概率论习题及答案习题详解

222
习题七
( A )
1、设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，n X X X ,,,21 为取自
X 的一个样本，试求参数p 的矩估计量与极大似然估计量.
解：由题意，X 的分布律为： ()(1)
,0k N k
N P X k p p k N k -⎛⎫==-≤≤
⎪⎝⎭
. 总体X 的数学期望为
(1)(1)
011(1)(1)1N
N
k N k k N k k k N N EX k p p N p p p k k ----==-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪
-⎝⎭
⎝⎭∑∑ 1
((1))N N p p p N p -=+-=
则E X p N
=.用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为ˆX p
N
=.
设12,,n x x x 是相应于样本12,,n X X X 的样本值，则似然函数为
1
1
121
1
(,,;)()(1)n
n
i
i
i i n n
x nN x n i i i i N
L x x x p P X
x p
p x ==-
==∑∑⎛⎫=
==
⋅- ⎪⎝⎭
∏∏
取对数
1
1
1ln ln ln ()ln(1)n
n n
i i i i i i
N L x p nN x p x ===⎛⎫
=
+⋅+-⋅- ⎪⎝⎭∑
∑∑，
1
1
ln (1)
n
n
i
i i i x
nN x d L dp
p p ==-=
-
-∑∑.
223
令
ln 0d L dp
=，解得p 的极大似然估计值为
1
1ˆn
i
i x n
p
N
==∑.
从而得p 的极大似然估计量为
1
1ˆn
i
i X X n
p
N
N
===
∑
.
2,、设n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本,X 的概率密度为
2
2,0(;)0,x x f x θθθ⎧<<⎪
=⎨⎪⎩
其它.
其中参数0θ>，求θ的矩估计.
解：取n X X X ,,,21 为母体X 的一个样本容量为n 的样本，则
2
22()3
x
E X xf x dx x dx θθθ
+∞-∞
=
=⋅
=⎰
⎰
32
E X θ⇒=
用X 替换E X 即得未知参数θ的矩估计量为3ˆ2
X θ=
.
3、设12,,,n X X X 总体X 的一个样本, X 的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨
⎧≤>=--0
,0,0,);(1x x e
x x f x
α
λαλαλ
其中0>λ是未知参数，0>α是已知常数,求λ的最大似然估计.
解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
224
1()
1121
(),0(,,,;)0,n
i i n x n n i i n i x e x L x x x αλαλαλ=--=⎧∑⎪⋅≥=⎨
⎪
⎩
∏ 其他 取对数 1
1
ln ln ln (1)(ln )()n n
i i i i L n n x x αλααλ===++--∑∑
解极大似然方程
1
ln 0n
i i d L n
x d α
λ
λ
==
-=∑
得λ的极大似然估计值为1
ˆn
i
i n
x
α
λ
==∑
从而得λ的极大似然估计量为1
ˆn
i
i n
X
α
λ
==∑.
4、设总体X 服从几何分布
,10,,2,1,)1()(1<<=-==-p k p p k X P k 试利用样本值n x x x ,,,21 ,求参数p 的矩估计和最大似然估计.
解：因1
1
1
1
1(1)
(1)
k k k k EX k p p p k p p
∞
∞
--===
⋅-=⋅-=
∑
∑,
用X 替换E X 即得未知参数p 的矩估计量为1ˆp
X
=.
在一次取样下，样本值12(,,,)n x x x 即事件
1122{},{},,{}n n X x X x X x === 同时发生，由于12,,,n X X X 相
互独立，得联合分布律为
121122(,,,;)()(),,()n n n L x x x p P X x P X x P X x ====
225
121
1
1
(1)
(1)
(1)
n x x x p p p p p p ---=-⋅-- ,
即得极大似然函数为
1
()(1)n
i i x n
n
L p p p =-∑=-
取对数 1
ln ()ln ()ln(1)n
i i L p n p x n p ==+--∑
解极大似然方程
1
ln ()
01n
i
i x
n
d L p n dp
p
p
=-=
-
=-∑
得p 的极大似然估计值为1
1ˆ1n
i
i p
x
n
==∑
从而得p 的极大似然估计量为1
11ˆ1n
i
i p
X
X
n
===
∑.
