fractal

分维D度量了系统填充空间(致密)或缝隙 (疏松)的能力,刻划了系统的无序性.
对于奇怪吸引子,维数给出了需要表征其 上点的位置所需的信息量.
从上面的等式中可以看到，r 的 幂次实际就是该几何体的空间维数， 可以表示为：
n • rD = 1
对上式两边取对数得：
D ln n ln r
显然，D具有维数的概念.
对上述迭代式反复进行迭代，得到的数 集，称为Mandelbrot集，简称M集。
蕨类植物
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混沌和分形的关系
在非线性科学中，分形于混沌有着不同的起源，但它们又都是非线性方程所描 述的非平衡的过程和结果，这表明它们有着共同的数学祖先——动力系统，混 沌吸引子就是分形集，或者说混沌是时间上的分形，而分形是空间上的混沌。 混沌事件在不同的时间标度下表现出相似的变化模式，这与分形在空间标度下 表现出的自相似性十分相象。
混沌和分形
--非线性科学
一、混沌理论的提出
--由线性科学到非线性科学
线性科学：
线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里， 这是用一根直线表征的关系。
例如： s
v0 0
s=v0+at t
1、线性科学的成就
经典科学实质上是线性科学。线性科学 在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进 展，在自然科学和工程技术领域，对线性系 统的研究都取得了很大的成绩。
F在某种方式下定义的分维严格大于它的拓扑 维；
存在对F的简单算法描述，例如可以由迭代产 生。
3.分形理论的两个重要概念
自相似性(self-similarity)
自相似性有两种形式： 精确地与统计的。假 树显示的图案在不同 放大尺度下都精确重 复（左栏）。真树的 图案则不会精确重复， 只有统计意义上的重 复（右栏）。几乎所 有自然界的图案都遵 守统计上的自相似性。
6. 一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您 的心脏越健康。
7.当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能测 出海岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度， 因为它是分形的。您使用的度量尺寸越精确，那么得 出的结果就越长。
1967年波兰科学家Mandelbrot在《SCINCE》 上发表了“英国的海岸线有多长？”的论文
分形来自于几何学的研究，而混沌则产生于物理学的研究。动力系统存在 着混沌必须满足的三个条件：初始条件的敏感依赖性，拓扑传递性质和周期点 的稠密性。对应物理学中产生混沌现象的三个条件：不可预测性，不可分解性 以及有一定的规律成分。
图2 保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌
相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭 圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构， 层层嵌套。左上图为参数取0.8时, 右上图为 参数取1.5时, 下图为参数取1.0时的情况。
自然界中很多的物体具有特征长度，诸 如：人有高度、山Байду номын сангаас海拔高度等。
Mandelbrot于1975年由拉丁语 Frangere一词创造出Fractal ，它 本身具有“破碎”、“不规则” 等含义。
1977年出版了分形论的奠基性著 作：《Fractal:Form, Chance and Dimension》,提出了分形的 三要素：即构形、机遇和维数。
2.分形的概念
“A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way.” 把具有下面典型性质的集F称为分形：
F具有精细结构，即它包含有任意小比例的细 节；
F是不规则的，但具有某种自相似的结构，它 可能是精确的，或是近似的，也可能是统计 意义下的自相似；
Koch曲线 D= ln4/ln3
相似维数：设一图形可分解为N个与之相似的 子图形，每个子图形是原来的1/c. 则图形的维 数D满足：
D= lnN/lnC
盒维数：设F R 是有界集合，其中 R 是正
方形。将 R 分成边长为 的子正方形。记N ( )
为子正方形中包含 F 中点的子正方形的个数。 定义 F 的盒维数为
分维(fractal dimension)
将长度为1的线段分为n等分, 每段长为r,则 n•r=1
将面积为1的正方形n等分,每 一个小正方形的边长为r,则 n • r2 = 1
将体积为1的正方体n等分,每 一个小正方体的边长为r,则 n • r3 = 1
维数的含义
分形是复杂不规则的系统,而描述这系统 的粗糙,破碎,不规则,不光滑程度及复杂 性的定量指标和手段就是非整数维数:•
1.学习音乐演奏 2. 美国有句谚语“一根稻草能压死一头
骆驼”，这是蝴蝶效应的最好体现。 3.冥王星的运行轨道不规则，因为太阳
系中存在着的混沌。 4.人口动力学中指出：在动物种群，如
果数量上不存在混沌或者变异，那么， 这个种群必将灭亡。
