经典初中数学三角形专题训练及例题解析

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边

例6．如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．

（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠=∠= 1/2∠；

（2）因为AM是△ABC的中线，所以= = ；

（3）因为AH是△ABC的高，所以∠=∠=90°．

分析：（1）根据三角形角平分线的定义知：角平分线平分该角；

（2）根据三角形的中线的定义知：中线平分该中线所在的线段；

（3）根据三角形的高的定义知，高与高所在的直线垂直．

解答：解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC；

（2）∵AM是△ABC的中线，

∴BM=CM=1/2BC；

（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC，

∴∠AHB=∠AHC=90°；

故答案是：（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．例8．如图，AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，且PB=3cm，AC=8cm，

则△APC的面积是cm2．

解：∵AP平分∠BAC交BC于点P，∠ABC=90°，PB=3cm，∴点P到AC的距离等于3，

∵AC=8cm，∴△APC的面积=8×3÷2=12cm2．

∴△DAB为等腰直角三角形。

又∵MD＝MB，

∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB，∠MAD＝∠M AB＝45º。

∴∠MDE＝∠MAC＝105º，∠DMA＝90º。

∴△MDE≌△MAC。

∴∠DME＝∠AMC，ME＝MC。

又∠DME＋∠EMA＝90º，

∴∠AMC＋∠EMA＝90º。

∴MC⊥EM。

∴△EMC是等腰直角三角形。

说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键，那么构造全等又如何进行的呢？对条件的充分认识和对知识点的联想可以找到添加辅助线的途径。构造过程中要不断地转化问题或转化思维的角度。会转化，善于转化，更能体现思维的灵活性。在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点。

例11.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB 于E．求证∠CDA＝∠EDB．

提示：

作CF⊥AB于F，则∠ACF＝45°，

在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AD，

于是，由∠ACG＝∠B＝45°，AB＝AC，且易证∠1＝∠2，

由此得△AGC≌△CEB（ASA）．

再由CD＝DB，CG＝BE，∠GCD＝∠B，又可得△CGD≌△BED（SAS），

则可证∠CDA＝∠EDB．

1

2

A B

F

C

D

E