离散数学期中考试题-参考试题(附答案)

《离散数学基础》期中考试题
北京交通大学
4.
下列谓词公式中（ A
）不正确。 B．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)； D．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B；
A．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B； C．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)； 5. 下列命题中正确的是（ B A．φ∪{φ}=φ； ） 。
-1
3.
设 R 是一个关系， 用R ①任取(x,y)∈ R∪R
-1 -1
-1
表示 R 的逆关系， s(R)表示 S 的对称闭包， 证明 s(R)=R∪R
-1 -1
-1
。
【证 明 】 ，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R ，若(x,y)∈ R，则有(y,x)∈R ，所
-1
以(y,x)∈ R∪R ；若(x,y)∈ R 称性； ②显然，R ⊆ R∪R
（ P∨（ Q∧R） ） ∧（ Q∨（ ¬P∧R） ） ⇔ （ P∧Q） ∨（ Q∧R） ∨（ P∧¬P∧R） ∨（ ¬P∧ Q ∧R） ⇔ （ P∧Q∧（ ¬R∨R） ） ∨（ （ ¬P∨P） ∧Q∧R） ∨（ ¬P∧ Q ∧R） ⇔ （ P∧Q∧¬R） ∨（ P∧Q∧R） ∨（ ¬P∧Q∧R） ∨（ P∧Q∧R） ∨（ ¬P∧ Q ∧R） ⇔ ⇔ m 6∨ m 7∨ m 3∨ m 7∨ m 3 m 3∨ m 6∨ m 7 （分配律）
1. 下列语句中不能成为命题的是（ D A．地球外的星球上也有人； C．11+1=100； 2. 下列谓词公式中（ C A．(∀x)P(x)； C．(∀x)(P(x)∨P(y))； 3. A．(∀x)(∀y)(x*y=y)； C．(∀x)(x*y=x)；
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） 。
B．小王是我的同学，也是我的好朋友； D．我正在说慌。
{Байду номын сангаас
}
8.
设 R 是集合 A 上的二元关系，R-1 是 R 的逆关系，则 R 的关系矩阵与 R-1 的关系矩阵具 有的关系是（ 互为转置矩阵 ） 。 和传递性，
9.
设 R 是集合 A 上的二元关系，如果关系 R 同时具有自反性、 反 对 称 性 则称 R 是 A 上的一个偏序关系。
二、选择一个正确答案的代号，填入括号中。 （共 20 分，每小题 2 分）
《离散数学基础》期中考试题
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《离散数学基础》期中考试题
（附参考答案）
学 期 ： 20XX－20XX 学年第 X 学期 学 生 班 级 ： XX 专业 XXXX-XXXX 班 考 试 时 间 ： 20XX.XX.XX XX:XX-XX:XX am 考试地点： 学号： 姓名： 班级： □必修 □选修
-1 -1 -1
⊆ IA
也即(a,b)∈R 且(b,a)∈R ，由 R 的反对称性，a=b，所以(a,b)=(a,a)∈ IA，从而得，R ∩R
-1
⊆ IA。
-1 -1 -1
反之，若 R∩R ⊆IA，设(a,b)∈R，(b,a)∈R，则有，(a,b)∈R 且(a,b)∈R ，也即(a,b)∈R ∩R ， 再由 R∩R ⊆ IA，得到(a,b)∈ IA，从而 a=b。
【解答】 （略）
4.
设已知集合 A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系 R={(1,1),(1,5),(2,2),(2,3),(2,6),(3,2),(3,3),(3,6),(4,4),(5,1),(5,5),(6,2),(6,3)(6,6)} 求 A 的由 R 诱导出的划分。
【解答】 [1]={1,5} [2]={2,3,6} [4]={4} A/R={[1],[2],[4]}={ {1,5},{2,3,6},{4}}
-1 -1
，则有(y,x)∈R，所以(y,x)∈ R∪R
-1
，R∪R 具有对
-1
③对 A 上任意关系 R′′， 若 R⊆ R′′，且 R′′是对称的，往证 R∪R
-1 -1
-1
⊆R′′。 任取(x,y)∈R
-1
∪R ，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R ，若(x,y)∈R，因为 R⊆ R′′，则(x,y)∈ R′′ ；若(x,y)∈ R ， 则有(y,x)∈R， 则(y,x)∈R′′， 因为 R′′是对称的， 所以(x,y)∈R′′ ， 因此， R∪R ⊆R′′。 综上，根据闭包的定义可知，s(R)=R∪R 。
。 (B) 满射非单射; (D) 双射.
g : R → R, g ( x ) = x + 2 ， 则
( f o g )( x) : R → R 是
(A) 单射非满射; (C) 不是单射也非满射;
三、计算题（共 40 分，每小题 10 分）
1. 求命题公式 S=(P→(Q→R) )→ ((P→Q)→ (P→R))的真值表。 【解答】 PQR Q→ R P→(Q→R) P→Q P→ R (P→Q)→ (P→R) TTT T T T T T TTF F F T F F TFT T T F T T TFF T T F F T FTT T T T T T FTF F T T T T FFT T T T T T FFF T T T T T 2. 通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。 （ 1） （ P∧Q） ∨（ ¬P∧Q∧R） ；
当n1时a1ba1b??a1ba1b???a1ba1b???a1a1ba1b??ba1b??b?a1b?t20xx20xx学年第x学期离散数学基础期中考试题北京交通大学20xx20xx学年第x学期离散数学基础期中考试题附参考答案第4页共4页设当nk1时推理表达式为真即设a1ba2b
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真值表
个不同的解释；解释（F，T，F）使 G 的
5.
在推理理论中，前提在推导过程中的任何时候都可以引入使用，这一推理规则叫做 （ P 规则 ） 。
6. 7.
