2012年中考数学专题复习四边形对称及折叠计算

2012年中考数学专题复习序列之
----四边形中对称及折叠计算问题
1、（2011•资阳）将一张正方形纸片如图所示折叠两
次，并在上面剪下一个菱形小洞，纸片展开后是
（）
2、（2011•重庆）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD
上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC
于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；
③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3\（2011•昭通）如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D
与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′=125°，
那么∠ABE的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
4、（2011•岳阳）如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：
①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③DE/AB=EF/AF；④AD=BD•cos45°．
其中正确的一组是（）
A．①②B．②③C．①④D．③④
5、（2011•营口）如图，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形是（）A．正四边形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
6、（2011•宜宾）如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸
片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且
EF=3．则AB的长为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
7、（2011•咸宁）如图，将一张边长为3的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围
成一个底面是正三角形的棱柱，这个棱柱的侧面积为（）
A．9 B．9-3√3 .C．9-5√3/2 D．9-3√32
8、（2011•天水）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（）
A．6 B．4 C．2 D．1
9、（2011•泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是
AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，
若BC=3，则折痕CE的长为（）
10、（2011•山西）将一个矩形纸片依次按图（1）、图（2）的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）
11、（2011•莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿
CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，
BC=5，则tan∠AFE的值为（）
A．4/3 B．3/5 C．3/4 D．4/5
12、（2011•内江）如图．在直角坐标系中，
矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，
3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y
轴于点E．那么点D的坐标为（）
13、（2011•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）
14、（2011•六盘水）如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，
点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程
中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
15、（2011•葫芦岛）一矩形纸片按图中（1）、（2）所示的方式对折两
次后，再按（3）中的虚线裁剪，则（4）中的纸片展开铺平后的图形
是（）
16、（2011•阜新）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的
周长最小时，则DF的长为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
17、（2011•福建）如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，
BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，
折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：
①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB2=3CM2；④△PMN是等边三角
形．正确的有（）
A．1个B．2个C．3个. D．4个
18、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC
边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN=（）
A. 3cm .B．4cm C．5cmD．6cm
2012年中考数学专题复习序列之
----坐标系中对称及翻折计算综合问题（=）
1.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =
，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60
后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，．
（1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2010年芜湖市)如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－433
，
0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．
（1）求折痕所在直线EF 的解析式； （2）一抛物线经过B
、E 、B ′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．
3.(2008年辽宁省十二市)如图16
，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C
，抛物线2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点．
（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写P 坐标；若不存在，说理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
4.（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．
（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
B
图 1
B
D 图 2
图
3
5.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(00)O ，
，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动2
3
秒时，
动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P 的运动时间为t （秒）．
（1）用含t 的代数式表示OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将O
P Q △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；
（1） 连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平行？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
图1
答案：（印师此一份）
1.(2008年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =
，OB =ABOC 绕点O 按顺时针方向旋转60
后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2y ax bx c =++过点A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
1. 解：（1）点E 在y 轴上…1分理由如下：
连接AO ，如图所示，在Rt ABO △中，1AB =
，BO =，
2AO ∴= 1s i n 2
A O
B ∴∠=，30AOB ∴∠= 由题意可
知：60AOE ∠=
306090BOE AOB AOE ∴∠=∠+∠=+= 点B 在x 轴上，∴点E 在y 轴上．3分
（2）过点D 作DM x ⊥轴于点M
1OD = ，30DOM ∠= ∴在Rt DOM △中，12DM =
，OM = 点D 在第一象限，∴点D 的坐标为12⎫
⎪⎪⎝
⎭，..5分 由（1）知2EO AO ==，点E 在y 轴正半轴上∴点E 的坐标为(02)，
∴点A
坐标为(….6分 抛物线2y ax bx c =++经过点E ，2c ∴=
由题，
将(A ，12D ⎫⎪⎪⎝⎭
，代入22y ax bx =++
中得32131242
a a ⎧
+=⎪⎨+=⎪⎩
解得8a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴
所求抛物线表达式为：2829
y x =-+。

9分
（3）存在符合条件的点P ，点Q ．.. 10分 理由如下： 矩形ABOC
的面积AB BO == ∴以O B P Q ，，，
为顶点的平行四边形面积为OB 为此平行四边形一边，
又OB OB ∴边上的高为2 。

11分 依题意设点P 的坐标为(2)m ，
点P
在抛物线2
829
y x
=-+上
28229
m ∴-+=
解得，10m =
，2
m
= 1(0
2)P ∴，
，2
2P ⎛⎫ ⎪
⎪⎝
⎭ 以O B P Q ，，，为顶点的四边形是平行四边形，PQ OB ∴∥，
PQ
=∴当点1P 的坐标为(02)，时，点Q 的坐标分别为1(Q ，2Q 当点2P 的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭
时，点Q 的坐标分别为32Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，42
Q ⎫⎪⎪
⎝⎭
．24．(2010年芜湖市)（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－433
，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、
C 的对应点分别为B ′、C ′．
（1）求折痕所在直线EF 的解析式； （2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式； （3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．解：
x
3.(2008年辽宁省十二市)如图16
，在平面直角坐标系中，直线y =x 轴交于点A ，与y 轴交于点C
，抛物线2(0)y ax c a =+≠经过A B C ，，三点．
（1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写P 坐标；若不存在，说理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 解：（1）
直线y =与x 轴交于点A ，与y 轴交
于点C ．(10)A ∴-，
，(0C 。

