微积分学习与练习(例题练习册全集第一至十一章)公式

一、考题重点内容分析
重基础，全面学习
无论是为了学好还是为在考试中取得理想成绩，都应当全面学习、全面复习。

下面就（一）微积分的主要考试题目进行分析：
【例一】 考题（一）（5）
)(
)12sin (1
1
223=-+⎰-dx x x x
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π 分析：①学员需要知道23sin x x 是奇函数，所以有：
0sin 1123
=⎰-dx x x
②要求学员根据定积分的几何意义知道：
⎰--R
R
dx x R 22是半径为R 的上半圆的面积，所
以有：
2222
1
R dx x R R
R
π=-⎰-
∴ π21
11
1
2=-⎰-dx x
∴
dx x dx x x dx x x x ⎰⎰⎰----+=
-+1
1
211
23
1
1
22312
sin )12sin (
ππ=+=2
1
·20 应选A 。

【例二】 考题（一）（3）)(tan )1(lim
1
=+⎰→x
dt
t x
t x
A ．0
B ．1
C ．e
D ．不存在
分析：①首先，要求学员知道x →0时，tanx ～x 。

②要求学员掌握微积分基本定理：
)()(x f dt t f dx d x
a
=⎰
③要求学员掌握第二个重要极限
a x
x e ax =+
→10
)1(lim
④要求学员掌握罗必达法则
∴ ⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+⎰⎰→→00)1(lim
tan )1(lim
1
1
x
dt
t x
dt
t x
t x x
t x ∵tanx ～x e x x
x =+
=→10
)1(lim 选C 。

【例三】 考题（三）（18）计算
⎰
-dx x
x 2arcsin
412
分析：①要求学员熟记积分表：
⎰
+=-C a x
dx x a arcsin
12
2 dx x
a a
x d 2
2
1arcsin
-=⇔
②要求学员熟记积分表：
⎰
+=C u du u
||ln 1
∴
⎰
⎰
=-2arcsin 2
arcsin
12arcsin 1412x
d x dx x x
C x
+=|2
arcsin |ln
【例四】 考题（三）（22）计算
⎰
+2
cos 1π
dx x
x
分析：①需要学员掌握三角函数的倍角公式：
1cos 22cos 2-=x x
∴ 2
cos 2cos 12
x x =+ ②需要学员熟记微分公式：
dx x
x d 2
cos 1tan =
③需要学员掌握分部积分公式：
⎰⎰-=du v uv dv u
④需要学员熟记积分表：
C x xdx +-=⎰|cos |ln tan
∴ ⎰
⎰=+20
2
2
02
cos
2cos 1π
π
dx x x dx x
x
⎰
⎰
-
==
2
20
20
2
tan
2
tan
2tan π
π
π
dx x x x x d x
2
1
ln
22|2cos |ln 2220+=+=ππ
π
x 2ln 2
-=
π
主要内容反复练习
高数（一）微积分无论从学习还是从考试的角度看，最主要也是最核心的内容是一元函数的微分学和积分学及其应用：一方面是这部分内容占考分的70%；另一方面是这一部分内容掌握好了，其他内容特别是多元微积分部分就迎刃而解了。

