因式分解解题技巧

略施小计轻松分解
一、整体着眼进行分解
例1因式分解：(x2－1)2+6(1－x2)+9．
分析：把(x2－1)看成一个整体，利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式分解．解：原式＝(x2－1)2－6(x2-1)+9＝[(x2－1)－3]2＝(x2－4)2＝[(x+2)(x－2)]2＝(x+2)2(x-2)2．
二、符号变换后分解
例2因式分解：3n(2m－n)2+(n－2m)3．
分析：考虑(n－2m)3＝－(2m－n)3，则多项式的公因式是(2m－n)2．
解：原式＝3n(2m－n)2－(2m－n)3＝(2m－n)2［3n－(2m－n)］＝(2m－n)2(4n－2m) ＝2(2n－m) (2m－n)2．
三、整理后分解
例3因式分解：x(x－1)－3x+4＝．
分析：观察发现，多项式不能直接分解，需先去括号、合并同类项后，再利用完全平方公式因式分解．
解：原式＝x2－x－3x+4＝x2－4x+4＝(x－2)2．
四、指数变换后分解
例4因式分解：(m+2n)m4－(m+2n)n4＝________．
分析：提出公因式(m+2n)后，剩余因式为m4－n4，而(m2)2＝m4，(n2)2＝n4，故m4－n4可继续分解．
解：原式＝(m+2n)(m4－n4)＝(m+2n) [(m2)2－(n2)2]＝(m+2n) (m2＋n2)(m2－n2)
＝(m+2n) (m2＋n2)(m＋n)(m－n)．
完全平方公式显身手
一、平方求值
例1 已知12x x
+
=，则代数式221x x +的值是 . 分析：根据已知条件，知12x x +=，两边平方，得22124x x
++=，即可得出答案. 解：将12x x +=两边平方，得22124x x ++=，所以221422x x +=-=. 二、拆项求值
例2 用乘法公式计算10052．
分析：把1005拆成1000+5的形式，再根据完全平方公式计算.
解：10052=（1000+5）2=1 000 000+2×1000×5+25=1 010 025.
三、逆用求值
例3 已知x=y+4，则代数式x 2-2xy+y 2-25的值为 .
分析：由已知x=y+4可得x-y=4，而x 2-2xy+y 2=（x-y ）2，将x-y=4代入即可求出
解：因为x=y+4，所以x-y=4，所以x 2-2xy+y 2-25=（x-y ）2-25=42-25=-9.
四、变形求值
例4 已知x+y=-5，xy=6，则x 2+y 2= .
分析：完全平方公式的常见变形有：①a 2+b 2=（a+b ）2-2ab=（a-b ）2+2ab ；
②ab=2221()()2a b a b ⎡⎤+-+⎣
⎦ =221()()4
a b a b ⎡⎤+--⎣⎦；③（a+b ）2+（a-b ）2=2a 2+2b 2. 解：由两数和（差）的平方公式的变形①，得x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=（-5）2-2×6=25-12=13.
五、数形结合
例5如图，有三种卡片，其中边长为a 的正方形卡片1张，边长分别为a 、b 的长方形卡片6张，边长为b 的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为____
分析：先求出16张卡片拼成一个正方形的总面积，然后再用完全平方公式确定正方形的边长.
解：由题可知16张卡片总面积为a 2+6ab+9b 2，因为a 2+6ab+9b 2=（a+3b ）2，所以新正方形边长为a+3b ．
因式分解生活“秀”
一、超市中的因式分解
例1 某种纯鲜牛奶的包装袋上注明所含的营养成分中，蛋白质为4%，脂肪为5%，碳水化合物为1%，请你计算一包223 ml （约230克）的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为多少克？
分析：牛奶的质量乘以蛋白质的百分含量+牛奶的质量乘以脂肪的百分含量=一包牛奶中蛋白质和脂肪的含量．
解：2304%2305%230(4%5%)20.7⨯+⨯=⨯+=（克）．
所以一包223 ml 的牛奶中，蛋白质和脂肪的含量约为20.7克．
二、工厂里的因式分解
例2 如图1，在一个边长为a 的正方形零件上挖去四个边长为b 的
小正方形，请你计算当a 为18分米、b 为6分米时剩余部分的面积．
分析：剩余部分的面积=大正方形的面积－4个小正方形的面积．
解：剩余部分的面积为22
4(2)(2)a b a b a b -=+-．
当18a =分米，6b =分米时，a 2-4b 2=
(1812)(1812)306180+-=⨯=（平方分米）
． 所以剩余部分的面积为180平方分米．
三、绿化中的因式分解
例3 某市在“为促进节能减排，倡导生态文明，建设和谐社会”
的活动中，在人口居住密集的地区打算修建一块边长a 为61.5米的正
方形绿地.为了便于游人通行，决定修两条宽度相同且互相垂直的小
路，如图2所示，小路宽b 为1.5米.若每平方米的绿地造价为530元，
那么该市需要投资多少元？
分析：建造绿地的投资=每平方米的绿地造价⨯绿地的面积，绿
地的面积=正方形的面积-小路的面积．
解：绿地的面积为22222(2)2()a ab b a ab b a b --=-+=+．
当61.5a =米， 1.5b =米时，绿地的面积为： 222(2)(61.5 1.5)3600a ab b --=-=（平方米）．
所以建造绿地的投资为53036001908000⨯=（元）．
所以该市需要投资1 908 000元．。