材料力学课后习题答案详细
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Rr (R r) (3 104 ) (60 30) 0.009mm
变形厚的壁厚：
(R r) | (R r) | 30 0.009 29.991(mm)
[习题 2-11] 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性
常数为 E, ，试求 C 与 D 两点间的距离改
22
N 22 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
33
N 33 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
[习题 2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作
轴力图。若横截面面积 A1 200mm2 ， A2 300mm2 ， A3 400mm2 ，并求各横截 面上的应力。
A1 11.503cm2 1150.3mm2
AE
N EA A
366.86 103 N 2 1150.3mm2
159.5MPa
EG
N EG A
357.62 103 N 2 1150.3mm2
155.5MPa
[习题 2-5] 石砌桥墩的墩身高 l 10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载
22
N 22 A2
10 103 N 300mm 2
33.3MPa
3
33
N 33 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
[习题 2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制
成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均
为两个 75mm 8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为
s AC （泊松比的定义式），同理，
d OA
故有： s d 。
（2）求轴向力 F
d 0.0025mm
' d 0.0025 2.5 104
d
10
'
'
2.5 104 0.3
F。
（3）空心圆截面杆，外直径 D 120mm ，内直径 d 60mm ，材料的泊松
比 0.3。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变 0.001，试求其变形后的壁厚。
解：（1）证明 s d
8
在圆形截面上取一点 A，连结圆心 O 与 A 点，则 OA 即代表直径方向。
过 A 点作一条直线 AC 垂直于 OA，则 AC 方向代表圆周方向。
第二章 轴向拉(压)变形
[习题 2-1] 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。 （a） 解：（1）求指定截面上的轴力
N11 F N 22 2F F F
（2）作轴力图 轴力图如图所示。
（b） 解：（1）求指定截面上的轴力
N11 2F N 22 2F 2F 0
a)2
(
3 4
a)2
145 a 12
C'D'
(
2 3
a'
)
2
(
3 4
a'
)
2
145 a' 12
(CD) C ' D ' CD
145 (a' a) 12
145 12
F 4E
1.003
F 4E
[习题 2-12] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，
材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 E 10GPa 。如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力；
（3）各段柱的纵向线应变；
（4）柱的总变形。
解：（1）作轴力图
N AC 100kN NCB 100 160 260(kN )
轴力图如图所示。
（2）计算各段上的应力
6
AD 杆的轴力图如图所示。
（2）求 D 点的位移
D
l AD
N ABl AB EA
N BC lBC EA
N CD lCD EA
Fl / 3 Fl / 3 Nl / 3 EA EA EA
Fl （→）
3EA
[习题 2-8] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长 200mm 的正方形，
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 20kN N 22 10 20 10(kN ) N33 20 10 20 10(kN )
（2）作轴力图
轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力
11
N11 A1
20 103 N 200mm 2
100MPa
149.3
3000 2.2
203590.9(MPa)
203.6GPa
。
[习题 2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方
向的线应变 s 等于直径方向的线应变 d 。 （2）一根直径为 d 10mm 的圆截面杆，在轴向力 F 作用下，直径减小了
0.0025mm。如材料的弹性模量 E 210GPa ，泊松比 0.3，试求该轴向拉力
3104.942(kN )
墩身底面积： A (3 2 3.14 12 ) 9.14(m2 )
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力
均匀分布。
N A
3104.942kN 9.14m 2
339.71kPa
0.34MPa
[习题 2-6] 图示拉杆承受轴向拉力 F 10kN ，杆的横截面面积 A 100mm2 。