【例五】 考题三（17）22)]1arctan([ln x y +=，求y '
分析：这是一道多次复合而成的函数的导数问题，只要关于复合函数的导数经过反复训练，经过多次复合函数导数公式便可容易得到结果，请看：
])1arctan()][ln 1arctan([ln 222'++='x x y
])1[arctan()
1arctan(1·)1arctan(ln 22
2
2'+++=x x x )1()1(11)
1arctan()1arctan(ln 222
222'+++++=
x x x x
)
1arctan()22()1arctan(ln 42
2
4
2x x x x x ++++=
【例六】 考题三（16） 计算 x
x x x x --++--→11424lim
分析：本题虽然是未定式⎪⎭
⎫
⎝⎛00型，但不宜用罗必达法则，但在教材的例题和作业中，经常利用公
式b
a b a b a +-=-2
2变形后计算，所以有：
x
x x x x x
x
x x x x x -++++--=--++--→→1124243lim 11424lim 00
4
34223)
424(2)11(3lim
-=⨯-
=++--++-=→x x x x x 【例七】 计算定积分
⎰++2
02341
dx x x
分析：
解法一： ①需要学员熟记积分公式：
⎰+-+=
-C x a x a a dx x a ln 211
2
2 ∴
⎰+-+-
=-C x
a x a a dx a x ln 211
2
2 ②需要学员知道完全平方公式：
222)(a ax x a x +±=±
∴
)2(1)2(1
3
41
2
022
02+-+=
++⎰⎰x d x dx x x
}1
3ln 35{ln 21)
2(1)
2(1ln
2120
--=+-++-=x x
5
9ln 2195ln 21=-=
解法二：①部分分式需要学员知道：
a
b ab b a 1
1-=- ②学员应熟记积分公式：
⎰
++=+C b ax a
dx b ax ||ln 1
1 ∴
⎰
⎰+++-+=
++202
02)
1)(3()
1()3(21
3
41
dx x x x x dx x x
2
2
031
ln
21)3111(2
1++=+-+=⎰
x x dx x x 5
9ln 21)31ln 53(ln 21=-= 【例八】 考题三（21） x x y += 求dy
分析：本题是只有一次复合而生成的函数，直接用复合函数导数公式即可
dx x x x
x dx y dy )(21'++=
'=
dx x
x x x dx x
x
x ++=
+
+=
412)211(21
【例九】 考题四（24）
ax x y +=2（a ＞0），y=0，x=1所围图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为
5
π
，求a 。

解：⎰=102
dx y
V x π
⎰+=1022
)(dx ax x π
⎰++=1
2234)2(dx x a ax x π
1
3245)31
4251(x a ax x ++=π
5)312151(2ππ=++=a a
∴ 03
1
212=+a a
∴ 0=a 2
3
-=a (舍去)
【例十】 考题三（23）
D 是x=1，y=2，y=x-1所围区域
求
⎰⎰D
d y
σ2
sin
解：因为2sin y 对y 积分原函数不是初等函数，所以应先对x 积分
D ：0≤y ≤2，1≤x ≤1+y ∴
⎰⎰⎰⎰
+=
y
D
dx y dy
d y 11
22
2sin sin σ
=
⎰⎰=
+2
02
2
011
2
sin )(sin dy y
y dy x y
y
)4cos 1(2
1
cos 2
1
2
2
-=
-=y 【例十一】 考题三（20）0)sin(2=+-z x xy e z 确定y x z z ''， 解：∵)sin(2z x xy e F z +-=
∴)cos(2z x z y F x
+-=' )
cos(2z x x e F xy F z
z y
+='-='
∴)cos()cos(2z x x e z x z y F F z z z x x ++--=''-=' )
cos(2z x x e xy F F z z z y y +--
=''-
='
上面所列考题，都是教材和作业中常见的练习题和例题的类型题，只要考生在学习过程中反复练习，就不会感到生疏或困难。

建议考生将教材中的练习做过一遍以后，过两周再重做一遍，考前再做一遍，通过考试就会有较大把握。

如今社会上的辅导材料太多，有的并不完全符合考试要求，建议考生还应以教材为主，学习之余感到教材练习已做得很熟练后，再考虑看参考辅导材料。

有个别考题，未见得在教材或习题中见过，不要因为试卷中有个别偏题，就盲目到处找辅导材料。

其实任何一份考试题都会有个别题目难度偏大，并不为怪，例如在1995年4月高数（一）的考题中的证明题五（25）就比较困难。

例如 考题五（25）
已知f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f(0)=0，证明存在C ∈(0，1)，使得
)()()(C f C f C f C '=+'
本题明显和微分中值定理有关系，需要用微分中值定理证明，如果直接做，则有
)01)(()0()1(-'=-C f f f
f(0)=0，但f(1)不知道，立即就出现问题和困难，习惯是引入一个新函数，对于大多数学员来说，如何引进新函数是比较困难的，在本题中，因为f(1)不知道，因此新函数中不应出现f(1)，因此，令
F(x)=(1-x)f(x)
∴ F(x)在[0，1]上连续，且在(0 ，1)内有 )()1()()(x f x x f x F '++-=' 由于F(1)=0，F(1)=0
由罗尔中值定理，存在C ∈(0，1)，使
0)(='C F ，即 0)()1()(='-+-C f C C f
∴)()1()(C f C C f '-=
∴)()()(C f C f C f C '=+'
随时总结知识，记忆积分表
考生一定要对学过的知识进行总结，使知识系统化并掌握其中的要点。