5、设总体X 的概率密度为()1
;exp ,2x f x σσσ⎧⎫
=
-⎨⎬⎩⎭
0σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一样本,求参数σ的最大似然估计.
解：设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
1211
11
(,,,;)(;)(;)exp{||}(2)
n
n n i
n
i L x x x f x f x x
σσσσσ
====-
∑
取对数
121
1
ln (,,,;)ln(2)||n
n i
i L x x x n x
σσσ
==--
∑
226
解极大似然方程
2
1
ln 1
||0n
i
i d L n
x
d σ
σ
σ
==-
+
=∑
得σ的极大似然估计值1
1
ˆ||n
i
i x n
σ==
∑
从而得σ的极大似然估计量为1
1ˆ||n
i
i X
n
σ
==∑.
6、证明第5题中σ的最大似然估计量为σ的无偏估计量.
证明：由第5题知σ的最大似然估计量为1
1
ˆ||n
i
i X n
σ
==∑
故 1
1
1
1
ˆ(||)||n
n
i
i
i i E E X
E X n
n
σ
====
∑∑
又1
||
||||exp{}2i x E X x dx σ
σ
+∞-∞
=
⋅
-
⎰
12exp{}exp{}(
)2x x x x dx x d σσ
σσ
+∞+∞=⋅-=⋅-⎰
⎰
[exp{}|
exp{}]x
x
x dx σσ
σ
+∞+∞
=-⋅-
--
=⎰
从而 ˆE σ
σ=，即ˆσ是σ的无偏估计. 7,、设总体X 的概率密度为()
2
2
22
20;0x x e x f x σσ
σ-⎧⎪>=⎨⎪
⎩，，，
其它.,20σ>为未知参数, n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,求参数2
σ的的矩估计量和最大似然估计量.
解：因22
2
22
(;)2x
x
E X x f x dx x e dx σ
σσ
-
+∞+∞-∞
=
⋅=⋅
⎰
⎰
2222
2
2
22200
2()[2|2]x
x
x
xd e
xe
e
dx σ
σ
σ
-
-
-
+∞+∞+∞
=-=--⎰
⎰
227
222
2
220
2x
x
e
dx e
dx σ
σ
-
-
+∞+∞===
⎰
⎰
用X 替换E X 即得未知参数σ
的矩估计量为ˆX σ=
从而得未知参数2σ
的估计量为22
ˆ)X σ
=
设12,,,n x x x 为样本12,,,n X X X 的一组观测值，则似然函数为
2
12
1
1(
)
2222
1
1212(,,,;)(;)(;)n
i n
i
x i n n n
x L x x x f x f x e
σ
σσσσ
=-
=∑==
∏
取对数
2
22
1
1
1ln ln ln 2n
n
i
i
i i L x
n x
σ
σ
===
--
∑∑
解极大似然方程
22
2
4
1ln 102n
i
i d L n
x
d σ
σ
σ
==-
+
=∑
得2
σ的极大似然估计值2
2
1
1
ˆ2n
i
i x n
σ
==∑
从而得未知参数2σ的估计量为2
21
1
ˆ2n
i
i x
n
σ
==∑.
8、设总体),(~2
σμN X ,μ已知,σ为未知参数, n X X X ,,,21 为
X 的一个样本,∑=∧
-=n
i i X c 1
||μσ, 求参数c ,使∧
σ为σ的无偏估计.
解：由无偏估计的定义，要使∧
σ为σ的无偏估计，则ˆE σ
σ=
228
又1
1
ˆ(||)||n n
i i i i E E c X u c E X u σ===-=-∑∑
由题意知总体),(~2σμN X ，从而
2
2
()2||||x u i E X u x u dx σ
--
+∞-∞
-=
-⎰
2
2
22()()2211[()]()x u x u u u
x u dx x u dx σ
σ
----
+∞
-∞
=
--+
-⎰
⎰
且2
222
()220
()x u y
x u y
u
x u dx
y
dy σ
σ
--=--
+∞
+∞-=⎰
⎰
22
2
22
()2y
y
e
d σ
σ
-
+∞=-
-
=⎰
由对称性有
||i E X u -=
从而有
cn
σ=
，即2c n
=
.
