人教版B版高中数学必修第四册 第十一章综合测试01试题试卷含答案 答案在前

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第十一章综合测试
答案解析
基础练习
一、 1.【答案】D
【解析】直线AC 与直线PO 交于点O ,所以平面PCA 与平面PBD 交于点O ,所以必相交于直线PO ,直线AM 在平面PAC 内,点N AM ∈故N ∈面PAC ,故O ,N ,P ,M 四点共面,所以A 错,点D 若与M ,N 共面,则直线BD 在平面PAC 内,与题目矛盾,故B 错,O ,M 为中点,所以OM PA ∥,
ON PA P =,故ON OM O =,故C 错,
故选D 。

2.【答案】D
【解析】连接1B C 交1BC 于点O ,取AC 中点D ,连接OD ,
设12AA AB AC BC ====,
三棱柱111ABC A B C −为直三棱柱,∴四边形11BCC B 为矩形,
O ∴为1B C 中点,1//DO AB ∴且112DO AB =
==

1DC 1112OC BC =
=,11cos 4DOC ∴∠==−, ∴异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为11
cos 4
DOC ∠=
, 故选:D 。

3.【答案】C
【解析】因为截面PQMN 是正方形,所以PQ MN ∥、QM PN ∥, 则PQ ACD ∥平面、QM BDA ∥平面,
所以PQ AC ∥,QM BD ∥,
由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥,故A 正确; 由PQ AC ∥可得AC PQMN ∥截面,故B 正确;
异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与QM 所成的角,故D 正确; 综上C 是错误的, 故选C 。

4.【答案】A
【解析】如图所示,三棱锥11D B EF −的体积为1 111112
·
2213323
D EF V S B C ==⨯⨯⨯⨯=为定值,①正确; 11EF D C ∥,111B D C ∠是异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒,②正确;
若11D B ⊥平面1B EF ,则11D B EF ⊥,而11EF D C ∥故1111D B D C ⊥,而11D B 与11D C 所成角为45︒,③错误;
平面1D EF 即为平面11D C CD ,故直线11D B 与平面1D EF 所成的角是为11145C D B ∠=︒,④错误。

综上,正确的命题序号是①②。

故选:A 。

5.【答案】B
【解析】如图,连结AB ',B C ',AC ,易证得BD '⊥平面ACB ',因为AM BD '⊥所以AM ⊂平面
ACB ',又因为M ∈平面BCC B '',所以M 在B C '上移动,如图AB ⊥平面BCC B '',所以AMB θ=∠,在Rt AMB △中,tan AB BM θ=
,当BM 最小时,tan θ最大,即当BM B C '⊥时,BM
,所

max tan θ=。

故选:B 。

二、
6.
【答案】
【解析】设G 是CD 中点,由于E ,F ,H 分别是棱PB ,BC ,PD 的中点,所以EF PC ∥,1
2
EF PC =
,HG PC ∥,1
2
HG PC =
,所以EF HG ∥,EF HG =,所以四边形EFGH 是平行四边形,由于PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥,而BD AC ⊥,PA
AC A =,所以BD ⊥平面PAC ,所以BD PC ⊥,由于
FG BD ∥,所以BG PC ⊥,也即FG EF ⊥,所以四边形AFGH 是矩形。

而12EF PC =
=1
2
FG BD ==
从而EFGH S ==
故答案为:
7.【答案】①③④
【解析】①项,截面PQMN 为正方形,则有QM PQ ⊥且PQ MN ∥,所以//PQ 平面DAC ,又PQ ⊂面ABC ,C DA AB A C C
=面面,所以//PQ AC ,又PQ ⊂平面PQMN ,AC ⊄平面PQMN ,所以//AC 平
面PQMN ,故①项正确;
②项,由④项得出AC BD ⊥,但不能得出AC BD =,故②项是错误的;
③项,截面PQMN 为正方形,则有PN QM ∥,所以//PN 平面BDC ,又PN ⊂面ABD ,
D DB AB B C D =面面,所以//PN BD ,又PN ⊂平面PQMN ,BD ⊄平面PQMN ,所以//BD 平面PQMN ,故③项正确;
④项,由①,③可得//PQ AC ,//PN BD ,又PQ PN ⊥,所以AC BD ⊥,故④正确; 故答案为:①③④。

