NOIP基础算法讲解2
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if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end else begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; end;
数据范围：n≤10^6。所有数之和不超过10^9。
例题8：快速幂
【问题】计算an mod k的值 ，其中n<=109。
方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 function power(a,n:longint):longint; var x:longint; begin x:=1; for i:=1 to n do x:=x*a; power:=x; end;
时间效率不尽如人意….. 问题出现在哪里呢？？
方法2：分治策略
采用分治求解: ➢划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半； ➢递归求解：统计i和j均在左边或者均在右边的逆序对个数； ➢合并问题：统计i在左边，但j在右边的逆序对个数。
记数列a[st]~a[ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有：
三、分治的三步骤
①划分问题：将要解决的问题分解成若干个规模较 小的同类子问题；
②递归求解：当子问题划分得足够小时，求解出子 问题的解。
③合并问题：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
四、分治的框架结构
procedure Divide() begin
if 问题不可分 then //直接解决 begin 直接求解； 返回问题的解； end
答案是肯定的。假设在快速排序的“划分”结束后，数组 A[s..t]被分成了A[s..x]和A[x+1..t]，则可以根据左边的元素 个数x-s+1和k的大小关系，确定第k小的数在左边或右边， 然后递归求解即可。
可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为O(n)。
例题3：求逆序对数目
给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,则 <i,j>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4，5， 2）的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>。问题 是，输入n和A数组，统计逆序对数目。
很明显，此程序要超时。
方法2：分治算法
a2
andiv2 * andiv2
a
(
n1)
div
2
*
a(n1)div 2
*a
当n为偶数时 当n为奇数时
划分问题：如果n是偶数，则考虑x=n div 2 否则考虑x=(n-1) div 2
递归求解：计算ax。 合并问题：如果n是偶数，则an=(ax)2，否则an=(ax)2*a
1.5*10^9
题目分析
begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n); //按照从小到大快排 j:=1; for i:=2 to n+1 do //顺序扫描 if a[i]=a[i-1] then inc(j) else begin writeln(a[i-1],' ',j);j:=1;end;
求逆序对的方法：
求逆序对有多种方法， 目前使用比较广泛且实现 比较简单的主要有三种算法： 1、归并排序 2、线段树 3、树状数组
时间复杂度为O(nlogn)
练习:超车3063
有n辆车在同一个无限长的直道上匀速行驶，给出每辆车行 驶的速度和初始位置。任意两辆车的位置都不相同。如果 有两辆车A车和B车，A车在B车的后面，并且A车的速度比 B车的快，那么经过一段时间后，A车一定会超过B车。我 们称之为一次超车。那么请你计算超车总数。
N<=10000,M<=50
扩展知识：
下面提一个有趣的问题：如果数组中有多个元素都是x， 现在要查找x，则上面函数的返回的是哪一个的下标呢？
第一个？最后一个？都不是。 若在原数组中存在多个元素x，查找时返回它出现的第一
个位置。如果不存在，返回这样一个下标i：在此处插入x （原来的元素A[i]、A[i+1]，…全部往后移动一个位置）后 序列仍然有序。
NOIP基础算法讲解
分治策略
一、分治思想
分治法，又叫分治策略，顾名思义，分而治之。
它的基本思想：对于难以直接解决的规模较大的 问题，把它分解成若干个能直接解决的相互独立 的子问题，递归求出各子问题的解，再合并子问 题的解，得到原问题的解。
通过减少问题的规模，逐步求解，能够明显降低 解决问题的复杂度。
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)
其中F(st,mid,ed)表示一个数取自a[st,mid]，另一个数取自 a[mid+1,ed]所构成的逆序对数目。
方法2：分治策略
和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如 何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是 “分类”。我们按照j的不同把这些 “跨越两边” 的逆序对进行 分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)， 则所有f(j)之和便是答案。
【扩展2】二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置
function Erfen(L,r,x:longint):longint; var mid:longint; begin
while(L<r)do begin
mid:=(L+r)div 2; if a[mid]<=x then L:=mid+1
【扩展1】二分查找求下界，即第一次出现的位置
function Erfen(L,r,x:longint):longint; var mid:longint; begin
while(L<r)do begin
mid:=(L+r)div 2; if a[mid]>=x then r:=mid
else L:=mid+1; end; Erfen:= L; end;
end.
