三角函数(一轮复习教案)

第三章三角函数 (1)
第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)
第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)
第三节三角函数的图象与性质 (16)
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)
第五节和角公式 (37)
第六节倍角公式与半角公式 (45)
第七节正弦定理和余弦定理 (53)
第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)
第三章三角函数
知识网络：
学习重点：
三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．
1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．
2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．
3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：
1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．
2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．
3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．
4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.
第一节 角的概念与任意角的三角函数
学习目标：
1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．
3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝l
r
. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180α
π
)°.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝
1
2
lr ＝1
2
r 2α.
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
.
(2)三角函数在各象限的符号
一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线
(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：
1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？ 【提示】 充分不必要条件．
2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？
【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：
1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π
3
)，则α弧度数是( )
A ．2 B.π3 C.π6 D.2π
3
【解析】 点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝132＋1
＝12，又α为锐角，∴α＝π
6.
【答案】C
1
2．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝
定义域相同的函数为( )
3
x
A ．y ＝
1sin x B ．y ＝ln x x
C ．y ＝x e x
D ．y ＝sin x x
【解析】 函数y ＝
13
x
的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，
故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.
【答案】 D
3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角
【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．
【答案】 C
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π
4
，
∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝1
2×3π×4＝6π.
【答案】 4 6π
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一
点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________.
【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝
y
16＋y
2
，
又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y
2
＝－25
5， 解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：
例1（角的集合表示）
(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α
2
所在的象限．
【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．
(2)把α写成集合的形式，从而α
2
的集合形式也确定．
【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π
3
，k ∈Z }，当角的
终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋4
3
π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝
2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π
3
，k ∈Z }．
(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋3
2
π(k ∈Z )，
∴k π＋π2＜α2＜k π＋3
4
π(k ∈Z )．
当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋
π2＜α2＜2n π＋34π，α
2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α
2是第四象限角，
综上知，当α是第三象限角时，α
2
是第二或第四象限角,
变式训练1：
若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ
3的终边相同的角为________．
【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋2
3k π(k ∈Z )，
当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π
9
.
【答案】 π9，7π9，13π
9
例2（弧度制的应用）
已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .
(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l . (2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝π
3
，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．
【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；
(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；
(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．
【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π
3
(cm)．
(2)由已知得：l ＋2R ＝20，
所以S ＝12lR ＝12
(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2
＋25，
所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．
由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3
－3)(cm 2
)
变式训练2：
已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，
(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，
∴△AOB 为等边三角形．
因此弦AB 所对的圆心角α＝π
3
.
(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得
l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π
3.
又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π
3＝25 3.
∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－3
2
).
例3（三角函数的定义）
(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4
5
，则m 等于( )
A ．－114 B.11
4
C ．－4
D ．4
(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．
(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．
【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2
＋9，
∴cos α＝m m 2＋9
＝－4
5，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＝16
m ＜0
，∴m ＝－4.
【答案】 C
(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，
∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2
＝5|t |， 当t ＞0时，r ＝5t ，
sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝4
5，
tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4
；
当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3
5
，
cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－3
4
.
综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3
4.
当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3
4
.
变式训练3：
设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝2
4
x ，求4sin α－3tan
α的值．
【解】 ∵r ＝x 2
＋5，∴cos α＝
x
x 2＋5
， 从而
24x ＝x
x 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，
∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，
∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3
＝－15
3.
故4sin α－3tan α＝10＋15.
小结：
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧
1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．
2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意
1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数
一、选择题
图3－1－2
1．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )
A ．(cos θ，sin θ)
B ．(－cos θ，sin θ)
C ．(sin θ，cos θ)
D ．(－sin θ，cos θ)
【解析】 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．
【答案】 A
2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2 C.2
sin 1
D ．2sin 1
【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1
sin 1，
∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2
sin 1
.
【答案】 C
3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )
A ．重合
B ．关于原点对称
C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.