示。
由平平衡条件可得：
X 0
N EG N EA cos 0
N EA
N EG cos
357.62 4.37
366.86(kN )
4.37 2 12
4
（3）求拉杆 AE 和 EG 横截面上的应力
查 型 钢 表 得 单 个 75mm 8mm 等 边 角 钢 的 面 积 为 ：
的数值代入以上二式得：
题目 编号 习题 2-6
轴向拉/压杆斜截面上的应力计算
N (N ) A(mm 2 ) (o ) 0 (MPa) (MPa) (MPa)
10000 100
0
100 100.0 0.0
10000 100
30
100 75.0 43.3
10000 100
45
100 50.0 50.0
10000 100
60
100 25.0 43.3
10000 100
90
100
0.0
0.0
[习题 2-7] 一根等直杆受力如图所 示。已知杆的横截面面积 A 和材料 的弹性模量 E。试作轴力图，并求杆 端点 D 的位移。 解：（1）作轴力图
N CD F N BC 2F F F N AB 2F 2F F F
2FΒιβλιοθήκη qaF
2F
F a
a
F
2F
（2）作轴力图
中间段的轴力方程为：
N(x) F F x a
x (a,0]
轴力图如图所示。
[习题 2-2] 试求图示等直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴
力图。若横截面面积 A 400mm2 ，试
求各横截面上的应力。
由对称性可知，受力CH图 0
N1 N 2 0.5F 0.5 20 10(kN )
10
（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 变形协调图
A
点的铅垂位移：l1
N1l EA1
10000N 1000mm 210000N / mm2 100mm2
0.476mm
B 点的铅垂位移： l2
AC
N AC A
100 103 N 200 200mm2
2.5MPa 。
CB
N CB A
260 103 N 200 200mm2
6.5MPa ，
（3）计算各段柱的纵向线应变
7
AC
AC E
2.5MPa 10 103 MPa
2.5 104
CB
CB E
6.5MPa 10 103 MPa
6.5 104
（4）计算柱的总变形
l AC AC l AC CB lCB (2.5 1500 6.5 1500) 104 1.35(mm)
[ 习 题 2-9] 一 根 直 径 d 16mm 、 长 l 3m 的 圆 截 面 杆 ， 承 受 轴 向 拉 力
（2）作轴力图
N33 F 2F 2F F
轴力图如图所示。
1
（c）
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 2F N22 F 2F F
（2）作轴力图
N33 2F F 2F 3F
轴力图如图所示。
（d）
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 F
N 22
其弹性模量 E 210GPa ，已知 l 1m ，A1 A2 100mm2 ，A3 150mm2 ，F 20kN 。 试求 C 点的水平位移和铅垂位移。
解：（1）求各杆的轴力
以 AB 杆为研究对象，其受力图如图
所示。
因为 AB 平衡，所以
X 0
N3 cos 45o 0 N3 0
25 104 3
E F E A F AE 0.25 3.14 102 210 103 25 104 13737.5(N ) 13.74kN
3
（3）求变形后的壁厚
' 0.3 0.001 3 104 (R r) ' 3 104
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 20kN N 22 10 20 10(kN )
2
N33 20 10 20 10(kN )
（2）作轴力图
轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力
11
N11 A
20 103 N 400mm 2
50MPa
如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求当 0o ,30o ,45o ,60o ,90o 时各斜截面
上的正应力和切应力，并用图表示其方
向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式
为：
5
0 cos 2
0 2
sin 2
式中， 0
N A
10000 N 100mm 2
100MPa ，把
对象，其受力图如图所示。由平衡条件可知：
MC (F) 0
N EG
(1 1.2)
20
(4.37
4.5)
8.87 2
177.4
8.87
0
N EG
1 [20 (4.37 4.5) 8.87
2.2
2
177.4 8.87] 357.62(kN )
② 以 C 节点为研究对象，其受力图如图所
F 30kN ，其伸长为 l 2.2mm 。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量
E。
解：（1）求杆件横截面上的应力
N A
30 103 N 1 3.14 162 mm2
149.3MPa
4
（2）求弹性模量
因为： l Nl ，
EA
所以： E
N l A l
l l
N2l EA2
10000N 1000mm 210000N / mm2 100mm2
0.476mm
变量 CD 。
9
解： ' F / A F
E
EA
式中， A (a )2 (a )2 4a ，故：
' F 4Ea
a ' F
a
4Ea
a
a'
a
F 4E
a'
a
F 4E
CD
(
2 3
F 1000kN ，材料的密度 2.35kg / m3 ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