例如，学过不定积分的概念和计算方法以后，可以小结如下： （Ⅰ）不定积分的概念
)()()()(x F x f C x F dx x f '=⇔+=⎰
（Ⅱ）不定积分的性质
C x f x df C
x f dx x f +=+='⎰⎰)()()()()
1(或
⎰
⎰
==)()()()()2(x df dx x f d x f dx x f dx
d
或
⎰⎰=dx x f k dx x f k )()()3(
⎰⎰⎰+=+dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([)
4(2121 （Ⅲ）基本积分表
⎰+=C
kx kdx )
1(
⎰
-≠++=
+)1(1
1)2(1
a C x a dx x a a
⎰
+=C x dx x ||ln 1
)
3( ⎰
++=+C b ax a
dx b ax ||ln 11)4(
C
e dx e C
a
a dx a x x x
x
+=+=⎰⎰
)6(ln )
5(
⎰
+=
C e a
dx e ax
ax 1)7( ⎰
+-=C x xdx cos sin )8(
C b ax a
dx b ax ++-=+⎰
)cos(1
)sin()9(
⎰+=C x xdx sin cos )
10(
C b ax a
dx b ax ++=
+⎰
)sin(1
)cos()11(
⎰
⎰+==
C x dx x xdx tan cos 1
sec )12(22
⎰
⎰⎰+=+-==
C
x xdx x C
x dx x xdx sec tan sec )14(cot sin 1
csc )
13(22
⎰⎰+-=+-=C
x xdx C x xdx |cos |ln tan )16(csc cot csc )15(
⎰⎰++=+=C x x xdx C
x xdx |tan sec |ln sec )
18(|sin |ln cot )17(
⎰⎰+=++-=C
x dx x C x x xdx arctan 11
)
20(|cot csc |ln csc )19(2
⎰
⎰
+-+=-+=
+C x a x
a a x a C a x a dx x
a ||ln 211)22(arctan 11
)
21(2222
⎰+=-C x dx x
arcsin 11)
23(2
⎰+=-C a
x
dx x a arcsin
1)
24(22 ⎰
+++=+C x x a dx x a ||ln 1)
25(222
2
⎰
+='C x P dx x P x P |)(|ln )
()
()
26( 特别情形：
C a x dx a x x
+±=±⎰||ln 2222
2
⎰
+='C x P dx x P x P )(2)
()()
27(
特别情形：
C a x dx a x x +±=±⎰
222
222
由于不定积分难度较大，最好多记一些积分表大有好处。