1分 点A C ，都在抛物线上，
0a c c ⎧=⎪∴⎨⎪⎩
a c ⎧⎪∴⎨⎪=⎩
∴
抛物线解析式2y =∴
顶点1F ⎛
⎝⎭
（2）存在…5分
1(0)P …7分
2(2
)P …9分 （3）存在….10分
理由：解法一：
延长BC 到点B '，使B C
BC '=，连接B F
'交直线
AC 于点M
，则点M 就是所求的点． 11分
过点B '作B H AB '⊥于点H ． B
点在抛物线2y =
(30)B ∴， 在Rt BOC △
中，tan OBC ∠
30OBC ∴∠=
，BC =
x
在Rt BB H '△
中，12
B H BB ''==
6BH H '==，3OH ∴=
，(3B '∴--，。

12分 设直线B F '的解析式为y kx b =+
3k b k b ⎧--+⎪∴⎨=+⎪⎩
解得k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
y ∴。

13分
y y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩
解得37x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
37M ⎛∴ ⎝⎭ ∴在直线AC 上存在点M ，使得MBF △
的周长最小，此时37M ⎛ ⎝
⎭
． ··············· 14分 解法二： 过点F 作
AC 的垂线交y 轴于点H ，则点H 为点F 关于直线AC 的对称点．连接BH
交
AC 于点
M ，则点M 即为所求．。

11分
过点F 作FG y ⊥轴于点G ，则OB FG ∥，BC FH ∥．
90BOC FGH ∴∠=∠= ，BCO FHG ∠=∠ HFG CBO ∴∠=∠ 同方法一可求得(30)B ，．
在Rt BOC △
中，tan OBC ∠，30OBC
∴∠= ，可求得
GH GC =GF ∴为线段CH 的垂直平分线，可证得CFH △为等边三角形， AC ∴垂直平分FH ．
即点H 为点F 关于AC 的对称点．0H ⎛∴ ⎝⎭。

12分 设直线BH 的解析式为
y kx b =+，由
题意得
03k b b =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
y ∴。

13分y y ⎧⎪∴⎨⎪=⎩ 解得37x y ⎧=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
37M ⎛∴ ⎝⎭
∴在直线AC 上存在点M
，使得MBF △的周长最小，此时
37M ⎛ ⎝⎭
． 1
x
4.（08山东省日照市）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
4. 解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ．
∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC =
，即43x AN =． ∴ AN ＝43x ．…2分∴ S =2133248
MNP AMN S S x x x ∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） …3分
（2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO
1
在Rt △ABC 中，BC
． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．
∴ AM MN AB BC
=，即45x MN =． ∴ 54MN x =，∴ 58OD x =．…5分 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则5
8
MQ OD x ==
． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC
=．
∴ 5
5258324
x
BM x ⨯=
=，25424AB BM MA x x =+=+=． ∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝
49
96
时，⊙O 与直线BC 相切．…7分 （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．
∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC ∴ △AMO ∽ △ABP ． ∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．
故以下分两种情况讨论：
① 当0＜x ≤2时，2Δ83
x S y PMN ==．
∴ 当x ＝2时，233
2.82
y =
⨯=最大 …8分 B
图 1
B
D 图 2 图 3
B 图 1 B D 图 2 P 图 3
②当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．
∵四边形AMPN是矩形，∴PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵MN∥BC，∴四边形MBFN是平行四边形．
∴FN＝BM＝4－x．∴()
424
PF x x x
=--=-．
又△PEF ∽△ACB．∴2
PEF
ABC
S
PF
AB S
∆
∆
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
．∴(
3
2
2
PEF
S x
∆
=-．9分
MNP PEF
y S S
∆∆
=-＝()2
22
339
266
828
x x x x
--=-+-
…10分
当2＜x＜4时，2
9
66
8
y x x
=-+-
2
98
2
83
x
⎛⎫
=--+
⎪
⎝⎭
．
∴当
8
3
x=时，满足2＜x＜4，2
y=
最大
．…11分
综上所述，当8
3
x=时，y值最大，最大值是2．…12分
5.(2008年浙江省绍兴市)将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，(00)
O，，(60)
A，，(03)
C，．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动
2
3
秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）用含t的代数式表示OP OQ
，；
（2）当1
t=时，如图1，将O P Q
△沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D 的坐标；
（2）连结AC，将OPQ
△沿PQ翻折，得到EPQ
△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
图1
图 4
5.解：（1）6OP t =-，2
3
OQ t =+．
（2）当1t =时，过D 点作1DD OA ⊥，交OA 于1D ，如图1，
则5
3
DQ QO ==
，43QC =，1CD ∴=，(1
3)D ∴，． （3）①PQ 能与AC 平行．若PQ AC ∥，如图2，则OP OA OQ
OC
=，
即66233
t
t -=+，149t ∴=，而
7
03
t ≤≤，149
t
∴=
． ②PE 不能与AC 垂直．若PE AC ⊥，延长QE 交OA 于F ，如图3，
则
2
3
3
t QF OQ AC OC +=
．
23QF t ⎫
∴+⎪
⎭
．
EF QF QE QF OQ
∴=-=
-2233t t ⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎭⎝⎭
2
1)1)3t =+．又Rt Rt EPF OCA △∽△，PE OC EF OA ∴=
，
6326
1)3t t -∴=
⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
，
3.45t ∴≈，而703
t ≤≤，t ∴不存在．
图1。