(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(有答案解析)(3)

一、选择题
1．给出以下命题： （1）若()0h
a
f x dx >⎰
，则()0f x >；
（2）
20
|sin |4x dx π
=⎰
；
（3）()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则：
()()a
a T
T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
其中正确命题的个数为（ ）． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知函数sin (11)
()1(12)x x f x x x
-≤≤⎧⎪
=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2
B ．ln 2-
C ．1
2
-
D ．3cos 1-
3．三棱锥D ABC -及其正视图和侧视图如图所示，且顶点,,,A B C D 均在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．32π
B ．36π
C ．128π
D ．144π
4．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02
x π
≤≤
时，
()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）
A ．48π-
B ．24π-
C ．2π-
D ．36π-
5．设若2
0lg ,
0()3,0a
x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-2
6．
3
20
4x dx -=⎰
（ ）
A ．
213 B ．223 C ．233 D ．25
3
7．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为3
230
S x dx =⎰
，则公比q 的值是（ ）
A ．1
B ．12
-
C ．1或12
-
D ．1-或12
-
8．()(
)
12
20
11d x x x ---⎰的值是（ ）
A ．
π143- B ．
π14
- C ．
π123
- D ．
π12
- 9．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2
y x
=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3
B ．32ln 2+
C ．223e -
D ．e
10．已知函数2
0()cos 0
x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．已知3
20
n x dx =
⎰
，且21001210(2)(23)n x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则
12310
01210
2310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．
823
B ．
845
C ．965
-
D ．
877
12．计算
()1
2
2x x dx -⎰的结果为（ ）
A ．0
B ．1
C ．
23
D ．
53
二、填空题
13．
()
2
22
sin 4x x dx -+
-=⎰
______.
14．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________．
15．计算：23lim 123n n n
n
→+∞-=++++________
16．如图所示，则阴影部分的面积是 .
17．
2
222
(sin 4)x x x dx -+-⎰
=______．
18．曲线2y
x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.
19．定积分2
sin cos t tdt π
=⎰
________．
20．曲线2y
x 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.
三、解答题
21．已知函数f （x ）=x 3+32
x 2
+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣
23x 3﹣34
x 2
+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212
()()
1g x g x x x ->-恒成
立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．
22．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()1
12x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭
.
（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；
（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在
()1,5x ∈上有唯一解.
23．已知函数()ln f x x a x =-， ()R a ∈. （1）讨论函数()f x 在定义域内的极值点的个数； （2）设()1
a g x x
+=-
，若不等式()()f x g x >对任意[]1,e x ∈恒成立，求a 的取值范围. 24．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为
274
.
（1）求()f x 的解析式；
（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[]
,m m -上的最大值. 25．计算下列各式的值． （1） ()0
sin cos d x x x π
-⎰；
（2）
1
x ⎰
．
26．利用定积分的定义，计算2
21
(2)d x x x -+⎰
的值，并从几何意义上解释这个值表示什
么．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
(1)根据微积分基本定理,得出
()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,可以看到与()f x 正负无关.
(2)注意到sin x 在[]0,2π的取值符号不同,根据微积分基本运算性质,化为
220
|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx π
ππ
π
=+⎰
⎰⎰求解判断即可.
(3)根据微积分基本定理,两边分别求解,再结合()()F a T F a +=,()()0F T F =判定. 【详解】 (1)由()()()0h
a
f x dx F h F a =->⎰
,得()()F h F a >,未必()0f x >.(1)错误.
(2)
()2220
0|sin ||sin ||sin |sin sin x dx x dx x dx xdx x dx π
π
π
ππ
ππ
=+=+-⎰
⎰⎰⎰⎰
()()20cos |cos |11114x x ππ
π=-+=--+--=,(2)正确.
(3)()()0()0a
f x dx F a F =-⎰,()()()()()0a T
T
f x dx F a T F T F a F +=+-=-⎰；
故
()()a
a T T
f x dx f x dx +=⎰
⎰
；(3)正确.
