新高考数学一轮复习教师用书：第10章 8 第8讲 离散型随机变量的均值与方差

第8讲 离散型随机变量的均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

(1)均值：称E(X)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)D(X)＝∑n

i ＝1

(x i －E(X))2

p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差．

2．均值与方差的性质

（1）E （aX ＋b ）＝aE （X ）＋b

（2）D （aX ＋b ）＝a 2

D （X ）

(a,b 为常数)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差

X X 服从两点分布 X ～B(n,p)

E(X) p(p 为成功概率)

np D(X)

p(1－p)

np(1－p)

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)随机变量的均值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定．( )

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量的平均程度越小．( )

(3)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× [教材衍化]

1．(选修2­3P68A 组T1改编)已知X 的分布列为

X －1 0 1 P

12

13

16

解析：E(X)＝－12＋16＝－1

3

,

E(Y)＝E(2X ＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝7

3.

答案：7

3

2．(选修2­3P68A 组T5改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为：

解析：E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9, 因为E(Y)<E(X)． 所以乙技术好． 答案：乙 [易错纠偏]

(1)期望、方差的性质不熟导致错误； (2)二项分布的数学期望公式用法不当．

1．已知两个随机变量X,Y 满足X ＋2Y ＝4,且X ～N(1,22

),则E(Y),D(Y)依次是________．

解析：由X ～N(1,22

)得E(X)＝1,D(X)＝4.又X ＋2Y ＝4,所以Y ＝2－X 2,所以E(Y)＝2－12E(X)＝32,D(Y)

＝1

4

D(X)＝1. 答案：32

,1

2．在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为2

3,且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y,则Y 的数学期

望为________．

解析：由题意知Y 的可能取值为0,1,2,3,且Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,则E(Y)＝3×23＝2. 答案：2

离散型随机变量的均值、方差的求解(高频考点)

离散型随机变量的均值、方差的求解,比较大小,求实际问题中的均值、方差是浙江新高考的热点．主要命题角度有：

(1)直接求均值、方差；

(2)两个随机变量的均值、方差大小比较； (3)实际问题中的均值、方差的求解． 角度一 直接求均值、方差

(1)(2019·高考浙江卷)设0<a<1,随机变量X 的分布列是 X 0 a 1 P

1

3

13

13

则当a 在(0,1)内增大时,( ) A ．D(X)增大 B ．D(X)减小 C ．D(X)先增大后减小 D ．D(X)先减小后增大

(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝1

5

,E (ξ)＝1,则D(ξ)＝____________．

【解析】 (1)由题意可得,E(X)＝13(a ＋1),所以D(X)＝（a ＋1）2

27＋（1－2a ）2

27＋（a －2）

2

27

＝

6a 2

－6a ＋627＝29⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34,所以当a 在(0,1)内增大时,D(X)先减小后增大．故选D. (2)设P(ξ＝1)＝a,P (ξ＝2)＝b, 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3

5，b ＝15

，

所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝2

5.

【答案】 (1)D (2)2

5

角度二 两个随机变量的均值、方差大小比较

已知随机变量ξi 满足P(ξi ＝1)＝p i ,P (ξi ＝0)＝1－p i ,i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜1

2

,则( )

A ．E(ξ1)＜E(ξ2),D (ξ1)＜D(ξ2)

B ．E(ξ1)＜E(ξ2),D (ξ1)＞D(ξ2)

C ．E(ξ1)＞E(ξ2),D(ξ1)＜D(ξ2)

D ．E(ξ1)＞E(ξ2),D (ξ1)＞D(ξ2)

【解析】 根据题意得,E (ξi )＝p i ,D (ξi )＝p i (1－p i ),i ＝1,2,因为0<p 1<p 2<1

2

,所以E(ξ1)<E(ξ2)．令

f(x)＝x(1－x),则f(x)在⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12上单调递增,所以f(p 1)<f(p 2),即D(ξ1)<D(ξ2),故选A. 【答案】 A

角度三 实际问题中的均值、方差的求解

(2020·台州市书生中学高三质检)公园游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、

2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色之外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱)．

(1)求在1次游戏中,①摸出3个白球的概率,②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E(X)．

【解】 (1)①设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件A i (i ＝0,1,2,3),则P(A 3)＝C 2

3C 25·C 1

2C 23＝15.

②设“在1次游戏中获奖”为事件B,则B ＝A 2∪A 3. 又P(A 2)＝C 2

3C 25·C 2

2C 23＋C 13C 1

2C 25·C 1

2C 23＝1

2,且A 2,A 3互斥,

所以P(B)＝P(A 2)＋P(A 3)＝12＋15＝7

10.

(2)由题意可知X 的所有可能取值为0,1,2, P(X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－7102

＝9100； P(X ＝1)＝C 12710⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＝2150；

P(X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7102＝49100.

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

9100

2150

49100

所以E(X)＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝7

5

.