8.【答案】
【解析】CD CA AB BD =++,所以
()
()
2
2
222
2CD CA AB BD
CA AB BD CA AB CA BD AB BD =++=+++⋅+⋅+⋅
2
1636642068cos 011648683π⎛⎫
=++++⨯⨯+=−= ⎪⎝⎭
,所以217CD =,故填:
三、
9.【答案】(1)因为E ,F 分别是AB ,AA 1的中点,所以1EF A B ∥, 因为1EF A BD ⊄平面,11A B A BD ⊂平面,所以1EF A BD ∥平面。

(2)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,1111BB A B C ⊥平面,因为1111A D A B C ⊂平面,所以11BB A D ⊥, 因为1111A B AC =,且D 是B 1C 1的中点,所以111A D B C ⊥, 因为1
111BB B C B =,B 1C 1,111BB BB C C ⊂平面,所以111A D BB C C ⊥平面,
因为11A D A BD ⊂平面,所以平面111A BD BB C C ⊥平面。

10.【答案】(1)底面ABCD 是菱形,AB CD ∴∥,又
AB ⊄面PCD ,CD ⊂面PCD ,AB ∴∥面
PCD ,又A ,B ,E ,F 四点共面,且平面ABEF 平面PCD EF =,AB EF ∴∥;
(2)在正方形ABCD 中,CD AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD
平面ABCD AD =,
CD ∴⊥平面PAD ,又
AF ⊂平面PAD ,CD AF ∴⊥,由(1)可知AB EF ∥,

AB CD ∥,CD EF ∴∥,由点E 是棱PC 中点,∴点F 是棱PD 中点,
在PAD △中,PA AD =,AF PD ∴⊥,又PD CD D =,AF ∴⊥平面PCD ;
(3)若存在符合题意的点M :EM ⊥平面PCD ,EM ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PCD ,而这
与题意矛盾了,∴不存在。

提升练习
一、 1.【答案】D
【解析】由已知的三点P 、Q 、R ,确定截面的一条边PQ ,延长PQ 交BC 于一点,连接该点与点R 即可得到与棱BB 1的交点M ,利用公理3确定交线RM ,PM ,同样的方法找出其它交线,即可得到截面如图所示:
故选:D 。

2.【答案】B
【解析】①中AC BE ⊥,由题意及图形知,11AC DD B B ⊥面,故可得出AC BE ⊥,此命题正确;②
EF ABCD ∥平面,由正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的两个底面平行,EF 在其一面上,故EF 与平面ABCD 无
公共点,故有EF ABCD ∥平面,此命题正确;③三棱锥A —BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF 的面积是定值,A 点到面DD 1B 1B 距离是定值,故可得三棱锥A —BEF 的体积为定值,此命题正确;④由图形可以看出,B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等,故AEF △的面积与BEF △的面积相等不正确。

3.【答案】A
【解析】由题意在棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D −中,点1P ,2P 分别是线段1,AB BD 上的动点,且线
段12
PP 平行于平面11121,A ADD PP B AD B ∆~∆,设1,(0,1)PB x x =∈,即12PP =,2P 到平面11AA B B 的距离为x ,所以四棱锥121
PP AB 的体积为2111(1)1()326V x x x x =⨯⨯−⨯⨯=−,当12x =时,体积取得最大值124
,故选A 。

4.【答案】D 【解析】
11AC AC ∥,∴过1A 在空间作平面
α,使平面α与直线AC 和1BC 所成的角都等于60︒, 即过点1A 在空间作平面α,使平面α与直线11A C 和1BC 所成的角都等于60︒, 连接1A B ,1AB ,设它们的交点为O ,连接1OC ,
易得11111160C A B C BA AC B ∠=∠=∠=︒, 由题意可得O 为1A B 的中点,则11OC A B ⊥,
故要使平面α与直线11A C 和1BC 所成的角都等于60︒, 只要满足1OC ⊥平面α即可,符合题意的只有1个平面, 故选:D 。

