勾股定理及其逆定理,经典过关题及练习题(含答案)
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C
B
A
F
E
D
C
B A
勾股定理及其逆定理(讲义)
一、 知识点睛
1. 11-19的平方:
_______________________________________________________________________________________________________.
2. 勾股定理:
_______________________________________________________________________________________________________. 3. 勾股定理的验证:
4. 勾股定理逆定理:
_______________________________________________________________________________________________________.
5. 勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数,称为勾股数.常见勾股数有
______________;______________;_______________;________________;________________;_________________.
二、精讲精练
1. 一个直角三角形两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是( )
A .斜边长为25
B .三角形的周长为25
C .斜边长为5
D .三角形的面积为20
2. 如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,若BC =8,AB =17,则AC 的长
是________.
S 3S 2
S 1
A
B C
8
6C
3. 已知:如图,在Rt △ABC 和Rt △ACF 中,BC 长为3cm ,AB 长为4cm ,AF
长为12cm ,则正方形CDEF 的面积为_________.
4. 如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,分别以BC ,AB ,AC 为边向外作正
方形,面积分别记为S 1,S 2,S 3.若S 2=4,S 3=6,则S 1=___________.
5. 如图,已知Rt △ABC 的两直角边长分别为6和8,分别以其三边为
直径作半圆,则图中阴影部分的面积为___________.
6. (1)等面积法是几何中一种常见的证明方法,可以直观地推导或验证公式,
俗称“无字证明”.例如,著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较长的直角边长都为a ,较短的直角边长都为b ,斜边长都为c ),大正方形的面积可以表示为c 2,也可以表示为4×12
ab +(a -b )2.由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a ,b ,斜边长为c ,则a 2+b 2=c 2.图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图2推导勾股定理.
(2)试用勾股定理解决以下问题:
如果直角三角形的两直角边长为3和4,则斜边上的高为________. 7. 如图,点C 在线段BD 上,AC ⊥BD ,CA =CD ,点E 在线段CA 上,且满足
DE =AB ,连接DE 并延长交AB 于点F . (1)求证:DE ⊥AB ;
(2)若已知BC =a ,AC =
b ,AB =
c ,你能借助本题提供的图形
证明勾股定理吗?试一试吧.
图2
图1b b
a E
D A A
B
D
E
F
c c
图2
b a
b
a E
D C
B
A
l
c
b
a
8. 如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是_________.
第8题图 第9题图
9. 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC >BC ,分别以AB ,BC ,CA 为一边向
△ABC 外作正方形ABDE ,正方形BCMN ,正方形CAFG ,连接EF ,GM ,ND .设△AEF ,△CGM ,△BND 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则下列结论正确的是( )
A .S 1=S 2=S 3
B .S 1=S 2<S 3
C .S 1=S 3<S 2
D .S 2=S 3<S 1
10. 如图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,若a ,c 的面积分别
为5和11,则b 的面积为______.
11. 如图,从电线杆离地面8m 处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定
点距离电线杆底部6m ,那么需要多长的 钢索?
12. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,子拉到离旗杆底端5米处,发现此时绳子底端距离打结处1米.法算出旗杆的高度.
13. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是( )
D
C
B
A
A
B C D
E F G
H
图3
图2
图1
h 26246
b 10
6
c 12
5
A .
B .
C .
D .
7
15
2024
257
20
24
25715
20
2425
2524
20
15
7
图2
图1
D
C
B
A
A .0.3,0.4,0.5
B .7,12,15
C .11,60,61
D .9,40,41
14. 如图,在单位正方形组成的网格图中有AB ,CD ,EF ,GH 四条线段,其中
能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A .CD ,EF ,GH
B .AB ,EF ,GH
C .AB ,C
D ,GH
D .AB ,CD ,EF 15. 若三角形的三边长分别是222122221n n n n n ++++,,(n 为正整数),则三角
形的最大内角等于_______度.
16. 将直角三角形的三边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是( )
A .钝角三角形
B .锐角三角形
C .直角三角形
D .等腰三角形
17. 三边长分别是15,36,39的三角
形是_______三角形.
18. 如图,求出下列直角三角形中未知边的长度:
c =____,b =____,h =_____.
19. 五根小木棒,其长度分别为7,
15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列图形中正确的是( )
20. 一个零件的形状如图1中∠A 和∠DBC 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边长如
图2请说明理由.
勾股定理及其逆定理(随堂测试)
1.有一块土地形状如图所示,∠B =∠D =90°,AB =20米,BC =15米,CD =7
B
A
D C
B .A .c b c a b a a b c a b c c b a c b a A B
C
D E
F D .
c b a a b c C .米,则这块地的面积为__________.
2.若三角形的三边长是:①5k ,12k ,13k (k >0);②111
345
,,;③32,42,52;④
0.3,0.4,0.5;⑤2n +1,2n ,2n 2+2n +1(n 为正整数).则其中能构成直角三角形的是_____________.
3.如图,在四边形ABCD 中,AD =3,AB =4,BC =12,CD =13,
∠BAD =90°. (1)求BD 的长; (2)证明:BD ⊥BC ; (3)求四边形ABCD 的面积.
勾股定理及其逆定理(作业)
1. 以下列长度的三条线段为边,不能组成直角三角形的是( )
A .1.5,2,2.5
B .9,12,15
C .7,24,25
D .1,1,2
2. 若三角形的三边长是:①5k ,12k ,13k (k >0);②111
345
,,;③32,42,52;
④11,60,61;⑤22(+)12(+)(+)+1m n m n m n ,,(m ,n 为正整数).其中能构成直角三角形的有( )
A .2个
B .3个
C .4个
D .5个
3. 下列选项中,不能用来证明勾股定理的是( )
4. 已知甲、乙两人从同一点出发,甲往东走了12km ,乙往南走了5km ,这时
甲、乙两人相距______.
5. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =9,BC =12,则点C 到AB 的距离为____________.
D
C B
A
F E D C
B A 6. 记为S 1,S 2,S 3,则S 1,S 2,S 3之间的关系是( A .S l +S 2>S 3 B .S l +S 2< S 3
C .S 1+S 2=S 3
D .S 12+S 22=S 32
7. 中最大的正方形的边长为7cm ,则正方形A ,B ,___________cm 2.
8. 如图,每个小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积为
_________.
9. 如图,在正方形ABCD 中,AB =4,AE =2,DF =1,则图中共有直角三角
形________个.
10. 11. 如图,一架长25(1)这个梯子的顶端距地面有多高?
(2)如果梯子的顶端下滑了4方向上滑动了几米?
12. 已知一个三角形的三边长分别是5cm ,12cm ,13cm ,你能算出这个三角形
的面积吗?
b
9
15
勾股定理及其逆定理【参考答案】
➢ 课前预习
1. 大于,互余;
2. 121,144,169,196,225,256,289,324,361
3. 16A S =
9B S = 25C S =
A B C S S S +=
➢ 知识点睛
1. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2. 略
3. 三角形两边的平方和等于第三边的平方,直角三角形.
4. 3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41;11,60,61.
➢ 精讲精练
1. C
2. 169 cm 2
3. 2
4.
24
5. 证明略
6. 16
7. 14
8. AD =12 cm ,AC =15 cm 9. B 10. B 11. 90 12. 直角 13. C
14. 符合要求,理由略
15. (1)同位角相等,两直线平行.逆命题成立.
(2)如果两个实数的积是正数,那么这两个实数是正数.逆命题不成立. (3)锐角三角形是等边三角形.逆命题不成立.
(4)到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.逆命题成立.。