例如，根据公式（20）和（26）便有： ⎰⎰⎰
+++=++dx x
dx x x dx x x 2
2211
111 C x x +++=arctan )1ln(2
1
2 ⎰⎰
+-+=+dx e e e dx e x
x
x x 1)1(11
C e x dx e
e x
x
x ++-=+-
=⎰
)1ln()11( 根据公式（25）和（27）便有：
⎰
⎰
⎰
++
+=
++dx x dx x x dx x x 1
11
1
12
2
2
C x x x +++++=|1|ln 122
根据公式（23）和（27）便有：
⎰
⎰
⎰
-+
-=
-+dx x
dx x
x dx x
x 2
2
2
11111
C x x ++--=arcsin 12
（Ⅳ）换元积分公式（一）凑微分法
⎰⎰=')()]([)()]([x dg x g f dx x g x g f
)()(x g u du
u f ==
⎰令
常见情形有：
⎰⎰
++=
+)()(1)()1(b ax d b ax f a
dx b ax f
⎰⎰=
-n n
n n dx x
f n
dx x x f )(1)()2(1
⎰⎰=
x d x f dx x
x f ln )(ln 1
)(ln )3(
⎰⎰=
x x
x x de e
f dx e e f )()()4(
⎰⎰=
x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin )5( ⎰
⎰
-=x d x f dx x x f cos )(cos sin )(cos )6(
⎰⎰⎰
=
=
x
d x f dx
x
x f xdx x f tan )(tan cos 1)
(tan sec )(tan )7(2
2
⎰⎰
-=x d x f xdx x f cot )(cot csc )(cot )8(2
⎰
⎰=
-x d x f dx x
x f arcsin )(arcsin 11)
(arcsin )9(2
⎰
⎰=
+x d x f dx x x f arctan )(arctan 11)
(arctan )10(2
此外，还需注意：
dx x
a x x a d dx a
x x
a x d 2
2
222
222--
=-±=
±
dx a
x x a x d 2
2
221)ln(±=
+±
（Ⅴ）换元积分法（二）
dt t g dx t g x )()('=⇒=令
∴
dt t g t g f dx x f ⎰⎰'=)()]([)(
常见情形有：
①f （x ）中含有n b ax +时，令t b ax n =+ ②f （x ）中含有22x a -时，令x=a sint ③f （x ）中含有22x a +时，令x=a tant ④f （x ）中含有22a x -时，令x=a sect 均能达到有理化的目的。

（Ⅵ）分部积分公式
⎰⎰-=vdu uv udv
或
⎰⎰'-='vdx u uv dx v u
常见情形有：
)1
()1(ax n ax n e a
d x dx
e x ⎰
⎰=
⎰
⎰-=)cos 1
(sin )2(ax a
d x axdx x n n
⎰
⎰=)sin 1(cos )3(ax a d x axdx x n n ⎰
⎰=x xd xdx x tan sec )4(2 ⎰⎰++=11
1ln )(ln )5(n n x n xd dx x x ⎰⎰++=)1
1(arctan )(arctan )6(1n n x n xd dx x x ⎰⎰++=)1
1(arcsin )(arcsin )7(1n n x n xd dx x x 此外，需记住下列结果：
C bx b bx a e b
a bxdx e ax ax +-+=⎰)cos sin (1sin 22 C bx a bx
b e b
a bxdx e ax ax +++=⎰
)cos sin (1cos 22
打好基础练习，做拔高训练
在基本练习题已经比较熟练的基础上，可以做一些下面的例题，以达到提高水平的目的。

【例一】 计算 （1）dx x a x 2
1)3(arcsin -⎰ 解： ⎰⎰
=-3arcsin )3(arcsin 1)3(arcsin 22x d x dx x a x C x +=2)3
(arcsin 21 （2）⎰
dx x 3arcsin 解： dx x x
x x dx x ⎰⎰--=293arcsin 3arcsin
C x x x +-+=293
arcsin 【例二】 计算
（1）⎰+++dx x x x 11
·)1ln(22
解： ⎰++dx x x 1
·)1ln(22
)1ln()1ln(22x x d x x ++++=⎰ C x x +++=22)]1[ln(2
1 （2）dx x x )1(ln 2++⎰
解： dx x x )1(ln 2++⎰
⎰+-++=dx x x
x x x 1)1ln(22
C x x x x ++-++=1)1ln(22
【例三】 计算dx e x ⎰
解： 令t x = ∴2t x = ，dx=2tdt
C e t dt te dx e t t x +-==⎰
⎰)1(22 C e x x +-=)1(2
【例四】 计算dx x e x ⎰
23cos 解： dx x e dx x e x x ⎰
⎰+=)2cos 1(21cos 323 }2cos {2
133⎰⎰+=xdx e dx e x x C x x e e x x +++=)}2sin 32cos 2(13
131{2133 【例五】 考题三（18）
计算 ⎰-dx x x 2
arcsin 412 解： 令x=2 sint ∴dx=2 cost dt
2
arcsin x t = ∴⎰⎰=-dt t t t dx x x )cos 2(cos 22
arcsin 412 C x C t dt t +=+==⎰
|2arcsin |ln ||ln 1
·微积分（上）练习册·[第一章] 函数
习题1-1 函数
1. 填空题：
（1）()x y 32log log =的定义域 。