N (F G) F Alg
1000 (3 2 3.14 12 ) 10 2.35 9.8 3104.942(kN )
1000 (3 2 3.14 12 ) 10 2.35 9.8
q 20kN / m 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EC 横截面
上的应力。
解：（1）求支座反力
由结构的对称性可知：
RA
RB
1 ql 2
0.5 20 (2 4.37 9)
177.4(kN )
（2）求 AE 和 EG 杆的轴力
① 用假想的垂直截面把 C 铰和 EG 杆同时切断，取左部分为研究
变形厚的壁厚：
(R r) | (R r) | 30 0.009 29.991(mm)
[习题 2-11] 受轴向拉力 F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性
常数为 E, ，试求 C 与 D 两点间的距离改
22
N 22 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
33
N 33 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
[习题 2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作
轴力图。若横截面面积 A1 200mm2 ， A2 300mm2 ， A3 400mm2 ，并求各横截 面上的应力。
A1 11.503cm2 1150.3mm2
AE
N EA A
366.86 103 N 2 1150.3mm2
159.5MPa
EG
N EG A
357.62 103 N 2 1150.3mm2
155.5MPa
[习题 2-5] 石砌桥墩的墩身高 l 10m ，其横截面面尺寸如图所示。荷载
22
N 22 A2
10 103 N 300mm 2
33.3MPa
3
33
N 33 A
10 103 N 400mm 2
25MPa
[习题 2-4] 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制
成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均
为两个 75mm 8mm 的等边角钢。已知屋面承受集度为
s AC （泊松比的定义式），同理，
d OA
故有： s d 。
（2）求轴向力 F
d 0.0025mm
' d 0.0025 2.5 104
d
10
'
'
2.5 104 0.3
F。
（3）空心圆截面杆，外直径 D 120mm ，内直径 d 60mm ，材料的泊松
比 0.3。当其轴向拉伸时，已知纵向线应变 0.001，试求其变形后的壁厚。
解：（1）证明 s d
8
在圆形截面上取一点 A，连结圆心 O 与 A 点，则 OA 即代表直径方向。
过 A 点作一条直线 AC 垂直于 OA，则 AC 方向代表圆周方向。
第二章 轴向拉(压)变形
[习题 2-1] 试求图示各杆 1-1 和 2-2 横截面上的轴力，并作轴力图。 （a） 解：（1）求指定截面上的轴力
N11 F N 22 2F F F
（2）作轴力图 轴力图如图所示。
（b） 解：（1）求指定截面上的轴力
N11 2F N 22 2F 2F 0
a)2
(
3 4
a)2
145 a 12
C'D'
(
2 3
a'
)
2
(
3 4
a'
)
2
145 a' 12
(CD) C ' D ' CD
145 (a' a) 12
145 12
F 4E
1.003
F 4E
[习题 2-12] 图示结构中，AB 为水平放置的刚性杆，杆 1，2，3 材料相同，
材料可认为符合胡克定律，其弹性模量 E 10GPa 。如不计柱的自重，试求：
（1）作轴力图；
（2）各段柱横截面上的应力；
（3）各段柱的纵向线应变；
（4）柱的总变形。
解：（1）作轴力图
N AC 100kN NCB 100 160 260(kN )
轴力图如图所示。
（2）计算各段上的应力
6
AD 杆的轴力图如图所示。
（2）求 D 点的位移
D
l AD
N ABl AB EA
N BC lBC EA
N CD lCD EA
Fl / 3 Fl / 3 Nl / 3 EA EA EA
Fl （→）
3EA
[习题 2-8] 一木桩受力如图所示。柱的横。截面为边长 200mm 的正方形，
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 20kN N 22 10 20 10(kN ) N33 20 10 20 10(kN )
（2）作轴力图
轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力
11
N11 A1
20 103 N 200mm 2
100MPa
149.3
3000 2.2
203590.9(MPa)
203.6GPa
。
[习题 2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方
向的线应变 s 等于直径方向的线应变 d 。 （2）一根直径为 d 10mm 的圆截面杆，在轴向力 F 作用下，直径减小了
0.0025mm。如材料的弹性模量 E 210GPa ，泊松比 0.3，试求该轴向拉力
3104.942(kN )
墩身底面积： A (3 2 3.14 12 ) 9.14(m2 )
因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力
均匀分布。
N A
3104.942kN 9.14m 2
339.71kPa
0.34MPa
[习题 2-6] 图示拉杆承受轴向拉力 F 10kN ，杆的横截面面积 A 100mm2 。
示。
由平平衡条件可得：
X 0
N EG N EA cos 0
N EA
N EG cos
