广东省揭阳市普宁二中2015-2016学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷
（理科）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）
2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）
A．﹣2 B．1 C．D．2
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）
A．15 B．10 C．9 D．7
4．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）
A．B．C．D．
6．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）
A．B．2 C．2D．3
7．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
A．60种B．72种C．84种D．120种
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，
B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）
A．B．2C．4 D．4
9．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）
A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）
10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）
A．B．C．D．
11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）
A．8204 B．4102 C．2048 D．1024
12．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x，
②f（x）=x2+1，
③f（x）=sinx+cosx，
④f（x）=，
⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍约束函数”的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．
13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于．
14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=．
15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=．
16．已知F 1、F 2分别是椭圆C ：
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，
线段PF 1的中点在y 轴上，若2∠PF 1F 2=∠F 1PF 2，那么椭圆的离心率为 ．
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知
．
（1）求f （x ）的周期及其图象的对称中心；
（2）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （B ）的值．
18．已知函数f （x ）=（x 2﹣x +1）•e x +2，x ∈R （1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．
19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证：
+
+
+…+
＜．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．
（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明：AE ⊥平面PCD ；
（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．
21．设F 1、F 2分别为椭圆Γ：
=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M
（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A 是椭圆的右顶点，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ） 求椭圆的标准方程；
（Ⅱ） O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．
22．已知函数
．
（I ）当a=1时，求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值； （Ⅱ）若f （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；
（Ⅲ）求证：（n∈N*）．
2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合A中函数的定义域，确定出集合A，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的函数y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，
∴A=（1，+∞）
由集合B中的不等式x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，
∴B=（﹣∞，0）∪（3，+∞），
∴C R B=[0，3]，
则A∩（C R B）=（1，3]．
故选B
2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）
A．﹣2 B．1 C．D．2
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，然后由是纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．
【解答】解：==，
又是纯虚数，
则，
解得a=﹣2．
故选：A．
3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）
A．15 B．10 C．9 D．7
【考点】系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．
【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人
可将960人分为32组，每组30个人
由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，
故编号为[1，750]中共有750÷30=25组
即做问卷C的有32﹣25=7组
故做问卷C的人数为7人
故选D
4．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量垂直的关系转化为向量数量积为0，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，
∴（﹣2）•=0，（﹣2）•=0，
即2﹣2•=0，2﹣2•=0，
即2=2•，2=2•，
则||=|=，
则cos＜，＞==，
即＜，＞=60°，
故选：B
5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出的M值．
【解答】解：执行程序框图，可得
a=1，b=2，k=4，n=1；
满足n≤k，M=1+=，a=2，b=，n=2；
满足n≤k，M=2+=，a=，b=，n=3；
满足n ≤k ，M=+=，a=，b=，n=4；
满足n ≤k ，M=+
=
，a=
，b=
，n=5；
不满足n ≤k ，退出循环，输出M=．
故选：C ．
6．若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积
是（ ）
A ．
B ．2
C ．2
D ．3 【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的平面区域为△ABC ． 其中A （2，3），C （1，0），B （0，1），
则△ABC 的面积S=S 梯形OBAD ﹣S △OBC ﹣S △ACD =
﹣
=4﹣
=2，
故选：B ．
7．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．60种 B ．72种 C ．84种 D ．120种 【考点】计数原理的应用． 【分析】第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，故有A 22A 44=48种，
第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，故有A31A22A33=36种，
∴故编排方案共有48+36=84种，
故选C．
8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，
B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）
A．B．2C．4 D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，进行求解即可求得结论．
【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（λ＞0），①
∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．
∴抛物线的准线方程为x=﹣4．
设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），
则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．
将x=﹣4，y=2代入①，得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=8
∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=8，即
∴a=，C的实轴长为2a=4．
故选：D
9．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）
A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由sin（+φ）=1，求得φ的值，可得f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性求得f（x）的一个单调递减区间．
【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，∴sin（
+φ）=1，∴φ=﹣，
f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
再令k=0，可得f（x）的一个单调递减区间为（，），
故选：A．
10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．
【解答】解：本题是几何概型问题，
区域E的面积为：
S1=，
∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，
则质点落在区域M内的概率是=．
故选C．
11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）
A．8204 B．4102 C．2048 D．1024
【考点】函数的值．
【分析】易知当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，从而可得[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，即有2n个n，从而求和．
【解答】解：由题意知，
当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，
即[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，
故有2n个n，
故[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]
=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7×256×8+512×9+10
=8204，
故选：A．
12．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：
①f（x）=2x，
②f（x）=x2+1，
③f（x）=sinx+cosx，
④f（x）=，
⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍约束函数”的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．
【分析】本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，
易知存在K=2符合题意；②由基本不等式，易得≥2恒成立；③令x=0时即可得
出结论对；④中求出的值域，可得结论；⑤通过取x2=0，如此可得到正确结论．【解答】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立
∴对任意x∈R，存在正数K，都有M≥成立
∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；
对于②，==|x|+≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；