【答案】 C
4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )
A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55
，－2
【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则
r ＝5，从而cos α＝－15
＝－55，tan α＝2
－1＝－2，故选D.
【答案】 D
5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝1
5
x ，
则tan α＝( )
A.43
B.34 C ．－34 D ．－43
【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2
＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15
x ，
∴x 2
＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43
.
【答案】 D
6．已知点P (sin 3π4，cos 3
4
π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.π4
B.3π4
C.5π4
D.7π4 【解析】 由已知得P (
22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π
4
. 【答案】 D
二、填空题
7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a
4＝tan 120°，
∴－a
4＝－3，∴a ＝4 3.
【答案】 43
8．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|
cos α
＝________.
【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 2
9．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1逆时针方向运动2π3
弧长到达Q 点，则Q 点
的坐标为________．
【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin
2π
3
＝
32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，3
2
)． 【答案】 (－12，32
)
三、解答题
10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．
【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，
∴tan θ＝－1
x
，又tan θ＝－x ，
∴x 2
＝1，∴x ＝±1.
当x ＝1时，sin θ＝－
22，cos θ＝22
， 因此sin θ＋cos θ＝0；
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－2
2，
因此sin θ＋cos θ＝－ 2.
11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；
(2)求AB 所在弓形的面积．
【解】 (1)∵α＝120°＝
2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π
3
×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2
×4π×6＝12π，
S △ABO ＝12r 2·sin
2π3＝12×62×3
2
＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.
12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．
所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－2
5，
cos α＝a a 2＋－2a 2
＝1
5， tan α＝－2a
a
＝－2，
sin β＝a 2a 2＋a 2
＝1
5， cos β＝
2a 2a 2＋a 2
＝2
5
， tan β＝a 2a ＝1
2
，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25
＋(－2)×1
2＝－1.
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
学习目标：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2
x ＝1，sin x cos x
＝tan x .
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π
2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公
式.
考点梳理：
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2
α＝1.
(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π
2
＋k π，k ∈Z )．
组数 一 二 三
四
五 角 α＋2k π(k
∈Z ) －α
α＋(2k ＋1)π(k ∈
Z )
α＋π
2
－α＋π2
正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α
正切 tan α
－tan_α tan_α
口诀
函数名不变符号看象限
思考：
1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？
【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sin α；当
k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？
【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.
学情自测：
1．已知cos(α－π)＝－5
13
，且α是第四象限角，则sin α＝( )
A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213
【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－5
13
，
∴cos α＝5
13
，
又α是第四象限角，
∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2
α＝－1213
.
【答案】 A
2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π
2
，则θ等于( )
A ．－π6
B ．－π3 C.π6 D.π3
【解析】 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得 －sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，
又|θ|＜π2，∴θ＝π
3
，故选D.
【答案】 D
3．sin 585°的值为( )
A ．－22 B.22 C ．－32 D.3
2
【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22
.
【答案】 A
4．若cos α＝－35且α∈(π，3π
2
)，则tan α＝( )
A.34
B.43 C ．－34 D ．－43
【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π
2
)，
∴sin α＝－1－cos 2
α＝－
1－－
3
5
2
＝－45
，
∴tan α＝sin αcos α＝4
3
.
【答案】 B
5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )
A ．－1
B ．－22 C.2
2 D ．1
【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，
即sin 2α＝－1.
【答案】A
典例探究：
例1（同角三角函数关系式的应用）
(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α
＝5，则sin 2
α－sin αcos α的值是( )
A.25 B ．－2
5
C ．－2
D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π
2
)，tan α＝2，则cos α＝________.
【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；
(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2
α＝1求解．
【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋3
3－tan α
＝5，即tan α＝2.
所以sin 2
α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2
α－tan αtan 2
α＋1＝25
. (2)依题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
tan α＝sin αcos α＝2，
sin 2α＋cos 2α＝1，
由此解得cos 2
α＝15
；
又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－5
5.