9、设θˆ是参数θ的无偏估计量,且有0)ˆ(>θD ,试证22)ˆ(ˆθθ=不是
2
θ的无偏估计量.
证明：因为θˆ是参数θ的无偏估计量，故ˆE θθ=，且0)ˆ(>θD
有22222
ˆˆˆˆˆ()()()()E E D E D θθθθθθθ==+=+>
即2
2)ˆ(ˆθθ=不是2
θ的无偏估计量.
10、设总体),(~2
σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本,试证：估计量
32
112110351ˆX X X ++=μ;
3
2
1212
54
13
1ˆX X
X +
+
=μ
;
32
132
16
13
1ˆX X
X +
+
=μ
229
都是μ的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.
证明：总体),(~2σμN X ,321,,X X X 是来自X 的样本，则
1123123131131ˆ()51025102E E X X X E X E X E X u μ=++=++= 2123123115115ˆ()34123412
E E X X X EX EX EX u μ=++=
+
+
=
3123123111111ˆ()362362
E E X X X EX EX EX u μ
=+
+
=++
=
即估计量123ˆˆˆ,,μ
μμ都是μ的无偏估计. 又
2
11231231311911
ˆ()5
10
225100450D D X X X D X D X D X μ
σ
=+
+
=
+
+
=
2
212312311
5112525ˆ()341291614472
D D X X X D X D X D X μσ=++=++=
2
31231231111117ˆ()3
62936
418
D D X X X D X D X D X μ
σ=+
+
=
+
+
=
有 213ˆˆˆD D D μ
μμ<<，从而估计量2ˆμ最有效. 11,、设12,,,n X X X 是总体()2
0,X N σ 的一个样本,2
0σ
>,证
明：
21
1
n
i i X n
=∑是2
σ的相合估计量.
证明：由题意，总体()2
0,X N σ ，则2
2
0,EX
EX
σ==
由样本的独立同分布性知
2
2
2
1
1
1
1
()n
n
i
i
i i E X EX n
n
σ===
=∑∑，即
21
1
n
i i X n
=∑是2
σ的无偏估计.
2
2
2
1
1
1
1(
)()n
n
i
i
i i D X D X
n
n
===
∑∑
又2422
()()i i i D X E X E X =-，且
230
2222
2
2
2
4
4
3
2
222|3]x
x
x
i EX x
dx x e
x e
dx σ
σ
σ
-
-
-
+∞+∞+∞
-∞-∞
-∞
=
=
-⎰
⎰
22
2
2
4
23x
x e
dx σ
σ
σ-
+∞-∞
==
故242244
4
()()32i i i D X EX EX σσσ=-=-=，
有4
2
1
1
2(
)0()n
i
i D X n n
n
σ==
→→∞∑
故
2
1
1
n
i i X n
=∑是2
σ的相合估计量
12、设总体X 的数学期望为μ,方差为2σ,分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本,1X ,2X 分别为两样本均值,试证明:如果,a b 满足
1a b +=,则12Y aX bX =+是μ的无偏估计量,并确定,a b ,使得()
D Y
最小.
解：由题意，2,EX u D X σ==，且1X ,2X 分别为容量为1n 和2n 的两个独立样本得样本均值，故2
111
,E X u D X n σ
==
，2
222
,E X u D X n σ
==
.
当1a b +=时，有
12()EY aEX bEX a b u u
=+=+=，即
12Y aX bX =+是μ的无偏估计量.