（2）523arcsin 3x x y -+-=
的定义域 。

（3）x x y +-=
11的反函数 。

（4）已知31122++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+
x
x x x f ，则=)(x f 。

2. 设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥<=3x , 0 3 , sin )(π
πϕx x x ，求()2,6-⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕπϕ，并作出函数()x ϕη=的图形。

班级： 姓名： 学号：
（1）x e y 1=
（2）x e y 3sin =
（3）()[]12ln arcsin +=x y
4. 设()x f 为定义在（-L,L ）内的奇函数，若()x f 在（0，L ）内单调增加，证明：()x f 在（-L,0）内也单调增加。

·微积分（上）练习册·[第一章] 函数
5. 设()⎨⎧<≥=0
, 10 , x x x x f
（2）求()()1-+x f x f ，（写出最终的结果）
班级： 姓名： 学号：
6. 某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a 公里内，每公里k 元；超过a 公里，超过部分每公里5
4k 元，求运价m 和里程s 之间的函数关系，并作出此函数的图形。

7. 某商店年销售某种产品800件，均匀销售，分批进货。

若每批订货费为60元，每件每月库存费为0.2元，试列出库存费与进货费之和p 与批量x 之间的函数关系。

·微积分（上）练习册·[第一章] 函数
习题1-2 常用的经济函数
1. 某车间设计最大生产力为月生产100台机床，至少要完成40台方可保本，当生产x 台时的总成本函数()x x x c 102
+=（百元），按市场规律，价格为x p 5250-=（x 为需求量），可以销售完，试写出月利润函数。

2. 某工厂生产某种产品年产量为x台，每台售价为250元，当年产量在600台内时，可全部售出，当年产量超过600台时，经广告宣传后又可再多出售200台，每台平均广告费为20元，生产再多，本年就售不出去了。

试建立本年的销售收入R与年产量x的关系。

班级：姓名：学号：
3. 当某商品价格为P时，消费者对此商品的月需求量为D（P）= 12×103-200P.
（1）画出需求函数的图形；
（2）将月销售额（即消费者购买此商品的支出）表达为价格P的函数。

（3）画出月销售额的图形，并解释其经济意义。

·微积分（上）练习册·[第一章] 函数
4. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元：
（1）将每台的实际售价P表示为订购量X的函数；
（2）将厂方所获的利润表示为订购量X的函数；
（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？
班级：姓名：学号：
5. 某饭店现有高级客户房60套，目前租金每天每套200元则基本客满，若提高租金，预计每租金提高10元均有一套房间会空出来，试问租金定为多少时，饭店租收入最大？收入多少元？这时饭店将空出多少套高级客房？
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-1 极限
2. 用极限的定义证明：02lim
=∞→n n
班级： 姓名： 学号：
3. 若a u n n =∞→lim ，证明：a u n n =∞
→lim ，并举例说明反过来未必成立。