5.【答案】C
【解析】A 选项:因为E ,F 分别为A D '和BD 两边中点,所以EF A B '∥,即EF ∥平面A BC ',A 正确; B 选项:因为平面A BD '⊥平面BCD ,交线为BD ,且CD BD ⊥,所以CD ⊥平面A BD ',即CD A B ⊥',故B 正确;
C 选项:取C
D 边中点M ,连接EM ,FM ,则EM A C '∥,所以FEM ∠为异面直线EF 与A C '所成角,又
1EF =,EM FM =,即90FEM ∠=︒,故C 错误,
D 选项:连接',A F CF ,则'A F BD ⊥,平面A BD '⊥平面BCD ,故'A F ⊥平面BCD ,
故'A CF ∠为直线A C '与平面BCD 所成的角,'A F =CF ,
故tan '3
A CF ∠=,'30A CF ∠=︒,D 正确; 故选:C 。

二、
6.
【解析】由已知AB AC ⊥,BD AB ⊥,即0AB BD ⋅=,0AB AC ⋅=,AC <,45BD ︒=>,
CD CA AB BD =++,
∴2
2
2
2
2
2cos135CD CA AB BD CA AB BD CA BD =++=+++︒,
2416244514cos =++−⨯︒=, ∴
CD =
7.【答案】①③
【解析】对于命题①,连接AC 、BD 交于点M ,取BE 的中点M 、N ,连接MN 、FN ,如下图所示:
则1
2
AF DE =
且//AF DE ,四边形ABCD 是矩形,且AC BD M =,M ∴为BD 的中点, N 为BE 的中点,//MN DE ∴且1
2
MN DE =,//MN AF ∴且MN AF =,
∴四边形AFNM 为平行四边形,//AM FN ∴,即//AC FN ,
AC ⊄平面BEF ,FN ⊂平面BEF ,//AC ∴平面BEF ,命题①正确;
对于命题②,
//BC AD ,BC ⊄平面ADEF ,AD ⊂平面ADEF ,//BC ∴平面ADEF ,
若四点B 、C 、E 、F 共面,则这四点可确定平面α,则BC α⊂,平面α平面ADEF EF =,由线面
平行的性质定理可得//BC EF ,
则//EF AD ,但四边形ADEF 为梯形且AD 、EF 为两腰,AD 与EF 相交,矛盾, 所以,命题②错误;
对于命题③,连接DF 、CF ,设AD AF a ==,则2DE a =,
在Rt ADF △中,AD AF a ==,2
DAF π
∠=,则ADF △为等腰直角三角形,
且4
AFD ADF π
∠=∠=
,DF =,4
EDF π
∴∠=
,且2DE a =,
由余弦定理得22222cos 2EF DE DF DE DF EDF a =+−⋅∠=,222DF EF DE ∴+=,
DF EF ∴⊥,又EF CF ⊥,DF CF F =,EF ∴⊥平面CDF ,
CD ⊂平面CDF ,CD EF ∴⊥,
CD AD ⊥,AD 、EF 为平面ADEF 内的两条相交直线,所以,CD ⊥平面ADEF ,
CD ⊂平面ABCD ,∴平面ADEF ⊥平面ABCD ,命题③正确;
对于命题④,假设平面BCE 与平面BEF 垂直,过点F 在平面BEF 内作FG BE ⊥, 平面BCE ⊥平面BEF ,平面BCE
平面BEF BE =,FG BE ⊥,FG ⊂平面BEF ,
FG ∴⊥平面BCE ,
BC ⊂平面BCE ,BC FG ∴⊥,
AD AB ⊥,AD AF ⊥,//BC AD ,BC AB ∴⊥,BC AF ⊥,

AB AF A =,BC ∴⊥平面ABF ,BF ⊂平面ABF ,BC BF ∴⊥,
FG BF F =,BC ∴⊥平面BEF ,EF ⊂平面BEF ,BC EF ∴⊥,
//AD BC ,EF AD ∴⊥,显然EF 与AD 不垂直,命题④错误,
故答案为:①③。

8.
【解析】取AB 的中点H ,连接B 1H ,D 1H ,D 1B 1,BF ,如图, 由正方体性质可得11B D ⊥平面11ACC A ,所以11B D CF ⊥,
又因为F 是线段AA 1的中点,所以1ABF BB H △≌△,可知1B H BF ⊥, 又因为CB ⊥平面11AA B B ,所以1CB B H ⊥, 又因为CB BF B =,所以1B H ⊥平面BCF ,所以1B H CF ⊥,
又因为1111B H
B D B =,所以CF ⊥平面11D B H ,
则点E 在直线1B H 上,所以当11D E B H ⊥时,线段1D E 的值最小,
由题知11D B =
1B H =13D H =,
所以222111111111cos 2D B B H D H HB D D B B H +−∠===⋅,
所以11sin HB D ∠==