2
2
22
2
121
2
(
)a
b
D Y a D X b D X n n σ=+=+
令2
2
1
2
(1)()a
a g a n n -=
+
，由()0g a '=知函数()g a 的稳定点为
231
112
n a n n =
+，且112
1
2
11(
)2(
)0n g n n n n ''=+
>+，故112
n a n n =
+为函数唯一
极小值点，即当1212
12
,n n a b n n n n ==
++时，()D Y 最小.
13、设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本, X 的概率密度为();f x θ,0θ>,未知，已知
()2
22nX
n χ
θ
,试求θ
的置信水平为1α
-的置信区间.
解：由题意，统计量
()2
22nX
n χ
θ
，则给定置信度为1α
-时，有
()()22
12
2(22)1nX
P n n α
αχ
χαθ-
≤
≤=- ()
()
2
212
22(
)122nX
nX
P n n αα
θαχχ
-
⇔≤≤
=-
由置信区间的定义知，θ的置信水平为1α-的置信区间为
()()221222,22nX nX n n ααχχ-
⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
. 14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命X 服从正态分布.已知均方差40=σ小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.
解：设12,,,n X X X 是母体X 的样本容量为n 的子样，则显像管平均寿命(10000,16)X N
构造统计量(0,1)X u
U N -=
，有
232
1112
2
2
(||)1(1P U U
P X U
U X U
α
α
α
αα
-
-
-
<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975 1.96U =，故显像管平均寿命X 的置信度为95%的置信区间为：
4040(10000 1.96 1.96
(100007.84)-+=±.
15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差(%)15=S ,设投资的年利润率X 服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95).
解：由题意，构造统计量2
2
2
2
(1)(1)n S
n χχσ
-=- ，则给定置信水
平为1α-，有
2
2
22
122
(1)((1)(1))1n S
P n n αα
χχ
ασ
-
--<
<-=-
2
2
2
2212
2
(1)(1)(
)1(1)
(1)
n S
n S
P n n α
ασ
αχ
χ-
--⇔<<
=---
取26,0.15,10.95n S α==-=，查表可得2
0.025(25)13.120χ=，
2
0.975(25)40.616χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为
2
2
2212
2
(1)(1)(,
)(0.014,0.043)(1)(1)
n S
n S
n n αα
χχ
-
--=--.
16,、从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度X 服从正态分布,试求总体均值μ的置信水平为0.90的置信区间.
233
解：设1216,,,X X X 是母体X 的样本容量为16的子样，由题意知
2.215X =，2
4
2.933310
S -=⨯.
构造统计量(1)X u t t n -=
- ，有
1112
2
2
(||)1(1P t t
P X t
u X t
α
α
α
αα
-
-
-
<=-⇔-<<+=-由题意10.900.10αα-=⇒=，查表可得0.95(15) 1.7459t =，故显像管平均寿命
X
的置信度为90%的置信区间为：
(2.1175,2.1325)
=±. 17、生产一个零件所需时间(单位：秒)),(~2σμN X ,观察25个零件的生产时间得5.5=x ,73.1=s .试求μ和2σ的置信水平为0.95的置信区间.
解：设1225,,,X X X 是母体X 的样本容量为25的子样，由题意知
5.5X =， 1.73S =.
构造统计量(1)X u t t n -=
- ，有
1112
2
2
(||)1(1P t t
P X t
u X t
α
α
α
αα
-
-
-
<=-⇔-<<+=-由题意10.950.05αα-=⇒=，查表可得0.975(24) 2.0639t =，故参数μ的置信度为95%的置信区间为：(4.786,6.214)(5.50.714)=±.
234
构造统计量2
2
2
2
(1)(1)n S
n χχσ
-=- ，则给定置信水平为1α-，
有
2
2
22
122
(1)((1)(1))1n S
P n n αα
χχ
ασ
-
--<
<-=-
2
2
2
2212
2
(1)(1)(
)1(1)
(1)
n S
n S
P n n α
ασ
αχ
χ-
--⇔<<
=---
取16, 1.73,0.05n S α===，查表可得2
0.025(15) 6.2621χ=，
2
0.95(15)27.4884χ=，故方差的置信度为95%的置信区间为
(1.825,5.