4. 求()[]x x f =在0→x 时的左右极限，并说明它在0→x 的极限是否存在。

·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
5. 证明：若A u n n =∞
→lim ，且0>A ，则存在0>N ，当N n >时，恒有0>n u .
6. 证明：()A x f x x =→0lim 的充要条件是()()A x f x f x x x x ==-
→+→00lim lim
班级： 姓名： 学号：
7. 设()x
x x f 2
=，回答下列问题： （1）函数()x f 在0=x 处的右，左极限是否存在？
（2）函数()x f 在0=x 处是否有极限？为什么？
（3）函数()x f 在1=x 处是否有极限？为什么？
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-2 无穷小，无穷大，极限运算法则
1. 填空题：
（1）若22
lim 222=--++→x x b ax x x ，则a = ，b = .
（2）若2134lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-+∞→b ax x x x ，则a = ，b = .
（3）若21lim
1=-+→x b ax x ，则a = ，b = .
（4）()=--+∞→5210100lim x x x .
2. 根据定义证明：x
x y 21+=
为当0→x 时的无穷大，问x 应满足什么条件，能使410>y ？
班级： 姓名： 学号：
3. 计算下列极限.
（1）x x x arctan lim
∞→ （2）()n n n n -+∞→1lim
（3）12lim 21+-→x x x （4）()h x h x h 33
0lim -+→
（5）()N n x x n x ∈--→11lim 21 （6）2
31lim 42-++∞→x x x x
（7）()22333lim -+→x x x x （8）()()()302010152312lim ++⋅-∞→x x x x
班级： 姓名： 学号：
⎫⎛
111⎤⎡111
（11）⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311lim x x x （12）()()112525lim ++∞→-+-+n n n
n n
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-3 极限存在准则，两重要极限及无穷小比较
1. 计算下列极限
（3）n n x x 2sin 2lim ⋅∞→（x 为不等于0的常数） （4）x
x x x 21lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→
班级： 姓名： 学号：
2. 利用夹逼准则计算下列极限
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++∞→n n n n n 2221211
1lim
（2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅→x x x 1lim 0，其中[]x y =为取整函数
（3）数列
个根号
n n x x x x 222,,222,22,2321+⋯++=⋯++=+== （1）证明：n n x ∞→lim 存在. （2）求n n x ∞
→lim
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
4. 当1→x 时，无穷小x -1和下列无穷小是否同阶？是否等价？
（1）21x - （2）
()
3131x -
5. 已知当0→x 时，()11312-+ax
与x cos 1-是等价无穷小，求a .
6. 已知2lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→x
x c x x ，求c .
班级： 姓名： 学号：
7. 利用等价无穷小的性质，求下列极限.
（1）x x x 2sin 3arctan lim
0→ （2）()30arctan sin tan lim x x x x -→
（3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x 1cos 1lim 2 （4）()x
x x 5sin 21ln lim 0-→
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-4 函数的连续性
1. 填空题
（1）设()()x
x x f -=
1ln ，若补充()=0f 可使()x f 在0=x 处连续. （2）1=x 是2
3122+--=x x x y 的第 类间断点，且为 间断点.
（3）函数0,tan ==x x
x y 是第 类间断点，且为 间断点. ()⋯±±==2,1k k x π是第.
()⋯±±=+
=2,12k k x ππ是第 类间断点，且为 间断点.
（4）a x =是a x a
x y --=
的第 类间断点，且为 间断点.
（5）0=x 是x y 1cos
2=的第 类间断点，且为 间断点.
2. 指出函数121211+-=
x x y 的间断点，并判定其类型.
班级： 姓名： 学号：
3. 已知x x x y n
n
n ⋅+-=∞→2211lim ， （1）求函数()x f y =的表达式.
（2）讨论()x f 的连续性，若有间断点，判别其类型.
4. 设()()0 0,0,2cos >⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧<--≥+=a x x x a a x x x x f ，当a 取何值时，()x f 在0=x 处连续.
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
5. 求下列函数的极限.
（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x 1sin sin lim 0 （2）1
1lim 31--→x x x
（3）()x x x x x --+-∞→22lim
（4）a
x a x a x --→sin sin lim
班级： 姓名： 学号：
（5）x e x 1lim ∞→ （6）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2121ln cos lim x x x
（7）()x x x 2cot 201lim +→ （8）1
ln lim 21-→x x x
（9）()0lim ≠⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+∞→a a x a x x
x （10）()14sin lim 1-→x x x π
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
习题2-5 闭区间上连续函数的性质