例题2：第K小的数
输入n个整数和一个正整数k(1≤k≤n)，输入这些 整数从小到大排序后的第k个(例如，k=1就是最小 值)。n≤10^7。
题目分析
选第k小的数，最显然的方法是先排序，然后直接输出下 标为k的元素，但10^7的规模即使对于O(nlogn)的算法来 说稍微大了点。有没有更快的方法呢？
数据范围：1<=n<=1000000。
方法1：朴素算法
在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算 法——举算法，即对数组中任意的两个元素进行 判断，看它们是不是构成“逆序对”，因此这种算 法的时间复杂度为O(N2)。 c:=0; for i:=1 to n -1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then c:=c+1;
方法2：分治算法
根据这个方法很容易写出程序： function power(a,n:longint):longint; begin
else begin 对原问题进行分治；//划分问题 递归对每一个分治的部分进行求解; //递归求解 归并整个问题，得出全问题的解; //合并问题
end; end;
五、分治的典型应用
1、求非线性方程的根 2、快速排序 3、归并排序 4、二分查找 5、快速幂 6、求解线性递推关系 7、棋盘覆盖问题 8、循环日程表问题
改为“if(a[i]>a[j])then
begin tot:=tot+mid-i+1;temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
题目分析
procedure MergeSort(left,right:longint)//归并排序 begin
if left=right then exit; //只有一个元素 mid:=(left+right)div 2; //找中间位 MergeSort(left,mid); //对左边归并 MergeSort(mid+1,right); //对右边归并 i:=left;j:=mid+1,p:=left; //合并左右 while(i<=mid and j<=right)do
元素0，可以用二分查找；
例题7：最大值最小化2976
把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列 （每个正整数恰好属于一个序列）。设第i个序列的 各数之和为S(i)，你的任务是让所有S(i)的最大值尽 量小。
例如序列：1 2 3 2 5 4，划分成3个序列的最优方案 为1 2 3|2 5|4，其中S(1)、S(2)、S(3)分别为6、7、 4，最大值为7；如果划分成1 2|3 2|5 4，最大值为9， 不如刚才好。
例题1：统计数字(NOIP2008)2000
给你n个自然数，每个数均不超过1.5*10^9。已知不相同 的数不会超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出 现的个数，并按照从小到大的顺序输出统计结果。
数据范围： 40%的数据满足1<=n<=1000 80%的数据满足1<=n<=50000 100%的数据满足1<=n<=200000，每个数均不超过
else r:=mid; end; Erfen:= L; end;
例题5：范围统计
给出n个整数和m个询问，对于每个询问(a,b)，输 出在n个整数中，值在区间[a,b]内的整数个数。
算法步骤：
➢ ①先将n个整数从小到大排序； ➢ ②找大于等于a的第一个元素的下标L，即求a的下界； ➢ ③找小于等于b的最后一个元素的下一个下标R，即b的上界 ➢ ④Ans=R-L
数据规模 对于20%的数据，n<=300； 对于50%的数据，n<=3000； 对于100%的数据，n<=300000；
例题4:班级排名1904
给你HZH班上N名学生的姓名(字符串)，然后有M次 考试，每次考试的成绩也给你(形如：姓名 成绩)。
请你求出HZH每次考试后的名次。分数是累加的， 每次考试后，HZH的名次都有可能变动（名次取决 于前面所有考试的总分）。如果HZH和另一些同学 分数相等，他永远排在这些同学的前面。 对于并列 问题，采取以下方法处理： 如果A与B并列第一名,C 只比A、B的成绩低，那么C是第三名。
二、分治法的适用条件
能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： ①该问题可分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题； ②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解； ③子问题的解合并后，能得到原问题的解；
分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成 一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树 等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、无法直 接下手的问题。
幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由 于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的a[j]复制到temp中 时，左边还没有来得及复制到temp的那些数就是左边所有比a[j] 大的数。此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。
即把“if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
例题6：查找等值点
有n个不同整数从小到大排序后放在数组 A1~An中，是否存在i，使得Ai=i？若存在， 试找到此点。
题目分析
由于所有整数都不同，而且A以升序排列，因此 Ai+1-Ai>=1
取Bi=Ai-i，则Ai=i当且仅当Bi=0 Bi+1-Bi=Ai+1-(i+1)-(Ai-i)=Ai+1-Ai-1>=0 因此B也是从小到大排序的，在有序序列中查找
A[mid]和x的各种关系所带来的影响如下: ①.A[mid]=x：至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间变为[L,mid]。 ②.A[mid]>x：所求位置不可能在后面，但有可能是mid，因此区间变为