. 18、产品的某一指标),(~2σμN X ，已知04.0=σ，μ未知.现从这批产品中抽取n 只对该指标进行测定,问n 需要多大,才能以95%的可靠性保证μ的置信区间长度不大于0.01?
19、设A 和B 两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中
抽取5根测量其电阻,算得721007.1-⨯=A s ,6
2103.5-⨯=B s ,若A 批导线
的电阻服从),(211σμN ,B 批导线的电阻服从),(222σμN ,求2221σσ的置信水平为0.90的置信区间.
20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:
甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137;
乙厂135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140
设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.
（ B ）
1、设总体X 的概率分别为
235
其中102θθ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
是未知参数,利用总体X 的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3
求θ的矩估计值和最大似然估计值.
解：由题意可知总体X 为离散型随机变量，则总体X 的数学期望为
()3
2
()2123(12)34k EX kP X
k θθθθθ==
==-++-=-∑
有34
E X θ-=
，由样本值可知2X =，用X 替换E X 即得未知参数θ的
矩估计量为3ˆ4
X θ-=，矩估计值1
ˆ4θ=.
设12340,1,2,3x x x x ====是相应于样本1234,,,X X X X 的样本值，则似然函数为
12341234(,,,;)(0)(1)(2)(3)L x x x x P X P X P X P X θ=====
4
6
2
(12)4(1)θθθ=--
取对数 ln 4ln(12)6ln 42ln(1)L θθθ=-++- 解极大似然方程
ln 8620121d L d θ
θ
θ
θ
-=
+-
=--
有2
121430θθ-+=
，从而7ˆ12
θ±=
又当ˆ12
θ=
712106
θ+-=-
<矛盾，故舍去.
所以θ
的最大似然估计值ˆ12
θ=
2、设()111ˆˆ ,,n X X θθ= 和()221ˆˆ,,n X X θθ= 是参数θ的两个相
236
互独立的无偏估计量,且方差()()
12ˆˆ2D D θθ=,试确定常数,a b ,使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量,且在一切这样的线性估计类中方差最小.
解：由题意，1ˆ θ和2ˆθ是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，则 12ˆˆ,E E θθθθ==.要使得12ˆˆa b θθ+是θ的无偏估计量，有 1212ˆˆˆˆ()()E a b aE bE a b θθθθθθ+=+=+=恒成立，即1a b +=.
又1ˆ θ，2ˆθ相互独立，且()()
12ˆˆ2D D θθ=，则
2222
12122ˆˆˆˆˆ()()()(2)()D a b a D b D a b D θθθθθ+=+=+
令2222()22(1)g a a b a a =+=+-，由()0g a '=知函数()g a 的稳定 点为13
a =
，且1()03
g ''>，故线性估计类中方差最小时13
a =
，23
b =
.
3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.
习题八
1．在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）2
(4.55,)X N σ .一日测得5炉铁水含碳量如下：
4.48，4.40，4.42，4.45，4.47
在显著性水平0.05α=下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化. 解：设铁水含碳量作为总体X ，则2
(4.55,)X N σ ，从中选取容量为5
的样本，测得2
4.444,0.0011X S ==.由题意，设原假设为0: 4.55H u =
237
构造检验统计量
||(4)X u t t -=
，则7.051t =
=
在显著性水平0.05α=下，查表可得0.97512
(4)(4) 2.77647.051t
t α
-
==<，
拒绝原假设0H ，即认为有显著性变化.
2．根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：115,,x x .经计算得知
15
1
48i
i x
==∑, 15
2
1
156.26i i x ==∑.
试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X 服从正态分布）
解：设有毒化学物质含量作为总体X ，则2(,)X N u σ ，从中选取容量为
15
的
样
本
，
测
得
15
1
1 3.2
15
i
i X x
==
=∑，
2
2
22
1
1
1
1()()0.191
1
n
n
i
i i i S x x x nx n n ===
-=
-=--∑∑.由题意，设原假设为
0:3H u <，备择假设为1:3H u >.
