2013年高考天津数学理科试题及答案（全word版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试((天津卷天津卷) )
理 科 数 学 第Ⅰ卷
一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B Ç=
(A) (,2]-¥
(B) [1,2]
(C) [2,2]
(D) [(D) [－－2,1]
2．设变量x , y 满足约束条件360,
20,30,
x y y x y ³--£+-ì-£ïíï
î则目标函数z = y －2x 的最小值为的最小值为
(A) (A) －－7 (B) (B) －－4 (C) 1 (D) 2 3．阅读右边的程序框图．阅读右边的程序框图, , , 运行相应的程序运行相应的程序运行相应的程序, , , 若输入若输入x 的值为1, 1, 则输出则输出S 的值为的值为
(A) 64 (B) 73
(C) 512
(D) 585
4．已知下列三个命题．已知下列三个命题: :
①若一个球的半径缩小到原来的12, , 则其体积缩小到原来的则其体积缩小到原来的1
8;
②若两组数据的平均数相等②若两组数据的平均数相等, , , 则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等则它们的标准差也相等; ;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切相切. .
其中真命题的序号是其中真命题的序号是: : (A) (A) ①②③①②③①②③ (B) (B) ①②①②①② (C) (C) ②③②③②③ (D) (D) ②③②③②③
5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线2
2(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点两点, , O 为坐标原点为坐标原点. . . 若双曲线的离心率为若双曲线的离心率为2, 2, △△AOB 的面积为3, , 则则p =
(A) 1
(B)
3
2
(C) 2 (D) 3
6．在△ABC 中, ,2,3,4
AB BC ABC p
Ð==
=则sin BAC Ð =
否
开始开始 输入x S=0 
2x x =
3S S x =+
S ≥50？ 输出S 结束结束
是
10103105
ú
15
-13
-1513
+
-5
1-
x 的二项展开式中的常数项为
的二项展开式中的常数项为 .
.
的长为
的长为 .
.
的长为
的长为 .
.
=
= 时
时
2
2
18．
．(本小题满分13分)设椭圆
2
2
x
a
3 43
参考答案参考答案
一、选择题一、选择题
1．D D 提示：提示：||222,[2,1]x x A B £Þ-££Ç=- 2．A A 提示：作出可行域，如图提示：作出可行域，如图
提示：作出可行域，如图
由图可知，当目标函数通过直线20x y --=与直线3y =的交点(5,3)时取得最小值，min 7z =-。

3．B B 提示：当提示：当1x =时，1S =，此时50S ³不成立；当2x =时，9S =，此时50S ³不成立；当4
x =时，73S =，此时50S ³成立；所以输出的73S =。

4．C C 提示：①由球体积公式提示：①由球体积公式343V R p =
知，R 缩小到原来的12时，体积缩小到原来的1
8
是正确的；②不一定相等，标准差反映的是数据的稳定状态，数据越分散，标准差越大，例如：一定相等，标准差反映的是数据的稳定状态，数据越分散，标准差越大，例如：11，3与0，4这两组数的平均数都是2，标准差分别为222212
11[(12)(32)]1,[(02)(42)]22
2
S S =
-+-==
-+-=，所以
该命题为假命题；③圆心(0,0)到直线10x y ++=的距离12
d =与圆的半径相等，所以直线与圆相切
为真命题。

为真命题。

5．C C 因为因为2222,3c
e c a b b a a
===+Þ=，故两条渐近线的方程为3y x =±，由32y x p x ì=±
ïí=-ïî
得两个
交点坐标为33(,),(,)2222p p p p ---，所以213||2224
AOB p p S AB p D =×=Þ= 6．C 由余弦定理得2
2
2
2cos 55AC BA BC BA BC BAC AC =+-×Ð=Þ=，由正弦定理得：
310
sin sin sin 10
BC AC BAC BAC ABC =ÞÐ=
ÐÐ。