身边的混沌现象（2）
5.混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的最 佳时间。
横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始！
经典动力学的传统观点认为：系统的长期 行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的 微小变化对未来状态所造成的差别也是很微 小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。 混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十 分微小的变化经过不断放大，对其未来状态 会造成极其巨大的差别。
ρ=28时有混沌现象，奇异吸引子出现，此时 系统的演化轨迹如下图所示：
固定另2个参数，ρ 的不同取值则决定了系统的不同
性质。
洛伦兹吸引子
Paul Bourke作出过洛伦 兹吸引子的3D图象，并 发表在2000年8月31日 的Nature杂志上
洛仑兹方程组数值解
在XOZ平面上的投 影
在YOZ平面上的投影
2、存在奇异吸引子。吸引子是系统被吸引
并最终固定于某一状态的性态。
3、混沌的内部存在着超载的有序。混
沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同 层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。
5、混沌学的意义
许多科学家认为，20世纪物理学永 放光芒的三件事是：相对论、量子论和 混沌学的创立。
6、身边的混沌现象（1）
3、什么是混沌呢？
它的原意是指无序和混乱的状态（混 沌译自英文Chaos）。
混沌，就是“对初始条件具有敏感依 赖性的回复性非周期运动”
科学家给混沌下的定义是：混沌是 指发生在确定性系统中的貌似随机的不 规则运动。
4、混沌的特征
1、对初始条件的敏感依赖性。：初始条件
的微小差别在最后的现象中产生极大的差别。
一则西方寓言：
钉子缺，蹄铁卸； 蹄铁卸，战马蹶； 战马蹶，骑士绝； 骑士绝，战事折； 战事折，国家灭。
2、蝴蝶效应与混沌理论
1960年，洛伦兹研究“长期天气预报” 问题发现蝴蝶效应。
洛伦兹认定，尽管拥有高速计算机和精 确的测量数据（温度、风速、气压等）， 也难以获得准确的长期天气预报。
《决定论的非周期流》——洛 仑兹方程组
得到的结论是：海岸线的长度是多 少决定于尺子的长短。
海岸线的长度是无限的！
而我们确实看到了海岸线的存在， 而且海岸线应该是有界的。
海岸线什么有界？（长度、面积、 体积显然无界）。
一、什么是分形？
1.分形起源
欧几里得几何学的研究对象是具有特征 长度的几何物体： 一维空间：线段，有长度，没有宽 度； 二维空间：平行四边形，有周长、 面积； 三维空间：球，表面积、体积；
随着参数的增加（相当对非 线性增强） ， 混沌区越来越大。在这里，混沌区与规则区 交织在一起，相互渗透，本图为PC机绘制。
d (F ) lim ln N ( ) 0 ln(1/ )
二、自然界中的分形
三.迭代产生分形
1.函数迭代
Mandelbrot Set
在复平面中， Mandelbrot集是通过下 述迭代式产生的：
Zn+1=Zn2+C。 其中，Z和C都是复数, Z的初值定为0， 而C选择一个不为0的数,使C在复平面的 某个区域内有规律地变化。
2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性 系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系 统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形 式质的变化。
二、混沌理论浅说
--无序中的有序 “一沙一世界，一树一菩提”
1、蝴蝶效应
“蝴蝶效应” 反映了混沌运 动的一个重要 特征：系统的 长期行为对初 始条件的敏感 依赖性。
混沌主要讨论非线性动力学系统的不稳定、发散的过程，但系统在相空间 总是收敛于一定的吸引子，这与分形的生成过程十分相象。因此，如果说混沌 主要研究非线性系统状态在时间上演化过程的行为特征，那么分形则主要研究 吸引子在空间上的结构。
混沌运动的随机性于初始条件有关；而分形结构的具体形式或其无规则性 也与初始状态有密切关系。混沌吸引子与分行结构都具有自相似性。所以，它 们是从不同侧面来研究同一个问题的。
2、线性科学的局限
线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的 认识或“科学思想”，认为线性系统才是客 观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍 规律，才能建立一般原理和普适方法.
3、线性科学和非线性科学的差异
线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的 特征。
1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加 性或可还原性，而非线性系统有明显的突变性。