构造检验统计量||(14)X u t t -=
，则|3.23| 1.777t -=
=，在显著性
水平0.05α=下,查表可得10.95(14)(14) 1.7613 1.777t t α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，认为该厂不符合环保的规定.
3．某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率
238
不应低于65.已知该指标服从正态分布2(,)N μσ，
5.5σ=.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值55.06x =，试问在0.05α=水平上能否
接受这批玻璃纸？
解：设玻璃纸的横向延伸率为总体X ，则2
(,5.5)X N u ，从中选取容量
为100的样本，测得55.06x =.由题意，设原假设为0:65H u >，备择假设为1:65H u <.
构造检验统计量||
(0,1)X u U N -=
，则|55.0665|
18.07275.5U -=
=
在显著性水平0.05α=下,查表可得10.95 1.644918.0727U U α-==<，即拒绝原假设0H ，接受备择假设1H ，不能接受该批玻璃纸..
4．某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平α=0.05）？ 解：设经纱断头率为总体X ，则9.73u EX ==
， 1.6σ=
=，从中
选取容量为200的样本，测得9.89x =.由题意，设原假设为
0:9.73H u =，备择假设为1:9.73H u ≠.
构造检验统计量||
(0,1)X u U N -=
，
则|9.899.73|1.4142U -
==在
显著性水平0.05α=下,查表可得0.97512
1.96 1.4142U
U α
-
==>，即接受
原假设0H ，认为断头率没有受到显著影响.
239
5． 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布
2
(100,)N σ
.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）
：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平α=0.05）
解：设每箱重量为总体X ，则2(100,)X N σ ，从中选取容量为10的样本，测得99.9x =，20.34S =.由题意，设原假设为0:100H u =，备择假设为1:100H u ≠.
构造检验统计量||(9)X u t t -=
，则|99.9100|
0.5423t -=
=，在显
著性水平0.05α=下,查表可得0.97512
(9)(9) 2.26220.5423t
t α
-
==>，即
接受原假设0H ，认为每箱重量无显著差异.
6．某自动机床加工套筒的直径X 服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为15,,x x (单位m μ:)，经计算得到
5
1
124i i x ==∑, 5
21
3139i i x ==∑.
试问这批套筒直径的方差与规定的2
7σ=有无显著差别？（显著性水平0.01α=）
解：设这批套筒直径为总体X ，则2
(,)X N u σ ，从中选取容量为5的样
本
，
测
得
15
1
124.815
i
i X x
==
=∑，
2
2
22
1
1
1
1()()15.951
1
n
n
i
i i i S x
x x nx n n ===
-=
-=--∑∑.由题意，
设原假设为
240
2
0:7H σ
=，备择假设为2
1:7H σ
≠.
构造检验统计量2
2
22
(1)(4)n S
χχσ
-=
，则2
415.95
9.11437
χ
⨯=
=，
在显著性水平0.01α=下,查表可得22
0.99512
(4)(4)14.86αχχ-
==，
220.0052
(4)(4)0.2070αχχ==，从而22
212
2
(4)(4)αα
χχχ
-
<<，即接受原假设
0H ，认为这批套筒直径的方差与规定的2
7σ
=无显著差别.
7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布
2
11(,)N μσ、2
22(,)N μσ（12,μμ未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任
取6根，测量它们的直径为16,,x x ，从乙机床加工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为19,,y y ，经计算得知：
6
1204.6i
i x
==∑, 6
21
6978.9i i x ==∑
9
1
370.8i i y ==∑
9
21
15280.2i i y ==∑
问在显著性水平0.05α=下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？
解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体,X Y ，则2
11(,)X N μσ 、
2
22(,)Y N μσ ，从总体X 中选取容量为6的样本，测得
6
1
1
34.16
i
i X x ==
=∑2
2
22
1
1
1
1
1()()0.4081
1
n
n
i
i i i S x x x nx n n ===
-=
-=--∑∑
241
从总体Y 中选取容量为9的样本，测得
9
1
1
41.29
i i Y y ==
=∑2
2
22
2
1
1
1
1()()0.4051
1
n
n
i
i i i S y y y ny n n ===
-=
-=--∑∑ 由题意，设原假设为22012:H σσ=，备择假设为22112:H σσ≠.