设集合 A = {φ , {φ }} ，A 的幂集 ρ ( A) = φ ,{φ},{{φ}},{φ ,{φ}} 。 设 R 是集合 A 上的二元关系， 如果 R 是自反的， 则它的关系矩阵的主对角线元素 （ 是1 ） 。 全
8.
设 R1，R2 是集合 A={a，b，c，d}上的两个关系，其中 R1={（a，a） ， （b，b） ， （b，c） ， （d，d）}，R2={（a，a） ， （b，b） ， （b，c） ， （c，b） ， （d，d）}，则 R2 是 R1 的（ B 闭包。 A．自反 B．对称 C．传递 D．以上都不是 ）
-1
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《离散数学基础》期中考试题（附参考答案）
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一、填空题（共 10 分，每空 1 分）
1. 2. 3. 4. 我们称 能够表达判断，并且具有确定真值 的陈述句为命题。 唯一的 。 。
在命运题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是 把命题公式在其所有解释下所取真值列成一个表，称为 G 的 命题公式 G=（P∧Q）→R，则 G 共有 真值为 T 。 8
B．{φ,{φ}}-{{φ}}={φ}； D．{φ,{φ}}-φ={{φ}}； D.Y⊆X∩Y
C．{φ,{φ}}-{φ}={φ，{φ}}； 6. 7.
由集合运算定义，下列各式正确的有（ A ） 。 A． X⊆X∪Y B.X⊇X∪Y C.X⊆X∩Y
设 A,B,C 为任意三个集合，下列各命题中正确的是（ A ） 。 A．若 A∈B 且 B⊆C，则 A∈C； B．若 A∈B 且 B⊆C，则 A⊆C； C．若 A⊆B 且 B∈C，则 A∈C； D．若 A⊆B 且 B∈C，则 A⊆C。
四、证明题（共 30 分）
1. 用归纳法证明(A1→B)∧(A2→B)∧…∧(An→B)∧(A1∨A2∨…∨An)⇒B 是一个正确的推理形式。 往证(A1→B)∧(A2→B)∧…∧(An→B)∧(A1∨A2∨…∨An)→B 是一个永真式。用归纳法。 当 n=1 时， (A1→B)∧A1→B⇔(¬A1∨B)∧A1→B ⇔¬((¬A1∨B)∧A1)∨B ⇔¬((¬A1∧A1)∨(B∧A1)∨B ⇔¬(B∧A1∨B ⇔ ¬ B∨¬ A1∨B ⇔T
由此可见 （P∧Q）∨（¬P∧Q∧R）⇔ （P∨（Q∧R） ） ∧（ Q∨（ ¬P∧R） ） 3. 某学校有 597 名学生，有 299 人选修数学，259 人选修计算机，227 人选修英语；其中 99 人同时选修数学与计算机， 68 人同时选修数学与英语， 33 人同时选修计算机与英语。 画出文氏图，问该统计数字是否可能，并说明理由。若总人数是 581 呢？
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S T T T T T T T T
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（ 2） （ P∨（ Q∧R） ） ∧（ Q∨（ ¬P∧R） ） ； 【解答】 （ P∧Q） ∨（ ¬P∧Q∧R） ⇔ （ P∧Q∧（ ¬R∨R） ） ∨（ ¬P∧Q∧R） ⇔ （ P∧Q∧¬R） ∨（ P∧Q∧R） ∨（ ¬P∧Q∧R） ⇔ ⇔ m 6∨ m 7∨ m 3 m 3∨ m 6∨ m 7
9.
设偏序关系 R 是集合 A={1，2，3，4，5，6}中数的“整除”关系，则 A 的极大元、极 小元的个数分别是（ C A ． 2， 1 B ． 2， 2 ） 。 C ． 3， 1 D ． 3， 2
10. 设 有 函 数
⎧ x2 , x ≥ 3 , f : R → R, f ( x ) = ⎨ − 2, x < 3 ⎩
）不是命题。 B．(∃x)P(x)； D．(∃x)(∃y)(P(x) →R(y)) ）不是命题。 B．(∀x)(∃y)(x*y=1)； D．(∃x)(∃y)(x*y=2)
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个体域为整数集合，下列公式中（ C
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【证 明 】
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《离散数学基础》期中考试题
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设当 n=k-1 时推理表达式为真，即设 (A1→B)∧(A2→B)∧…∧(Ak-1→B)∧(A1∨A2∨…∨Ak-1)→B 是一个永真式。 令 C⇔(A1∨A2∨…∨A 可－1) D⇔(A1→B)∧(A2→B)∧…∧(Ak-1→B) 即设 C∧D→B 为 T。 当 n=k 时， (A1→B)∧(A2→B)∧…∧(Ak-1→B)∧(Ak→B)∧(A1∨A2∨…∨Ak-1∨Ak)→B ⇔(D∧(Ak→B)∧(C∨Ak))→B ⇔¬(D∧(¬Ak∨B)∧(C∨Ak))∨B ⇔¬((D∧(¬Ak∨B)∧C)∨((D∧(¬Ak∨B)∧Ak)))∨B ⇔…… ⇔(C∧D→B)∨Ak ⇔ T∨Ak ⇔T 所以原式是一个正确的推理形式。 2. 设 R 是集合 A 上的二元关系，证明 （1）R 是反自反的 ⇔IA∩R = ∅； （2）R 是反对称的 ⇔R∩R 【证 明 】 （1）R 是反自反的 ⇔(∀a)(a∈A→(a,a)∉A)，但(∀a)(a,a)∈IA ⇔(∀a)((a,a)∉A)∧(a,a)∈IA)⇔IA∩R = ∅。 （2）设 R 是反对称的，任取 a∈A，b∈A，如果(a,b)∈R∩R ，则有(a,b)∈R 且(a,b)∈R ，