357.62 4.37
366.86(kN )
4.37 2 12
4
（3）求拉杆 AE 和 EG 横截面上的应力
查 型 钢 表 得 单 个 75mm 8mm 等 边 角 钢 的 面 积 为 ：
的数值代入以上二式得：
题目 编号 习题 2-6
轴向拉/压杆斜截面上的应力计算
N (N ) A(mm 2 ) (o ) 0 (MPa) (MPa) (MPa)
10000 100
0
100 100.0 0.0
10000 100
30
100 75.0 43.3
10000 100
45
100 50.0 50.0
10000 100
60
100 25.0 43.3
10000 100
90
100
0.0
0.0
[习题 2-7] 一根等直杆受力如图所 示。已知杆的横截面面积 A 和材料 的弹性模量 E。试作轴力图，并求杆 端点 D 的位移。 解：（1）作轴力图
N CD F N BC 2F F F N AB 2F 2F F F
2FΒιβλιοθήκη qaF
2F
F a
a
F
2F
（2）作轴力图
中间段的轴力方程为：
N(x) F F x a
x (a,0]
轴力图如图所示。
[习题 2-2] 试求图示等直杆横截面 1-1、2-2 和平 3-3 上的轴力，并作轴
力图。若横截面面积 A 400mm2 ，试
求各横截面上的应力。
由对称性可知，受力CH图 0
N1 N 2 0.5F 0.5 20 10(kN )
10
（2）求 C 点的水平位移与铅垂位移。 变形协调图
A
点的铅垂位移：l1
N1l EA1
10000N 1000mm 210000N / mm2 100mm2
0.476mm
B 点的铅垂位移： l2
AC
N AC A
100 103 N 200 200mm2
2.5MPa 。
CB
N CB A
260 103 N 200 200mm2
6.5MPa ，
（3）计算各段柱的纵向线应变
7
AC
AC E
2.5MPa 10 103 MPa
2.5 104
CB
CB E
6.5MPa 10 103 MPa
6.5 104
（4）计算柱的总变形
l AC AC l AC CB lCB (2.5 1500 6.5 1500) 104 1.35(mm)
[ 习 题 2-9] 一 根 直 径 d 16mm 、 长 l 3m 的 圆 截 面 杆 ， 承 受 轴 向 拉 力
（2）作轴力图
N33 F 2F 2F F
轴力图如图所示。
1
（c）
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 2F N22 F 2F F
（2）作轴力图
N33 2F F 2F 3F
轴力图如图所示。
（d）
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 F
N 22
其弹性模量 E 210GPa ，已知 l 1m ，A1 A2 100mm2 ，A3 150mm2 ，F 20kN 。 试求 C 点的水平位移和铅垂位移。
解：（1）求各杆的轴力
以 AB 杆为研究对象，其受力图如图
所示。
因为 AB 平衡，所以
X 0
N3 cos 45o 0 N3 0
25 104 3
E F E A F AE 0.25 3.14 102 210 103 25 104 13737.5(N ) 13.74kN
3
（3）求变形后的壁厚
' 0.3 0.001 3 104 (R r) ' 3 104
解：（1）求指定截面上的轴力
N11 20kN N 22 10 20 10(kN )
2
N33 20 10 20 10(kN )
（2）作轴力图
轴力图如图所示。
（3）计算各截面上的应力
11
N11 A
20 103 N 400mm 2
50MPa
如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求当 0o ,30o ,45o ,60o ,90o 时各斜截面
上的正应力和切应力，并用图表示其方
向。
解：斜截面上的正应力与切应力的公式
为：
5
0 cos 2
0 2
sin 2
式中， 0
N A
10000 N 100mm 2
100MPa ，把
对象，其受力图如图所示。由平衡条件可知：
MC (F) 0
N EG
(1 1.2)
20
(4.37
4.5)
8.87 2
177.4
8.87
0
N EG
1 [20 (4.37 4.5) 8.87
2.2
2
177.4 8.87] 357.62(kN )
② 以 C 节点为研究对象，其受力图如图所
F 30kN ，其伸长为 l 2.2mm 。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量
E。
解：（1）求杆件横截面上的应力
N A
30 103 N 1 3.14 162 mm2
149.3MPa
4
（2）求弹性模量
因为： l Nl ，
EA
所以： E
N l A l
l l
N2l EA2
10000N 1000mm 210000N / mm2 100mm2
0.476mm
变量 CD 。
9
解： ' F / A F
E
EA
式中， A (a )2 (a )2 4a ，故：
' F 4Ea
a ' F
a
4Ea
a
a'
a
F 4E
a'
a
F 4E
CD
(
2 3
F 1000kN ，材料的密度 2.35kg / m3 ，试求墩身底部横截面上的压应力。
解：墩身底面的轴力为：
N (F G) F Alg
1000 (3 2 3.14 12 ) 10 2.35 9.8 3104.942(kN )
1000 (3 2 3.14 12 ) 10 2.35 9.8
q 20kN / m 的竖直均布荷载。试求拉杆 AE 和 EC 横截面
上的应力。
解：（1）求支座反力
由结构的对称性可知：
RA
RB
1 ql 2
0.5 20 (2 4.37 9)
177.4(kN )
（2）求 AE 和 EG 杆的轴力
① 用假想的垂直截面把 C 铰和 EG 杆同时切断，取左部分为研究