所以1min 1111sin D E B D HB D ⋅∠==
=
三、
9.【答案】(1)平面ABCD ⊥平面ABEF ,CB AB ⊥, 平面ABCD
平面ABEF AB =,∴CB ⊥平面ABEF ,
AF ⊂平面ABEF ,∴AF CB ⊥,

AB 为圆O 的直径,∴AF BF ⊥,∴AF ⊥平面CBF ,
AF ⊂平面ADF ,∴平面DAF ⊥平面CBF
(2)根据(1)的证明,有AF ⊥平面CBF ,
∴FB 为AB 在平面CBF 内的射影,
因此,ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角,
//AB EF ,∴四边形ABEF 为等腰梯形,过点F 作FH AB ⊥,交AB 于H ,
2,1AB EF ==,则1
22
AB EF AH −=
=, 在Rt AFB △中,根据射影定理2·AF AH AB =,得1AF =,
1
sin 2
AF ABF AB ∠=
=,∴030ABF ∠=, ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为30°。

10.【答案】(1)取BE 中点N ,连MN,CN ,又M 为AE 的中点,
MN AB ∴∥,1
2
MN AB =
,在正方形ABCD 中,P 是CD 中点, CP MN ∴∥,CP MN =,∴四边形CPMN 为平行四边形,
MP CN ∴∥,MP ⊄平面BCE ,CN ⊂平面BCE ,
PM ∴∥平面BCE ;
(2)设2AB AE ==,ABE ∆是等腰直角三角形,AB AE =,
AE AB ∴⊥,平面ABCD ⊥平面ABEF ,
平面ABCD
平面ABEF AB =,AE ⊂平面ABEF ,
AE ∴⊥平面ABCD ,过F 做//FQ AE ,交AB 于Q ,
FQ ∴⊥平面ABCD ,FA FE =,45AEF ∠=︒,
EF AF ∴⊥,45EAF ∠=︒,AF ∴,45FAQ ∠=︒,
在Rt AFQ △中,1,3FQ AQ BQ ===, 过Q 做QO BD ⊥垂足为O ,连FO ,
FQ ⊥平面,ABCD FQ BD ∴⊥,FQ OQ Q =,
BD ∴⊥平面,FOQ BD OF ⊥,
FOQ ∠为二面角F BD A −−的平面角,
在Rt BOQ △中,3,45,BQ OBQ OQ =∠=︒∴=
在Rt FOQ △中,OF ==
sin 11
FQ FOQ OF ∴∠=
=

∴二面角F BD A −−
第十一章综合测试
基础练习
一、单选题
1.如图,四棱锥P ABCD −,AC BD O =,M 是PC 的中点,直线AM 交平面PBD 于点N ,则下列结论
正确的是( )
A.O ,N ,P ,M 四点不共面
B.O ,N ,M ,D 四点共面
C.O ,N ,M 三点共线
D.P ,N ,D 三点共线
2.如图,直三棱柱111ABC A B C −中,1AA AB AC BC ===,则异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值为( )
A.12−
B.12
C.14−
D.14
3.如图,在四面体ABCD 中,截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为( )
A.AC BD ⊥
B.AC ∥截面PQMN
C.AC BD =
D.异面直线PM 与BD 所成的角为45︒
4.设E ,F 分别是正方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点,且2AB =,1EF =,给出下列四个命题:
①三棱锥11D B EF −的体积为定值; ②异面直线11D B 与EF 所成的角为45︒; ③11D B ⊥平面1B EF ;
④直线11D B 与平面1D EF 所成的角为60︒。

其中正确的命题为( ) A.①②
B.②③
C.②④
D.①④
5.在如图的正方体ABCD A B C D ''''−中,3AB =,点M 是侧面BCC B ''内的动点,满足'AM BD ⊥,设AM 与平面BCC B ''所成角为θ,则tan θ的最大值为( )
A.
2
C.43
D.34
二、填空题
6.在四棱锥P ABCD −中,底面ABCD 为正方形,PA ⊥面ABCD ,4PA AB ==,E ,F ,H 分别是棱PB ,BC ,PD 的中点,过E ,F ,H 的平面交棱CD 于点G ,则四边形EFGH 面积为________。