所以正确命题的个数为2, 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了命题真假的判定与定积分的计算,属于中档题.
2．A
解析：A
【分析】
将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】
()2
1
2
12
11
111
1sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】
本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.
3．A
解析：A 【解析】
由三视图可得：DC ⊥平面ABC 且底面ABC 为正三角形，
如图所示，
取AC 中点F ，连BF ，则BF AC ⊥，在Rt BCF 中，2BF =，2CF =，4BC =， 在Rt BCD 中，4CD =，所以42BD =，设球心到平面ABC 的距离为d ，因为
DC ⊥平面ABC ，且底面ABC 为正三角形，所以2d =，因为ABC 的外接圆的半
径为2，所以由勾股定理可得22228R d =+=，则该三棱锥外接球的半径22R =，所以三棱锥外接球的表面积是2432R ππ=，故选A ．
点睛：本题考查几何体的三视图，线面垂直的定义，以及几何体外接球问题，由三视图正确还原几何体、以及判断几何体位置关系是解题关键；由三视图画出几何体的直观图，由三视图判断出DC ⊥平面ABC 、求出ABC 的外接圆的半径，列出方程求出三棱锥外接球的半径，由球的表面积公式求出答案.
4．A
解析：A
【解析】
由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函
数，画出函数()[]
,0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。

容易算得函数
(),0,2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
的图像与
x
轴所围成的面积是
()2
011122S cosx dx π
ππ
⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭⎰，故借助函数图像的对称性求得函数
()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-，应选答案A 。

点睛：解答本题的思路是充分依据题设条件与函数图像的对称性，借助定积分的计算公式先求得函数(),0,
2y f x x π⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
的图像与x 轴所围成的面积，再乘以8即可得到函数()[],2,2y f x x ππ=∈-的图像与x 轴所围成的面积是848S π=-。

整个求解过程中体
现了数学中等价转化与化归的数学思想的巧妙、灵活运用。

5．C
解析：C 【详解】
23300
3|a
a
t dt t a ==⎰
，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==
故选：C
6．C
解析：C
【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知
(
)()
3
2
3
2
2
20
02
8823
44489128333x dx x dx x dx ⎛⎫-=-+-=-+--+=
⎪⎝⎭⎰
⎰⎰．
考点：定积分的几何意义．
7．C
解析：C 【分析】
先由微积分基本定理得到327S =，再由等比数列的求和公式以及通项公式，即可求出结果. 【详解】
23312333
133|2727003
S x dx x a a a =⎰=⋅=∴++=，，
即333227a a a q q +
+=，解得1q =或1-2
q =． 【点睛】
本题主要考查定积分的就算，以及等比数列的公比，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式即可，属于常考题型.
8．A
解析：A 【详解】
因为定积分()()1
1
1
2
22
200011d 11)(x d x x x x dx x ⎛⎫⎛⎫---=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去
1
3
得到，即为1
43
-π
，选A. 9．A
解析：A 【解析】
如图所示，
曲边四边形OABC 的面积为11
121212ln 12(ln ln1)1232e
e
dx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.
故选A.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
10．C
解析：C 【分析】
由函数2
0()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨
<⎩
，根据定积分的运算性质，得1
01
2
2
()cos 2f x dx xdx dx π
π-
-=+⎰⎰⎰，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，函数2
0()cos 0
x f x x x ≥⎧=⎨
<⎩，
根据定积分的运算性质，可得
1
1
0100
2
2
2
()cos 2sin |2|123f x dx xdx dx x x π
ππ-
--=+=+=+=⎰⎰⎰，
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了定积分的计算，其中解答中熟记定积分的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
11．A
解析：A 【分析】
利用微积分基本定理，可计算得3
2
9n x dx ==⎰
，又
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
利用赋值法，令1x =，可得解 【详解】
由题意3
32
32
00
|3093x n x dx ===-=⎰ 令1x =有：9
01210(21)(23)3a a a a +++⋅⋅⋅+=+-=-
210998012101210()2...10(23)27(2)(23)a a x a x a x a a x a x x x x '+++⋅⋅⋅+=+++=--+-
令1x =有：9
8
12102...10(23)27(21)(23)82a a a +++=--+-=-
故1231001210231082
3
a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+
故选：A 【点睛】
本题考查了导数、定积分和二项式定理综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
12．C
解析：C 【分析】
求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案. 【详解】
1
22
312300
112(2)()|11333
x x dx x x -=-=-⨯=⎰， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.