对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；
对于④，=≤恒成立，故④正确；
对于⑤，当x1=x，x2=0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；
故是“倍约束函数”的函数有3个
故选C．
二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．
13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于240．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再求常数项即可．
【解答】解：（3x2﹣）5二项展开式的通项公式为：
=•（3x2）5﹣r•=•35﹣r•（﹣2）r•，
T r
+1
令10﹣r=0，解得r=4，
故展开式中的常数项为：
•35﹣4•（﹣2）4=240．
故答案为：240．
14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=16．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体为四棱锥，画出其直观图，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．
【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：
四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S=（2+4）×4=12，
∴几何体的体积V=×12×4=16．
故答案为：16．
15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=﹣．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．
【分析】由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又cos2α=﹣＜0确定出2α
在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．【解答】解：∵α为第三象限的角，
∴2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
又cos2α=﹣＜0，
所以2α∈（+2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
∴sin2α=﹣=﹣，tan2α==，
∴tan（2α﹣）===﹣．
故答案为：﹣．
16．已知F1、F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，
线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2=∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线定理可知PF2⊥x轴，又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，再求解直角三角形可得椭圆的离心率．
【解答】解：如图，
设线段PF1的中点为M，则OM∥PF2，
∴PF2⊥x轴，
又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，
∴sin30°=，得．
故答案为：．
三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知．
（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；
（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f （B）的值．
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．
【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（+）
+1，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心．
（2）△ABC中，由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，故有cosB=，由此求得B 的值．
【解答】解：（1）∵已知=sin+cos+1=sin（
+）+1，
故f（x）的周期为=4π．
由sin（+）=0 求得+=kπ，k∈z，即x=2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为
（2kπ﹣，0）．
（2）△ABC中，∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．
∴f（B）=sin（+）+1=+1．
18．已知函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．
【分析】（1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出g（x）的解析式，求得导数，单调区间，可得极值，由题意可得两极值同号，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2的导数为
f′（x）=（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）•e x=（x2+x）•e x，
即有在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，
切点为（1，e+2），
可得切线的方程为y﹣（e+2）=2e（x﹣1），
即为2ex﹣y﹣e+2=0；
（2）函数g（x）=f（x）﹣k=（x2﹣x+1）•e x+2﹣k，
导数g′（x）=（x2+x）•e x，
由g′（x）=0，可得x=﹣1或x=0，
当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．
即有g （x ）在x=﹣1处取得极大值g （﹣1）=+2﹣k ， x=0处取得极小值g （0）=3﹣k ，
由函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，
可得g （﹣1）g （0）＞0，即（+2﹣k ）（3﹣k ）＞0， 解得k ＜3或k ＞2+，
即有实数k 的取值范围为（﹣∞，3）∪（2+，+∞）．
19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证： +
+
+…+
＜．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由，a n ，S n 成等差数列，可得2a n =
，当n=1时，2a 1=
，解得
a 1．当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，化为：a n =2a ．利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）b n =•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n ﹣2），可得
=
=
．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．
【解答】（1）解：∵，a n ，S n 成等差数列，∴2a n =，
当n=1时，2a 1=
，解得a 1=．
当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=﹣
=a n ，化为：a n =2a ．
∴数列{a n }是等比数列，首项为，公比为2．∴a n ==2n ﹣2．
（2）证明：b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4）=•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n
﹣2），
∴==
．
∴+
+
+…+
=+…+
=
＜．
20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．
（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；
（2）证明：AE⊥平面PCD；
（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB 与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．
（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME 是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．
【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，
在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，
∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，
由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，
又PC∩CD=C，
综上，AE⊥平面PCD．
（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，
∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
由已知得∠CAD=30°，
设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，
∴AM==，
在Rt△AEM中，sin∠AME=．
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．
21．设F1、F2分别为椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M
（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、
F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得2a=4，即a=2，又点在椭圆上，
将点M（1，）代入椭圆方程可知，
解得：b2=3，
∴椭圆Γ的标准方程为；…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y=k（x﹣2），
，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，
由韦达定理可知：2+x E=，可得x E=，
y E=k（x E﹣2）=，
由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，
可得x F=，y F=，
由2=+，可得P为EF的中点，
即有P（，），
则直线AP的斜率为t==，
当k=0时，t=0；
当k≠0时，t=，
再令s=，可得t=，
当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，
当且仅当4s=时，取得最大值；
当s＜0时，t=≥﹣，
综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．
22．已知函数．
（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：（n∈N*）．
【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递
减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分
a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；
（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函
数，令，有，从而，问题可解决；
（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，
成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，
即可（需用好归纳假设）．
【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．
∵，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；
（Ⅱ）∵，
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．
因为x1x2=1＞0，
所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．
，解得．
综合①②③知：．
（Ⅲ）
（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．
令，则有，
∴．
∵，
∴．
（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．
∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．
设当n=k时，命题成立，即．
∴n=k+1时，．
根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．
令，则有，
则有，即n=k+1时命题也成立．
因此，由数学归纳法可知不等式成立．
2017年1月4日。