【答案】 (1)A (2)－55
, 变式训练1：
(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝3
5
，则sin 2α＝( )
A ．－2425
B ．－1225 C.1225 D.2425
【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝3
5
，
∴cos α＝－1－sin 2
α＝－45
，
∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－24
25
.
【答案】 A
例2（诱导公式的应用） (1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋α
sin 3π－α·cos π＋α
＝________.
(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π
2
＋α·tan π－α
tan －α－π·sin －α－π
，
①化简f (α)；
②若cos(α－3π2)＝1
5
，求f (α)的值．
【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；
(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．
【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α
－sin α·cos α
＝sin α，
∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．
又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，
由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2
α＝1，解得sin α＝
－255
.
【答案】 －25
5
(2)①f (α)＝
sin α－π2·cos 3π
2
＋α·tan π－α
tan －α－π·sin －α－π
＝
－cos α·sin α·－tan α
－tan α·sin α
＝－cos α.
②∵cos(α－3π2)＝1
5，
∴－sin α＝15，从而sin α＝－1
5.
又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2
α＝－265
，
∴f (α)＝26
5
.
变式训练2：
(1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )
A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋1
2
(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非
零实数)，
若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定
【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)
＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝3
2
.
(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，
∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4
＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A
例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）
(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝1
5.
(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2
x
1－tan x
的值．
【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．
【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2
x ＝125，
整理得2sin x cos x ＝－24
25
.
∵(sin x －cos x )2
＝1－2sin x cos x ＝4925
.
又∵－π＜x ＜0，
∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，
7 5.
故sin x－cos x＝－
(2)sin 2x ＋2sin 2
x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－
sin x
cos x
＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575
＝－24
175
.
变式训练3：
已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.
(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．
【解】(1)由sin x ＋cos x ＝1
5
，
平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2
x ＝125
，
即2sin x cos x ＝－24
25
，
∵(sin x －cos x )2
＝1－2sin x cos x ＝4925
.
又∵－π
2
＜x ＜0，
∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，
故sin x －cos x ＝－7
5
.
(2)由(1)得sin x －cos x ＝－7
5，
故由⎩⎪⎨⎪⎧
sin x ＋cos x ＝1
5sin x －cos x ＝－7
5
，得sin x ＝－35，cos x ＝4
5
，
∴tan x ＝sin x cos x ＝－3
545
＝－3
4
.
小结：
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防范
1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．
三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin α
cos α进行弦、切互化．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2
＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2
θ)＝tan π4
等．
课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、选择题
1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )
A.1－k
2
k
B ．－
1－k
2
k
C.
k
1－k 2 D ．－k
1－k
2
【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，
∴sin 80°＝1－k 2
，
∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k
2
k
.
【答案】 B
2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π
2，则tan θ＝( )
A ．－ 3 B.
33 C ．－3
3
D.3 【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝3
2，
即sin θ＝－
32
， ∵|θ|＜π2，∴θ＝－π
3
，
∴tan θ＝tan(－π
3
)＝－ 3.
【答案】 A
3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝5
5
则sin(－π－α)＝
( )
A.55
B.255 C ．－55 D ．－255
【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π
2，0)，
∴sin α＝－1－cos 2
α＝－
1－525＝－25
5
， ∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－25
5
.
【答案】 D
4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ＝( )
A ．－43 B.54 C ．－34 D.45
【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2
θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2
θ ＝tan 2
θ＋tan θ－2tan 2
θ＋1＝4＋2－24＋1＝45
. 【答案】 D
5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θ
sin 3
θ
的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027
【解析】 ∵sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
＝2，∴sin θ＝3cos θ，
∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2
θ
由⎩
⎪⎨⎪⎧
sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2
θ＝1得cos 2
θ＝110
，
∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3
θ＝82027. 【答案】 C
6．若sin α是5x 2
－7x －6＝0的根，
则sin －α－3π2sin 3π2
－αtan 2
2π－α
cos π2－αcos π2
＋αsin π＋α
＝( )
A.35
B.53
C.45
D.54
【解析】 方程5x 2
－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35
.
