最新精编2019年高中数学单元测试卷-函数综合问题专题完整考试题(含答案)

2019年高一年级数学单元测试卷
函数综合问题
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．设函
数()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若存在[0,1]b ∈使(())f f b b =成立,则a 的取值范围是
（ ）
A ．[1,]e
B ．[1,1]e +
C ．[,1]e e +
D ．[0,1]（2013年高考四川卷（文））
2．若0x 是方程1
31()2x
x =的解，则0x 属于区间 【答】（C ） (A)(2
3,1) (B)(1
2,2
3) (C)(1
3,1
2) (D)(0,1
3)
二、填空题
3．函数的定义域为 ；
4．
1．函数x y -=11
与函数x y πsin 2= ]4,2[-∈x 的图象的所有交点的横坐标之和=
5．已知函数)(x f 满足：当x x f x )21
()(,4=≥，当)1()(,4+=<x f x f x ，则
)3log 2(2+f =
6．将3log 2，23
4-，3log 5.0用“＜”从小到大排列
7．已知函数()19,f x ax =+且(3)7,f =若()15,f t =则t = .
8．若函数1(),10()44,01x x x f x x ⎧
-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩则=)21
(
f
9．若函数()2s i n ()f x x m ωϕ=++，对任意实数t ，都有()()88f t f t ππ+=-，且()3
8f π
=-， 则实数m 的值等于 ▲ ．
10．已知函数324()3
f x x ax a =+-
，若使得'()0f x =的x 的值也使得()0f x =，则a 的值为__________
11．
2log 0x +=的根的个数为 ▲ .
12．如果关于x 的方程2
13ax x +
=在区间(0,)+∞上有且仅有一个解，那么实数a 的取值范围为 ▲ ．
关键字：解的个数；数形结合
13．若函数2,0()2,0
x x x f x x -⎧<⎪=⎨->⎪⎩，则函数(())y f f x =的值域是_________
14．已知函数2220()20x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，，，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是 ．
15．对,a b R ∈，记{}()min ,()
a a
b a b b a b <⎧=⎨≥⎩，按如下方式定义函数()f x ：对于每个实数
x ，{}82,6,m in )(2+-=x x x x f .则函数()f x 最大值为 ．
三、解答题
16．（本小题满分16分）
设函数),10()(R k a a a ka x f x x ∈≠>-=-且， )(x f 是定义域为R 的奇函数． （Ⅰ）求k 的值，判断并证明．．
当1>a 时，函数)(x f 在R 上的单调性； （Ⅱ）已知2
3)1(=f ，函数]1,1[),(2)(22-∈-+=-x x f a a x g x x ，求)(x g 的值域；
（Ⅲ）已知3=a ，若)()3(x f x f ⋅≥λ对于]2,1[∈x 时恒成立.请求出最大的整数．．．．．λ．
17．已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈．
（1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；
（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．（本题满分16分）
18．(本小题满分14分)
本公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
19．(本小题满分16分)
将一块直角三角板ABO （o 45角）置于直角坐标系中，已知
OB AB OB AB ⊥==,1， 点)4
1,21(P 是三角板内一点，现因三角板中部分（POB ∆）受损坏，要把损坏的部分锯掉，可
用经过P 的任意一直线MN （M 、N 可分别与O 、B 重合）将其锯成AMN ∆．
(1) 求直线MN 的斜率的取值范围； (2) 若P 点满足13
MP PN =，这样的直线MN 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线MN 的方程；
(3) 如何确定直线MN 的斜率，才能使锯成的AMN ∆的面积最大和最小，并求出最值？
20．已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++
（Ⅰ）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围.
21．已知函数2(),,21
x f x a x R a R =-∈∈+ （1）用函数的单调性的定义证明：不论a 取何值，()f x 在R 上总是增函数
（2）确定a 的值，使()f x 是奇函数
（3）是否存在a ，使得()f x 是偶函数。