7.如图,在四面体ABCD 中,若截面PQMN 是正方形,则在下列命题中,正确的是________。

①AC ∥面PQMN ;②AC BD =;③BD ∥面PQMN ;④AC BD ⊥
8.已知:如图,在60︒的二面角的棱上有A 、B 两点,直线AC 、BD 分别在这个二面用的两个半平面内,且都垂直AB ,已知4,6,8AB AC BD ===,则CD =________。

三、解答题
9.如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,D ,E ,F 分别是B 1C 1,AB ,AA 1的中点。

(1)求证:EF ∥平面A 1BD ;
(2)若1111A B AC =,求证:111A BD BB C C ⊥平面平面。

10.如图,在四棱锥P ABCD −中,底面ABCD 是正方形,点E 是棱PC 的中点,平面ABE 与棱PD 交于点F 。

(1)求证:AB EF ∥;
(2)若PA AD =,且平面PAD ⊥平面ABCD ,试证明AF ⊥平面PCD ;
(3)在(2)的条件下,线段PD 上是否存在点M ,使得EM ⊥平面PCD ?(直接给出结论,不需要说明理由)
提升练习
一、单选题
1.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点,那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是( ) A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
2.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F ,且1
2
EF =,则下列结论中正确的个数为
①AC BE ⊥; ②EF ABCD ∥平面;
③三棱锥A —BEF 的体积为定值; ④AEF △的面积与BEF △的面积相等。

A.4
B.3
C.2
D.1
3.在棱长为l 的正方体1111ABCD A B C D −中,点P 1,P 2分别是线段AB 1,BD 1(不包括端点)上的动点,且线段12PP 平行于平面11A ADD ,则四面体121PP AB 的体积的最大值是( ) A.124
B.112
C.16
D.12
4.已知正方体1111ABCD A B C D −,过顶点1A 作平面α,使得直线AC 和1BC 与平面α所成的角都为60︒,这样的平面α可以有( ) A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5.如图,平面四边形ABCD 中,E ,F 是AD ,BD 中点,2AB AD CD ===,BD =90BDC ∠=︒,将ABD △沿对角线BD 折起至A BD '△,使平面A BD '⊥平面BCD ,则四面体A BCD '中,下列结论不正确的是( )
A.EF ∥平面A BC '
B.异面直线CD 与A B '所成的角为90︒
C.异面直线EF 与A C '所成的角为60︒
D.直线A C '与平面BCD 所成的角为30︒ 二、填空题
6.如图,045的二面角的棱上有两点A ,B ,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于
AB ,已知2AB =,AC ,4BD =,则CD =________。

7.如图所示,在直角梯形BCDF 中,90CBF BCE ∠=∠=︒,A 、D 分别是BF 、CE 上的点,//AD BC ,且
22AB DE BC AF ===(如图①),将四边形ADEF 沿AD 折起,连接BE 、BF 、CE (如图②),在折起的
过程中,则下列表述:
①//AC 平面BEF ;
②四点B 、C 、E 、F 可能共面;
③若EF CF ⊥,则平面ADEF ⊥平面ABCD ;
④平面BCE 与平面BEF 可能垂直,其中正确的是________。

8.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D −中,点E ∈平面11AA B B ,点F 是线段1AA 的中点,若1D E CF ⊥,则线段1D E 的最小值为________。

三、解答题
9.如图,AB 为圆O 的直径,点E ,F 在圆O 上,//AB EF ,矩形ABCD 和圆O 所在的平面互相垂直,已知2AB =,1EF =。

(Ⅰ)求证:平面DAF ⊥平面CBF ; (Ⅱ)求直线AB 与平面CBF 所成角的大小;
10.如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,ABE △是等腰直角三角形,
AB AE =,FA FE =,45AEF ∠=︒。

(1)设线段CD AE 、的中点分别为P M 、,求证:PM ∥平面BCE ; (2)求二面角F BD A −−所成角的正弦值。

相关文档
最新文档