7．B B 在同一坐标系中作出在同一坐标系中作出1()()2
x f x =与0.5
|log |y x =，如图，
，如图，
由图可得零点的个数为2。

8．A A 取取1
2a =-时，1()||2f x x x x =-+，因为()()f x a f x +<，所以11
()||1||22
x x x x --+>
（1）0x <时，解得304x -
<<；
（2）102x ££时，解得102x ££；（3）12x >时，解得15
24
x << 综上可知，12a =-时，35(,)44
A =-符合题意，排除
B 、D 取1a =时，()||f x x x x =+，因为()()f x a f x +<，所以(1)|1|1||x x x x +++>
（1）1x <-时，解得0x >，矛盾；（2）10x -££时，解得0x <，矛盾；（3）0x >时，解得1x <-，矛盾；综上可知1a =时，A f =，不符合题意，排除C 。

法二：显然0a ¹且()f x 为奇函数为奇函数
当0a >时，()f x 在R 上单调递增，所以()()f x a f x +>与已知矛盾。

与已知矛盾。

当0a <时，由()()||1||()f x a f x x x x a x a +<Þ-<++
因为11[,]22A -Ì，所以12x =-时，不等式成立，解得1502
a -<<
设()||1g x x x =-，显然()g x 单调递增，所以()()1g x g x a <++，如图，如图 解2
2
1()x x a -=+得2
12a x a +=-，解2
2
1()x x a --=-+得2
12a x a
-
=
所以2
2
0112211
22a a a a a
ì
ï<ï
+ï->íï-<ïî，解得15
02a -<< 9．12i + 由由101()(1)1(1)12
a a a i i a a i bi
a b b -==ìì++=-++=ÞÞíí+==îî，故12a bi i +=+ 1010．．15 15 因为因为136622166()(1)r r r r r r r T C x x C x ---+=-=-，令3602
r -=得4r =所以44
56(1)15T C =-=
11．23 因为C 的直角坐标系方程为22
(2)4x y -+=，所以(2,0)C ，因为(2,23)P ，所以
||23PC =。

1212．．12 因为因为1||||cos 60||2
AB AD AB AD AB ×=×°=
， 所以2111()()||1||224AC BE AB AD AB AD AB AB ×=+×-+=-++
因为1AC BE ×= ，所以2111||||0||242AB AB AB -+=Þ=。

法二：以A 为原点建立坐标系，如图：
为原点建立坐标系，如图：
因为1,60AD BAD =Ð=°，所以13(,)22D .设(,0)B a ，则13(,)22C a +，13
(,)222a E + 所以213131(,)(,)12222224
a a AC BE a a ×=+×-=-++ 因为1AC BE ×= 所以21
1124a a -++=
解得1
2
a =
. 1313．． 83
由切割线定理得2
4AE EB ED EB =×Þ=，由AB BC ABC ACB ADB =ÞÐ=Ð=Ð
由弦切角定理得EAB EDA Ð=Ð，故,//EAB ABC AE BC Ð=Ð，因为//AC BD ，故四边形AEBC 是
平行四边形。

因为BC BD AB ED =
，所以108,33
BF BC AB BF ==-=。

1414．． 2- 由由1
||
||||212||4||4||4||4||
a a
b a b a a a a b a b a b a b a a ++=Þ+=+=++³+
显然当0a <且2||b a =时，上式取得最小值
3
4
, ,所以所以2b a =-代入22a b a +=Þ=-, 所以2a =-时，
1||
2||a a b
+
取得最小值34。