二、填空题
13．【分析】根据定积分的四则运算和几何意义求定积分【详解】因为故答案为2π【点睛】本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分属于基础题 解析：2π
【分析】
根据定积分的四则运算和几何意义求定积分． 【详解】
因为
(
2
22
2
2
2
sin sin 022x dx xdx ππ---+
=+=+=⎰⎰⎰
故答案为2π． 【点睛】
本题考查了定积分的计算；利用定积分的几何意义分别求出两个被积函数的定积分，属于基础题.
14．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2
解析：2 【解析】
sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积
π
πsin d cos cos πcos020
S x x x
==-=-+=⎰，故答案为2.
15．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6
【解析】 【详解】
结合等差数列前n 项和公式有：()11232
n n n ++++
+=
，则：
()()2
2
6231362lim lim lim lim
61123111n n n n n n n n n n n n n n n
→+∞→+∞→+∞→+∞-
---====+++++++
. 16．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方
解析：32
3
【解析】
试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23
y x =-，解得交点分别为(3,6)--
和
(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(，设阴影部分的面积为S ，则
1
2
20(32)(3)S x x dx x dx =--+
-⎰
23
3
2)xdx x dx ---+-⎰532933
=
+-
． 考点：定积分在求面积中的应用．
【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方
程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
17．；【解析】而函数是奇函数它在和的积分值大小相等符号相反故而表示圆与轴围成的半圆的面积即
解析：2π； 【解析】
2
2
2
2
2
2
2
2
(sin x sinx dx x xdx ---=+⎰⎰ ，而函数2sin y x x =
是奇函数，它
在()2,0-和()0,2的积分值大小相等，符号相反，故2
2
2sin 0x xdx -=⎰
，而
2
-⎰
表示圆224x y += 与x 轴围成的半圆的面积，
2
22
1
222
ππ-∴
=⨯⨯=，
即2
2
2
(2x sinx dx π-==⎰
18．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形
解析：4
3
【解析】
由2 2y x y x
⎧=⎨
=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2 4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是
()
2
223200
14233S x x dx x x ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
19．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换 解析：
1
2
【解析】 试题分析：因为
，所以
2
sin cos t tdt π
=
⎰.
考点：定积分的计算.
【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中
恰好为
的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可
利用三角恒等变换来求，因为
，所以有
2
sin cos t tdt π
=
⎰2
2
000
111sin2sin22sin 244tdt td t udu π
π
π
===⎰⎰⎰ 011
cos |42
u π-=. 20．【解析】由解得或∴曲线及直线的交点为和因此曲线及直线所围成的封闭图形的面积是故答案为点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识属于基础题；用定积分求平面图形
解析：43
【解析】
由2 2y x y x
⎧=⎨
=⎩，解得0 0x y =⎧⎨=⎩或2
4x y =⎧⎨=⎩，∴曲线2y x =及直线2y x =的交点为()0,0O 和()2,4A 因此，曲线2y x =及直线2y x =所围成的封闭图形的面积是
()
2
223200
14233S x x dx x x ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故答案为43.