若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由
22．定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：
①存在常数a ）
（10<<a ，使得1)(=a f ； ②对任意实数m ，当0x >时，恒有()()m f x mf x =．
（1）求证：对于任意正实数x y 、，()()()f xy f x f y =+；
（2）证明：()f x 在(0)+∞，上是单调减函数；
（3）若不等式()()()
28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，求实数a 的取值范围．
23．已知函数()()()()32111ln ,,,0g x x f x mx nx m n R m n m x ⎛⎫=+
+=+∈>≠ ⎪⎝⎭函数且 （1）设()()()2'0,G x x g x x =⋅>试判断()G x 在区间()0,+∞上的单调性；
（2）已知函数()()()2,2f x f x 的图像在处的切线与轴平行，若该函数在区间[],n m 上有最大值为2
,m n -试求m 的值。

24．已知常数0>a ，函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥+=,2,4
49,2,3243a x x a a x x a x x f
（1）求()x f 的单调递增区间；
（2）若20≤<a ，求()x f 在区间[]2,1上的最小值()a g ；
（3）是否存在常数t ，使对于任意⎪⎭⎫ ⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈222,2
a t a t a x 时， ()()()()()[]()t f x t f x f t f
x t f x f -+≥+-222恒成立，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由。

⑴当2a x <时，249()4
f x a x =为增函数. …………………………………（1分） 当2
a x ≥时，()f x '=23x 423a x -.令()f x '0>，得x a x a ><-或.…………（3分） ∴()f x 的增区间为(,)a -∞-，(,)22a a -
和(,)a +∞.……………………………（4分）
⑵由右图可知，
①当12a <<时，12
a a <<，()f x 在区间[]1,a 上递减，在[],2a 上递增，最小值为3()4f a a =；………（6分）
②当01a <≤时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值为
4(1)13f a =+；……………………………（8分）
③当2a =时，()f x 在区间[]1,2为增函数，最小值
3()4f a a =； ………………（9分）
综上，()f x 最小值
431301()412a a g a a
a ⎧+<≤=⎨<≤⎩. ………………………………（10分） ⑶由()[]2()(2)()(2)()f x f t x f t f x f t x f t -+≥+-，
可得[][]()()()(2)0f t f x f t f t x ---≥， ………………………………（12分） 即()()()(2)f t f x f t f t x ≤⎧⎨≤-⎩或()()()(2)f t f x f t f t x ≥⎧⎨≥-⎩
成立，所以t 为极小值点，或t 为极大值点.
又,22
2a a x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时()f x 没有极大值，所以t 为极小值点，即t a =……………（16分） （若只给出t a =，不说明理由，得1分）
25．已知函数2(),(),f x ax g x a b R =-=∈。

（1）当0b =时，若()f x 在(,2]-∞上单调递减，求a 的取值范围；
（2）求满足下列条件的所有整数对(,)a b ：存在0x ，使得0()f x 是()f x 的最大值，0()g x 是()g x 的最小值；
（3）对满足（2）中的条件的整数对(,)a b ，试构造一个定义在{|2,}D x x R x k k Z =∈≠∈且上的函数():h x 使(2)()h x h x +=，且当(2,0)x ∈-时，()()h x f x =。

26．设函数x x a
a x f 2)(+=（其中常数a >0，且a ≠1）． （Ⅰ）当10=a 时，解关于x 的方程m x f =)(（其中常数22>m ）；
（Ⅱ）若函数)(x f 在]2,(-∞上的最小值是一个与a 无关的常数，求实数a 的取值范围． 关键字：含绝对值；解方程；求最值；分类讨论
27．已知x
x x f -+=11ln )(． （1）求f (x )的定义域；
（2）判断f (x )的奇偶性；
（3）求使f (x )>0的x 的取值范围．（本题满分16分）
28．计算下列各式
（1）()()2320215.18336.9412--+⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭
⎫
⎝⎛；(2) ()0
log 273
8.974lg 25lg log 27-++++. 29．设函数()y f x =定义在R 上，对任意实数m 、n ，恒有()()()f m n f m f n +=且当
0,0()1
><<
x f x
(1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
(2）求证：f（x）在R上递减；
(3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范围.
关键字：抽象函数；证明单调性；解不等式；求交集；求参数的取值范围
30．已知函数f(x)＝1＋x＋1－x．
(1）求函数f(x)的值域；
(2）设F(x)＝m1－x2＋f(x)，记F(x)的最大值为g(m)，求g(m)的表达式．。