1515．本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等．本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识基础知识..考查基本运算能力考查基本运算能力. . (Ⅰ)解：()2sin 2cos 2cos2sin 3sin 2cos244f x x x x x p p =--+-=2sin 22cos222sin(2)4
x x x p
-=-
所以f(x)f(x)的最小正周期的最小正周期2
2
T p
p ==;
(Ⅱ)解：因为()f x 在区间3[0,]8p 上是增函数，在区间3[,]82
p p 上是减函数上是减函数. .
又(0)2f =- ，3
()228f p = ，()22
f p = ， 故函数()f x 在区间[0,]2
p 上的最大值为22，最小值为2-.
1616．本题主要考查古典概型及其概率．本题主要考查古典概型及其概率2公式，互斥事件、离散型公式，互斥事件、离散型 的分布列与数学期望等基础知识的分布列与数学期望等基础知识..考查运用概率知识解决实际问题的能力用概率知识解决实际问题的能力. .
(Ⅰ)解：设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则，则
1322
25254
76()7
C C C C P A C +==,所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6
7. (Ⅱ)解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.
334
71(1)35
C P X C ==
=
；344
74(2)35
C P X C ==
=
；354
72(3)7
C P X C ==
=
；364
7
4(4)7
C P X C ==
=
12341424353577X
P
本题主要考查空间两条直线的位置关系，二面角、27142
´ 2121
则sin |cos ,|AM AB q = = ||||||AM AB AM AB ××
2222
2(1)2
321l l l l l l l ==+++´++ 于是
2
26
321l
l l =++，解得13l =，所以AM= 2.
(解法二解法二) )
（Ⅰ）证明：因为侧棱1CC ⊥底面1111A B C D ，11B C Ì平面1111A B C D .所以111CC B C ^.经计算可得
15B E =，112B C =，13EC =，从而222
1111B E B C EC =+.所以在△11B EC 中，111B C C E ^，又1CC ，
1C E Ì平面1CC E ，111CC C E C = ，所以11B C ⊥平面1CC E ，又CE Ì平面1CC E ，故11B C CE ^.
（Ⅱ）解：过1B 作1B G ⊥CE 于点G ，连接1C G .由（Ⅰ），11B C CE ^垂直，故CE ⊥平面11B C G ，得
1CE C G ^，所以∠11B GC 为二面角B 1－CE －C 1的平面角的平面角..在△1CC E 中，由13CE C E ==，12CC =，
可得1263
C G =
.在Rt Rt△△11B C G 中，1423
B G =
，所以1121sin 7
B G
C Ð=
，即二面角B 1－CE －C 1的正
弦值为
21
7
. 1818．本题主要考查椭圆的标准方程和．本题主要考查椭圆的标准方程和．本题主要考查椭圆的标准方程和 几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识..考查用代数方法研究圆锥曲线的性质究圆锥曲线的性质..考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. . (Ⅰ)解：设(,0)F c -，由
3
3
c a
=
，知3a c =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x c =-，代入椭圆方程有
222
2()1c y a b -+=，解得63b y =±，于是2643
33
b =，解得2b =，又222
a c
b -=，从而3a =，1
c =，所以椭圆的方程为
2
213
2x y +=.
（Ⅱ）解：设点11(,)C x y ，22(,)D x y ，由(1,0)F -得直线CD 的方程为(1)y k x =+，
由方程组22(1)
132
y k x x y =+ìï
í+=ïî消去y ，整理得2222(23)6360k x k x k +++-=. 
求解可得2
122
623k x x k
+=-
+，
22
36
23k k -+.因为(3,0)A -，(3,0)B ，
所以11222211(3,)(3,)(3,)(3,)AC DB AD CB x y x y x y x y ×+×=+×--++×--
2
12121212622622(1)(1)x x y y x x k x x =--=--++
2
2
2
12126(22)2()2k x x k x x k =-+-+-22
212
623k k ++
+. 
2±5)1)22
n n --，32
=
，故11325
236S S -£-=-=. 的增大而增大，所以
34=11347
4312
S S -³-=-=-.
715-
£-
£
.
1
x
-，则()4单调递增，34£()
232
£.1
e
=
. 111(0,)
(,)()0
()
x e e e f x f x +¥¢-+
极小值
(0,
)e
(
,e
（Ⅱ）证明：当01x <£时，()0f x £
设0t >，令()()h x f x t =-，[1,)x Î+¥.由(Ⅰ)知，()h x 在区间(1,)+¥内单调递增内单调递增.. (1)0h t =-<，22()ln (1)0t t t t
h e e e t t e =-=->.故存在唯一的(1,)s Î+¥，使得()t f s =成立成立. .
(Ⅲ)证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知，()t f s =，且1s >，从而，从而 2ln ()
ln ln ln ln ln ()ln(ln )3ln ln ln 2ln g t s s s u t f s s s s s u u ====++，
其中ln u s =.要使2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2
u u <<. 当2t e >时，若()s g t e =£，则由()f s 的单调性，有2()()t f s f e e =£=，矛盾，矛盾. . 所以s e >，即1u >，从而ln 0u >成立成立. .
另一方面，令()ln ,12
u F u u u =->.11()2F u u ¢=-,令()0F u ¢=，得2u =. 当12u <<时，()0F u ¢>；当2u >时，()0F u ¢<.故对1u >，()(2)0F u F £<.因此ln 2u
u <
成立成立. . 综上，当2
t e >时，有2ln ()15ln 2g t t <<.。