构造检验统计量21
2
2
(5,8)S F F S = ，则0.408 1.0070.405
F =
=，在显著性水
平0.05
α=下,查表可得0.97512
(5,8)(5,8) 6.76
F
F α
-
==，
0.0252
(5,8)(5,8)0.1479F F α==，从而12
2
(5,8)(5,8)F F F
αα
-
<<，即接受
原假设0H ，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.
8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平α=0.1）？
解：设维尼龙纤度为总体X ，则2(,0.048)X N u ，从中选取容量为5
的样本，测得5
1
1
1.4145
i
i X x ==
=∑，2
2
1
1
()0.00781
n
i
i S x x n ==
-=-∑.由
题意，设原假设为0:0.048H σ=，备择假设为1:0.048H σ≠.
构造检验统计量2
2
22
(1)(4)n S
χχσ
-=
，则2
2
40.007813.542(0.048)
χ⨯=
=
在显著性水平0.1α=下,查表可得22
0.9512
(4)(4)9.487713.542
αχχ-==<即拒绝原假设0H ，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.
9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试的标准差是否符
242
合要求（显著性水平α=0.05）?
解：设考试成绩为总体X ，则2(,12)X N u ，从中选取容量为15的样本，测得16S =.由题意，设原假设为0:12H σ=，备择假设为1:12H σ≠.
构造检验统计量2
2
22
(1)(14)n S
χχσ
-=
，则2
2
2
141619.055612
χ⨯=
=.
在显著性水平0.05α=下,查表可得220.97512
(14)(14)26.1189αχχ-==，
220.0252
(14)(14) 5.6287αχχ==，从而2
2
212
2
(14)(14)αα
χχχ
-
<<，即接受原
假设0H ，认为此次考试的标准差符合要求.
10.某卷烟厂生产甲、乙两种香烟，分别对他们的尼古丁含量（单位：毫克）作了六次测定,获得样本观察值为：
甲：25，28，23，26，29，22；
乙：28，23，30，25，21，27.
假定这两种烟的尼古丁含量都服从正态分布，且方差相等,试问这两种香烟的尼古丁平均含量有无显著差异（显著性水平α=0.05，）？对这两种香烟的尼古丁含量，检验它们的方差有无显著差异（显著性水平α=0.1）？
解：设这两种烟的尼古丁含量分别为总体,X Y ，则2
11(,)X N μσ 、
2
22(,)Y N μσ ，从中均选取容量为6的样本，测得
6
1
1
25.56
i
i X x ==
=∑，2
2
1
1
1
()7.51
n
i
i S x x n ==
-=-∑，
6
1
1
25.66676
i i Y y ==
=∑，2
2
2
1
1
()11.06671
n
i
i S y y n ==
-=-∑，
由题意，在方差相等时，设原假设为012:H u u =，备择假设为112:H u u ≠.
243
构造检验统计
量12(2)
t t n n =
+- ,其中
22
21122
12(1)(1)9.2834(2)
w
n S n S S
n n -+-=
=+-.
则0.0948t =
=，在显著性水平0.05α=下,查表可得
120.97512
(2)(10) 2.22810.0948
t
n n t α
-
+-==>，即接受原假设0H ，认为这两种香烟的尼古丁平均含量无显著差异.
由题意，在方差待定时，设原假设为22
012:H σσ=，备择假设为
22
112:H σσ≠.
构造检验统计量2
122
(5,5)S F F S
=
，则7.50.677711.0667
F =
=，在显著性
水平0.1α=下,查表可得0.9512
(5,8)(5,5) 5.0503F
F α
-
==，
0.052
(5,8)(5,5)0.1980F F α==，从而12
2
(5,5)(5,5)F F F
αα
-
<<，即接受
原假设0H ，认为它们的方差无显著差异.。