原式＝cos α－cos αtan 2
αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝5
3.
【答案】 B 二、填空题
7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π
4－α)的值为________．
【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝3
2
.
【答案】
32
8．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2
α＝________.
【解析】 7sin 2α＋3cos 2
α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2
α＋1＝7×22
＋322＋1＝315
. 【答案】 31
5
9．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π
6
－x )＝________.
【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π
6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116
.
【答案】 11
16
三、解答题
10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 3
4
π
cos x
.
(1)求函数y ＝f (x )的定义域；
(2)设tan α＝－4
3
，求f (α)的值．
【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π
2＋k π，k ∈Z ，
所以函数的定义域是{x |x ≠π
2
＋k π，k ∈Z }．
(2)∵tan α＝－4
3，
∴f (α)＝
1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 3
4
π
cos α
＝1－cos α－sin α－1cos α
＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13
.
11．已知tan(α＋8
7π)＝a .
求证：
sin 157π＋α＋3cos α－137
π
sin 207π－α－cos α＋227
π
＝
a ＋3
a ＋1
. 【证明】 由已知得
左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π
7
－3π]
sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋8
7
π]
＝
－sin α＋87π－3cos α＋8
7
π
－sin α＋87π－cos α＋8
7
π
＝tan α＋8
7π＋3
tan α＋87
π＋1
＝a ＋3
a ＋1
＝右边，
所以原等式成立．
12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．
【解】 由已知得⎩⎨
⎧
sin A ＝2sin B ， ①
3cos A ＝2cos B ， ②
①2＋②2得2cos 2
A ＝1，
即cos A ＝22或cos A ＝－2
2
.
(1)当cos A ＝
22时，cos B ＝3
2
， 又A 、B 是三角形的内角，
∴A ＝π4，B ＝π6
，
∴C ＝π－(A ＋B )＝7
12π.
(2)当cos A ＝－
22时，cos B ＝－32
. 又A 、B 是三角形的内角，
∴A ＝34π，B ＝5
6
π，不合题意．
综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7
12π.
第三节三角函数的图象与性质
学习目标：
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及
与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π
2
)内的单调性.
考点梳理：
1．周期函数和最小正周期
对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
π
1．是否每一个周期函数都有最小正周期？
【提示】 不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．
2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点． 学情自测：
1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )
A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }
B ．{x |x ≠π
6＋k π，k ∈Z }
C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }
D ．{x |x ≠π6＋k π
3
，k ∈Z }
【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π
3
，k ∈Z ，故选D.
【答案】 D
2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2
)是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D ．最小正周期为π的偶函数
【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2
)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．
【答案】 A
3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4
)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2
C ．x ＝－π4
D ．x ＝－π2
【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，
故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4
，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4
. 法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4
)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4
)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π
2
时，y ＝sin(－π2－π4)＝－
22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C 4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10
)． 【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18
＜0， ∴sin(－π18)＞sin(－π10
)． 【答案】 ＞
5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4
)的最大值为________，此时x ＝________. 【解析】 当cos(x ＋π4
)＝－1时，函数有最大值5， 此时，x ＋π4
＝π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝34
π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 5 34
π＋2k π，k ∈Z 典例探究：
例1（三角函数的定义域和值域）
(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3
)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0
C ．－1
D ．－1－3
(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________． 【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值； (2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解． 【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6
， ∴sin(π6x －π3)∈[－32
，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.
(2)要使函数有意义，
必须有⎩⎪⎨⎪⎧ tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .
故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2
＋k π，k ∈Z }． 【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2
＋k π，k ∈Z }, 变式训练1：
(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．
(2)当x ∈[π6，7π6
]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6
，k ∈Z ， 故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56
π](k ∈Z )． (2)∵x ∈[π6，76
π] ∴－12
≤sin x ≤1， 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78
， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78
， 当sin x ＝1或－12
时，y max ＝2. 【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)78
2 例2（三角函数的单调性）
(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x
. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；
(2)求f (x )的单调递减区间．
【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；
(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解
出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．
因为f(x)＝sin x－cos x sin 2x
sin x
＝2cos x(sin x－cos x)
＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4
)－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2
](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2
，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8
(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8
](k ∈Z )． 变式训练2:
(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3
－2x )，求： (1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3
)． (1)周期T ＝2πω＝2π2
＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2
，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12
，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12
]，k ∈Z . 取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12
，0]. 例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）
设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2
)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；
②它的图象关于直线x ＝π12
成轴对称图形； ③它的图象关于点(π3
，0)成中心对称图形； ④在区间[－π6
，0)上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．
【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．
【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2
，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3
)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6
，0)上也是
增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,
变式训练3：
已知函数f (x )＝sin(πx －
π2
)－1，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数
B ．f (x )是周期为2的偶函数
C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数
D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数
【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2
)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.
【答案】 B
小结：
两条性质
1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则
(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2
＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．
2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x 、cos x 的有界性；
(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
课后作业(十八) 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3
对称的函数是( )
A ．y ＝2sin(2x ＋π3)
B ．y ＝2sin(2x －π6)
C ．y ＝2sin(x 2＋π3
) D ．y ＝2sin(2x －π3
) 【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3
)＝2或f (π3
)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B
2．函数y ＝tan(π4
－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4} B ．{x |x ≠－π4} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ≠k π＋3π4
，k ∈Z }
【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4
，k ∈Z ，故选D.
【答案】 D
3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．[－54
，－1]
C ．[－54，1]
D ．[－1，54
] 【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54
， ∵sin x ∈[－1,1]，∴－54
≤f (x )≤1， ∴f (x )的值域为[－54
，1]． 【答案】 C
4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象
关于直线x ＝π6
对称，则φ的最小值为( ) A.5π12 B.11π6 C.11π12
D ．以上都不对 【解析】 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －
φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2
(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12
. 【答案】 A
5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6
)，c ＝f (π3
)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b
C ．b ＜a ＜c
D ．b ＜c ＜a
【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3
)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3
)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6
)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B
6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小
正周期为6π，，且当x ＝π2
时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数
B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数
C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数
D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数
【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13
， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2
， ∴φ＝2k π＋π3
(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3
.
∴f (x )＝2sin(x 3＋π3
)． 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2
，k ∈Z ，
则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π
2
，k ∈Z .
易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【答案】 A 二、填空题
7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的
最小值为π
3
，则正数ω＝________.
【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝4
3
π，
∴ω＝2πT ＝32.
【答案】 3
2
8．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π
6
)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴
完全相同，若x ∈[0，π
2
]，则f (x )的取值范围是________．
【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π
6
)．
因为x ∈[0，π
2]，
所以2x －π6∈[－π6，5
6
π]，
所以sin(2x －π6)∈[－1
2，1]，
所以f (x )∈[－3
2，3]．
【答案】 [－3
2
，3]
9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；
③f (x )在区间[－π4，π
4
]上是增函数；
④f (x )的图象关于直线x ＝3π
4
对称．
其中真命题是________．
【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π
2
时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①
是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π
2
]，
故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3
4
π对称，故④
是真命题．
【答案】 ③④ 三、解答题
10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2
x ，
(1)求f (π
4
)的值；
(2)若x ∈[0，π
2
]，求f (x )的最大值及相应的x 值．
【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2
x ，
∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π
4＝(22)2＋(22
)2＝1.
(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2
x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2
＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋1
2
， 由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π
4
]，
所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋1
2
.