点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．
三、解答题
21．（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）
7
2
a ≤-
【解析】
试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m 值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x 1＜x 2，g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．再构造函数h （x ）=g （x ）﹣x ，转化为h （x ）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h （x ）导函数恒非负的条件，即得a 的取值范围 试题
解：（1）∵f （x ）=x 3+x 2+mx ，∴f′（x ）=3x 2+3x+m ，
∵f （x ）=x 3+x 2+mx 在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6． ∴f （x ）=x 3+x 2﹣6x ，则f′（x ）=3（x 2+x ﹣2）=3（x ﹣1）（x+2）．
∴当x ∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x ）＞0，当x ∈（﹣2，1）时，f′（x ）＜0， 则f （x ）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）； （2）g （x ）=f （x ）﹣x 3﹣x 2+x ﹣alnx
=x 3+
x 2﹣6x ﹣x 3﹣
x 2+x ﹣alnx=
﹣5x ﹣alnx ．
假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成
立，
不妨设0＜x 1＜x 2，只要g （x 1）﹣g （x 2）＜x 1﹣x 2， 即：g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．
令h （x ）=g （x ）﹣x ，只要 h （x ）在（0，+∞）为增函数即可．
又函数h （x ）=g （x ）﹣x=， 则h′（x ）=
=
．
要使h'（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x 3+3x 2﹣12x ﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a≤2x 3+3x 2﹣12x ．
令t （x ）=2x 3+3x 2﹣12x ，则t′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x+2）（x ﹣1）．
∴当x ∈（0，1）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，t （x ）单调递增， 则t （x ）min =t （1）=﹣7． ∴2a≤﹣7，得a ．
∴存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有
＞1恒
成立．
22．(1)()2,2A --；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：
(1)结合对数函数的性质可得函数()y f x =的图象恒过定点()2,2A --； (2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论. 试题
（1）解：∵当2x =-时，()22f -=-，说明()y f x =的图象恒过点()2,2A --.
（2）证明：∵()()1
12log 32x a F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭过()1,5--，∴2a =，
∴()()1
212log 32x F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，
∵()1
21log 3,2x y x y -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
分别为()3,-+∞上的增函数和减函数，
∴()F x 为()3,-+∞上的增函数， ∴()F x 在()3,-+∞上至多有一个零点，
又()()1,53,⊂-+∞，∴()F x 在()1,5上至多有一个零点， 而()11552301616
F =-+-
=>， ()0
112202F ⎛⎫
=-+-< ⎪⎝⎭
，
∴()0F x =在()1,5上有唯一解.
23．（1）见解析；（2）2e 12,e 1⎛⎫
+- ⎪-⎝
⎭.
【解析】试题分析：（1）求导，由导函数等于0及单调性确定极值点即可； （2）不等式()()f x g x >对任意[]
1,x e ∈恒成立，即函数()1a
h x x x
+=+
ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零,求导讨论函数单调性求最值即可.
试题
（1）()1a x a f x x x
'-=-
=（0x >）， 当0a ≤时， ()0f x '>在()0,+∞上恒成立，
函数()f x 在()0,+∞单调递增， ()f x ∴在()0,+∞上没有极值点. 当0a >时， ()0f x '<得0x a <<， ()0f x '>得x a >，
()f x ∴在()0,a 上递减，在(),a +∞上递增，即()f x 在x a =处有极小值，无极大值.
∴当0a ≤时， ()f x 在()0,+∞上没有极值点，
当0a >时， ()f x 在()0,+∞上有一个极值点. （2）设()()()h x f x g x =- 1ln a
x a x x
+=+
-（0x >）， ()211a a h x x x +'=-- ()2
21x ax a x --+= ()()2
11x x a x ⎡⎤+-+⎣⎦=， 不等式()()f x g x >对任意[]
1,e x ∈恒成立，即函数()1a
h x x x
+=+ ln a x -在[]1,e 上的最小值大于零.
①当1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]
1,e 上单调递减. 所以()h x 的最小值为()e h ，
由()1e e e a
h +=+ 0a ->可得2e 1e 1a +<-，
因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1e 1
a +-≤<-. ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]
1,e 上单调递增，
所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤. ③当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，可得()h x 最小值为()1h a +， 因为()0ln 11a <+<，所以()0ln 1a a a <+<， 故()12h a a +=+ ()ln 12a a -+>，
即0e 1a <<-.
综上所述， a 的取值范围是： 2e 12,e 1⎛⎫
+- ⎪-⎝⎭
.