1. 试证下列方程在指定区间内至少有一实根.
（1）0135
=--x x ，在区间（1，2）；
（2）2-=x e x ，在区间（0，2）.
班级： 姓名： 学号：
2. 设函数()x f 在区间[0，2a ]上连续，且()()a f f 20=
证明：在[0，a ]上至少存在一点ξ，使()()a f f +=ξξ.
3. 证明方程23=⋅x
x 至少有一个小于1的正根.
·微积分（上）练习册·[第二章] 极限与连续
4. 若()x f 在（a ，b ）上连续，n x x x ⋯,,21为（a ，b ）内的n 个点，
证明：在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使()()()()[]n x f x f x f n
f +⋯++=
211ξ
5. 设()x f 在[a ，b ]上连续，且无零点，则()x f 在[a ，b ]上的值不变号.（提示：用反证法）
班级： 姓名： 学号：
6. 若()x f 与()x g 都在[a ，b ]上连续，且()()()()b g b f a g a f ><,，则至少存在一点()b a c ,∈，使()()c g c f =.
7. 若()x f 在（a ，b ）内连续，且()()+∞=+∞=-
→+→x f x f b x a x lim ,lim 证明：()x f 在（a ，b ）内有最小值.
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
习题3-1 导数的概念
1. 填空题：
（1）若()()A f f ='=0,00，则()=→x x f x 0lim
.
（2）若()0x f '存在，则下列的A 取何值.
()()==∆-∆-→∆A A x
x f x x f x ,lim 000 . ()()==--+→A A h h x f h x f h ,lim
000
. （3）函数()x f y =在0x x =处可导是()x f y =在0x x =处连续的 条件.
（4）曲线x y 1=在2
1=x 处切线方程 ，法线方程 .
2. 利用导数的定义求下列函数的导数.
（1）()x x f =
，求()x f ' （2）()21x
x f =在0x x =处的导数()0x f '.
班级： 姓名： 学号：
4. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 0
0,1sin 2x x x x y 在0=x 处的连续性与可导性.
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
5. 已知()⎩⎨
⎧≤>+=0,cos 0,x x x bx a x f 在0=x 处可导，求a ，b .
6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧≥<=0
,0,23x x x x x f ，求导函数()x f '.
班级： 姓名： 学号：
7. 已知()x f 在1=x 处连续，且()21
lim
1=-→x x f x ，求()1f '.
8. 若()A x f ='0，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→n x f n x f n n 11lim 00.
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
习题3-2 导数的四则运算
1. 求下列函数的导数（a 、b 、c 为常数，x 、t 、μ为自变量）
（1）x
x y 22+=
（2）5sin cos 2π+=x e y x
（3）x x y cos sin = （4）()1,0≠>⋅=a a x a y a
x
班级： 姓名： 学号：
（5）t t s cos 1sin 1++=
（6）u
u y -++=1111
2. 求下列函数在给定点处的导数.
（1）ϕϕϕcos 21sin +
=y ，求4πϕϕ=d dy
（2）()t t t f +-=
11，求()4f '
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
3. 设()⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0,10, 0 0,tan x e x x x x x f x ，求()()x f f '',0
4. 求曲线22
-+=x x y 的切线方程，使此切线平行于直线03=-+y x .
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5. 设某产品的需求函数5
20Q P -=，P 为价格，Q 为销售量. （1）求收益R （Q ）对销售量Q 的变化率.
（2）问当销售量分别为15和20时，哪一点处收益变化得快？
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
习题3-3 复合函数的导数
1. 求下列函数的导数
（1）()4
32+=x y （2）x e y 2-=
（3）x y 3cos = （4）22x a y -=
（5）()[]x y -=1sin ln （6）x y -=1arcsin
班级： 姓名： 学号：
（7）arc y = （8）21arctan 21+=x y
（9）()x x y tan sec ln += （10）x e
y 1cos =
2. 求下列函数的导数 (2
a
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
（3）22arcsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y （4）{}
ln cos arctan x y e -⎡⎤=⎣⎦
（5）x e
y 12sin -= （6）21arccos t t y +=
3. 设()()x g x f ,可导，()()()()x g x f y x g x f
2222,0+=≠+，求dx
dy .
班级： 姓名： 学号：
4. 设()x f 可导，求函数()x xf y sin =的导数
dx
dy .
5. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 0
0,1arctan 2x x x x x f ，试讨论()x f '在0=x 处的连续性.
·微积分（上）练习册·[第三章] 导数、微分、边际与弹性
习题3-4 高阶导数
1. 填空题
（1）=''=y xe y x ,2
.
（2）=''-+=y x
x x y ,423 .
（3）()=''++=y x x y ,1ln 2 .
（4）()()[]=+=2222,dx
y d x f x
f y （()x f 二阶可导）.
（5）()()()()=+=2,1088f x x f .
（6）()==-n x y e
y ,21 .
2. 验证函数x x e e
y -+=2满足关系式y y y 2='-''.。