、求解齐次线性方程组
解：
所以,同解方程组为,
则为一组基础解系，
所以，通解为。

123230x
x x +-=123
223
3
23x x x x x x x =-+⎧⎪
=⎨⎪=⎩123230x
x x +-=1234512345134512345233703230226054330
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨
+++=⎪⎪
+++-=⎩²²²2
131
413232
23421231233712
337332113048824A 102260211155
43
31061212
3612337100
04/3(1/3)(1/4)0122601004/322003311001
1623000000r r r r r r r r r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-----
⎪ ⎪-= ⎪
⎪----- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⨯⨯- ⎪- ⎪+- ⎪+-- ⎪⎝⎭11/300
00⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎝⎭
15253454
4
554/34/311/3x x x x x x x x x
x x =
⎧⎪=⎪⎪
=--⎨⎪=⎪⎪=⎩1204/304/3,111/31001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122x
k k ξξ=+
四、已知3阶非零矩阵的每一列都是方程组 的解。

①求的值；②证明。

① 解：
因为3阶非零矩阵的每一列都是方程组的解,所以方程组有非零解。

系数行列式。

② 证明：依题意，。

假设，则B 可逆，
,矛盾.所以,。

补充：求证：,. 证明：依题意,矩阵B 的所有列向量都是齐次线性方程组
的解,而解空间的维数是,
所以，，即。

B 123123123
2202030
x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩λ0
B =B
A =122
210311
λ--=⇒
-1λ=A
B O =0B ≠11
A B O A B B O B A O --=⇒=⇒=0
B
=,mn n p A
B ⨯⨯0()()A B R A R B n =⇒+≤1,
,p
ββ0A x =0A x =()n RA -1()(,,)()p R B R n R A ββ=≤-()()R
AR B n +≤
§4-3 非齐次线性方程组
一、选择题
1．若，则元线性方程组 D . A.有无穷多个解; B 。

有唯一解； C 。

无解; D.不一定有解。

2．线性方程组 （ A ）.
A. 无解； B 。

只有0解； C. 有唯一解； D 。

有无穷多解。

3．方程組
有唯一解，则应满足（ A ). A 。

； B 。

； C.; D 。

4．设A ＝，，有解的充分必要条件为（ D )．
A 。

; B.； C.； D 。

。

二、填空题 1．元非齐次线性方程组有解的充分必要条件是 。

2．若5元线性方程组的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则 3 。

3．设有一个四元非齐次线性方程组,,又是它的三个 解向量，其中，，则非齐次线性方程组的
通解为 。

解：因为是三个解向量,则 是的解， ()R A r n =<n mn A
X b ⨯=⎩⎨
⎧=+=+012121x x x x 12312321231x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩λ2,1-≠≠λλ2,1==λλ2,1≠≠λλ
2,1≠-≠λλ1100011000111
001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦
1234a a b a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A x b =1234a
a a a ===12341a a a a ====12340a
a a a +++=12340aa a a -+-=n
mn A
X b ⨯=()(,)R A R A b =A
X b =()r A =A
X b =()3RA =123,,α
αα12
(1,1,0,2)T
αα+=23
(1,0,1,3)T
αα+=(0,1,1,1)(1,1,0,2)T T
k --+123,,α
ααA X b =1223()()(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0T T T
αααα
+-+=-=--≠0A
X =
而，所以是的一组基础解系， 又是的解, 所以，的通解为
三、求解非齐次线性方程组
解:
同解方程组为
令为一组基础解系
则通解为
四、取何值时，线性方程组 （1）有唯一解；（2)无解;（3）有无穷多解？
说明： 对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解， 有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式, 此种方法简单 又不容易出错.
解: 方程组有唯一解系数行列式
()3RA
=(0,1,1,1)T
--0A X =12
11()(1,1,0,2)22T αα+=A X b =A
X b =(0,1,1,1)(1,1,0,2)T
T
k --+23424538213496
x y z x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎪⎨
+-=⎪⎪
-+=-⎩231
410
211245011238213~00004
1
9
60
00
0r A -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
=212x z y z z z
=--⎧⎪
=+⎨⎪=⎩211ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2112,()10x y c c R z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,a b 12312312
33
244
x ax x x ax x x x bx ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩⇔||0A ≠⇔||0A ≠2131
11
11
11||121
00
110110
1(1)
(1)0
11
a a r r A a a r r b
a b a
a b a b +-=---⨯-=-≠--而按第一列展开
21233123(1)1013101310
13,101400010111~11401110001~()2(,)3,. (3)113,12141114r r r r A b r r b b b R A R A b a r r A b a ∴≠≠-⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=≠=∴⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭当a 0且b 1时,方程组有唯一解 (2)当a=0时,增广矩阵
()=则此时方程组无解当b=1时,
()=21312311141
114121402100~11130101~ 11141
114,~000001/201~01/2010000()2(,)3, 111,~r r a r r a a r r A b R A R A b A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
==<∴≠当a=1/2时,
()则此时方程组有无穷多解.当a 1/2时,
()4021000001()2(,)3,a R A R A b ⎛⎫ ⎪
- ⎪
⎪-⎝⎭
=≠=∴则此时方程组无解.。