点睛：已知函数不等式恒成立求参数常用的方法和思路：
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决； 24．（1）32()3f x x x =-；
（2）当03m <≤时,max ()(0)0f x f ==；当3m >时,32
max ()()3f x f m m m ==-.
【分析】
（1）第一步：根据图形分析出两个重要的信息，过原点，并且在原点处的导数等于0，第二步，计算出图形与轴的令一个交点，求出被积区间，利用定积分求面积的公式写出定积分，最后计算出；（2）根据（1）求出32()3f x x x =-，第一步：求函数的导数，第二步：求函数的极值点，和判断单调区间，第三步，根据区间，并极大值，并求
出，因为，
，所以分
或
两种情况进行讨论，得出最大值.
【详解】
（1）由(0)0f =得0c
，
2()32f x x ax b '=++.由(0)0f '=得0b =，
∴322()()f x x ax x x a =+=+，则易知图中所围成的区域（阴影）面积为
27
[()]4
a
f x dx --=
⎰从而得3a =-，∴32()3f x x x =-. （2）由（1）知2()363(2)f x x x x x '=-=-.,(),()x f x f x '的取值变化情况如下：
x (,0)-∞ 0
(0,2) 2 (2,)+∞
()f x ' +
-
0 +
()f x
单调 递增
极大值(0)0f =
单调 递减
极小值
(2)4f =-
单调 递增
又,①当03m <≤时,max ； ②当3m >时,3
2
max ()()3.f x f m m m ==- 综上可知：当03m <≤时,max ()(0)0f x f ==； 当3m >时,3
2max ()()3.f x f m m m ==- 25．（1） 2；（2） π 【分析】 （1）由题得
()00sin cos d (cos sin )|x x x x x π
π
-=--⎰，计算即得解；
（2）如图，先求出扇形ACB 的面积，再利用定积分的几何意义求解即可. 【详解】 （1）由题得
()00sin cos d (cos sin )|(cos sin )(cos0sin 0)x x x x x π
π
ππ-=--=-----⎰ =10102-++=；
（2）令222(32),(1)4(13,0)y x x x y x y =+-∴-+=≤≤≥，
因为
3
21
32d x x x +-⎰
等于1,3,x x x ==轴和曲线ADB 所围成的曲边梯形的面积，
如图扇形ACB ， 扇形ACB 的面积为21
2=4
ππ⨯⨯， 所以
3
21
32d x x x π+-=⎰
.
【点睛】
本题主要考查定积分的计算，考查圆的方程的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
26．由直线1x =，2x =，0y =与曲线2()2f x x x =-+所围成的曲边梯形的面积． 【分析】
利用定积分的定义在区间[]
1,2进行分割，后近似代替、作和，取极限，可得
()
2
2
1
2x
x dx -+⎰的值，与其表示的几何意义.
【详解】
解：令()2
2f x x x =-+．
（1）分割：在区间[]
1,2上等间隔地插入1n -个分点，将它等分成n 个小区间
()1,1,2,,n i n i i n n n +-+⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
其长度为11
n i n i x n n n
++-∆=
-=．
（2）近似代替、作和：取()11,2,,i i
i n n
ξ=+
=，
则2111(1)121n
n n i i i i i S f x n n n n
==⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+⋅∆=-+++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑∑
()()()(
)()22
2
3212122122n n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤=-
++++++++++
+⎣⎦⎣⎦
()()()()()32221411211212662n n n n n n n n n n n ⎡⎤++++++=-
-+⋅⎢⎥⎣⎦
1111111
2412336n n n n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
（3）取极限：
(
)
2
21
111111122lim lim 24123363n n n x x dx S n n n n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==-+++++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰．
()
2
2
1
223
x
x dx -+=⎰的几何意义：由直线1x =，2x =，0y =与曲线()2
2f x x x =-+所
围成的曲边梯形的面积． 【点睛】
本题主要考查利用定积分的定义求定积分,并求其几何意义，属于中档题型.。