11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8
， (1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
【解】 (1)∵直线x ＝π
8
是函数f (x )图象的一条对称轴，
∴2×π8＋φ＝π
2＋k π，k ∈Z ，
即φ＝π
4
＋k π，k ∈Z ，
又－π＜φ＜0，
∴φ＝－3
4
π.
(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －3
4
π)，
令－π2＋2k π≤2x －34π≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得π8＋k π≤x ≤5π
8
＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，5
8
π＋k π]，k ∈Z .
12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π
12
时，f (x )取得最大值3. (1)求f (x )的解析式；
(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．
【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，
∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π
2
，
∴T ＝π＝2π
ω
，
∴ω＝2.
∵当x ＝π
12
时，f (x )的最大值为3，
∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )．
∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π
3
.
∴f (x )＝2sin(2x ＋π
3
)＋1.
(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π
3
]，
∵g (x )为奇函数，
∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π
6
(k ∈Z )，
∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π
3
.
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的
应用
学习目标：
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：
1．
2.
3.由
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移
思考：
1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？
【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π
2
，2π，然后求出x
的值．
2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？
【提示】 可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|
φ
ω
|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误． 学情自测：
1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π
2
)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动
的最小正周期T 和初相φ分别为( )
A ．T ＝6，φ＝π6
B ．T ＝6，φ＝π
3
C ．T ＝6π，φ＝π6
D ．T ＝6π，φ＝π
3
【解析】 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝1
2
，
又|φ|＜π2，∴φ＝π
6
，又T ＝6，故选A.
【答案】 A
2．把y ＝sin 1
2
x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω
的值为( )
A ．1
B ．4 C.1
4
D ．2
【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 1
4
x ，
故选C.
【答案】 C
3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所
π10个单位，得到图象的函数解析式为( )
得图象上所有的点向右平行移动
A ．y ＝sin(2x －π10)
B ．y ＝sin(2x －π
20)
C ．y ＝sin(12x －π10)
D ．y ＝sin(12x －π
20
)
【解析】 将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的
图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π
10
个单位，得到的图象解析式为
y ＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π
20)．
【答案】 D
4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
2
)的部分图象如图3－4－1所示，则
( )
图3－4－1
A ．ω＝1，φ＝π6
B ．ω＝1，φ＝－π
6
C ．ω＝2，φ＝π6
D ．ω＝2，φ＝－π
6
【解析】 由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π
3
)＝π，
∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D
5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )
A ．向左平移1个单位
B ．向右平移1个单位
C ．向左平移12个单位
D ．向右平移1
2
个单位
【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋1
2)，
∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移1
2
个单位即可，故选C.
【答案】 C 典例探究：
例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）
(1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )
(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π
3
个单位后与
原图象重合，则ω的最小值是( )
A.23
B.43
C.3
2
D ．3 【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；
(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍． 【解答】(1)y ＝cos 2x ＋1
――→横坐标伸长2倍
纵坐标不变
y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)＋1
――→向下平移1个单位长度
y ＝cos(x ＋1)．
结合选项可知应选A.
(2)设函数的周期为T ，由题意知kT ＝4
3
π，k ∈Z ，
∴T ＝4π3k ，∴ω＝3
2
k ，k ∈Z ，
又ω＞0，∴k ＝1时，ω有最小值3
2
，故选C.
【答案】 (1)A (2)C 变式训练1：
(1)(2013·济南模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π
3
)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象
( )
A ．向左平移π12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π6个单位
D ．向右平移π
6
个单位
(2)(2013·青岛质检)将函数y ＝sin(x －π
3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵
坐标不变)，再将所得图象向左平移π
3
个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )
A ．y ＝sin(12x －π3)
B ．y ＝sin(2x －π6)
C ．y ＝sin 12x
D ．y ＝sin(12x －π
6
)
【解析】 (1)∵y ＝sin(2x －π3)＝sin 2(x －π
6
)，
∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π
6
个单位即可．
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π
3
)的图象，然后。