[L,mid]。 ③.A[mid]<x：m和前面都不可行，因此区间变为[mid+1,y]。
合并一下：A[mid]≥x时新区间为[L,mid]；A[m]<x时新区间为[mid+1,r]。
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; end;
数据范围：n≤10^6。所有数之和不超过10^9。
例题8：快速幂
【问题】计算an mod k的值 ，其中n<=109。
方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 function power(a,n:longint):longint; var x:longint; begin x:=1; for i:=1 to n do x:=x*a; power:=x; end;
时间效率不尽如人意….. 问题出现在哪里呢？？
方法2：分治策略
采用分治求解: ➢划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半； ➢递归求解：统计i和j均在左边或者均在右边的逆序对个数； ➢合并问题：统计i在左边，但j在右边的逆序对个数。
记数列a[st]~a[ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有：
三、分治的三步骤
①划分问题：将要解决的问题分解成若干个规模较 小的同类子问题；
②递归求解：当子问题划分得足够小时，求解出子 问题的解。
③合并问题：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
四、分治的框架结构
procedure Divide() begin
if 问题不可分 then //直接解决 begin 直接求解； 返回问题的解； end
答案是肯定的。假设在快速排序的“划分”结束后，数组 A[s..t]被分成了A[s..x]和A[x+1..t]，则可以根据左边的元素 个数x-s+1和k的大小关系，确定第k小的数在左边或右边， 然后递归求解即可。
可以证明，在期望意义下，程序的时间复杂度为O(n)。
例题3：求逆序对数目
给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,则 <i,j>就为一个逆序对。例如数组（3，1，4，5， 2）的逆序对有<3,1>,<3,2>,<4,2>,<5,2>。问题 是，输入n和A数组，统计逆序对数目。
很明显，此程序要超时。
方法2：分治算法
a2
andiv2 * andiv2
a
(
n1)
div
2
*
a(n1)div 2
*a
当n为偶数时 当n为奇数时
划分问题：如果n是偶数，则考虑x=n div 2 否则考虑x=(n-1) div 2
递归求解：计算ax。 合并问题：如果n是偶数，则an=(ax)2，否则an=(ax)2*a
1.5*10^9
题目分析
begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n); //按照从小到大快排 j:=1; for i:=2 to n+1 do //顺序扫描 if a[i]=a[i-1] then inc(j) else begin writeln(a[i-1],' ',j);j:=1;end;
求逆序对的方法：
求逆序对有多种方法， 目前使用比较广泛且实现 比较简单的主要有三种算法： 1、归并排序 2、线段树 3、树状数组
时间复杂度为O(nlogn)
练习:超车3063
有n辆车在同一个无限长的直道上匀速行驶，给出每辆车行 驶的速度和初始位置。任意两辆车的位置都不相同。如果 有两辆车A车和B车，A车在B车的后面，并且A车的速度比 B车的快，那么经过一段时间后，A车一定会超过B车。我 们称之为一次超车。那么请你计算超车总数。
N<=10000,M<=50
扩展知识：
下面提一个有趣的问题：如果数组中有多个元素都是x， 现在要查找x，则上面函数的返回的是哪一个的下标呢？
第一个？最后一个？都不是。 若在原数组中存在多个元素x，查找时返回它出现的第一
个位置。如果不存在，返回这样一个下标i：在此处插入x （原来的元素A[i]、A[i+1]，…全部往后移动一个位置）后 序列仍然有序。
NOIP基础算法讲解
分治策略
一、分治思想
分治法，又叫分治策略，顾名思义，分而治之。
它的基本思想：对于难以直接解决的规模较大的 问题，把它分解成若干个能直接解决的相互独立 的子问题，递归求出各子问题的解，再合并子问 题的解，得到原问题的解。
通过减少问题的规模，逐步求解，能够明显降低 解决问题的复杂度。
d(st,ed)=d(st,mid)+d(mid+1,ed)+F(st,mid,ed)
其中F(st,mid,ed)表示一个数取自a[st,mid]，另一个数取自 a[mid+1,ed]所构成的逆序对数目。
方法2：分治策略
和归并排序一样，划分和递归求解都好办，关键在于合并：如 何求出i在左边，而j在右边的逆序对数目呢？统计的常见技巧是 “分类”。我们按照j的不同把这些 “跨越两边” 的逆序对进行 分类：只要对于右边的每个j，统计左边比它大的元素个数f(j)， 则所有f(j)之和便是答案。
【扩展2】二分查找求上界，即最后一次出现位置的后一个位置
function Erfen(L,r,x:longint):longint; var mid:longint; begin
while(L<r)do begin
mid:=(L+r)div 2; if a[mid]<=x then L:=mid+1
【扩展1】二分查找求下界，即第一次出现的位置
function Erfen(L,r,x:longint):longint; var mid:longint; begin
while(L<r)do begin
mid:=(L+r)div 2; if a[mid]>=x then r:=mid
else L:=mid+1; end; Erfen:= L; end;
end.
例题2：第K小的数
输入n个整数和一个正整数k(1≤k≤n)，输入这些 整数从小到大排序后的第k个(例如，k=1就是最小 值)。n≤10^7。
题目分析
选第k小的数，最显然的方法是先排序，然后直接输出下 标为k的元素，但10^7的规模即使对于O(nlogn)的算法来 说稍微大了点。有没有更快的方法呢？
数据范围：1<=n<=1000000。
方法1：朴素算法
在看完试题以后，我们不难想到一个非常简单的算 法——举算法，即对数组中任意的两个元素进行 判断，看它们是不是构成“逆序对”，因此这种算 法的时间复杂度为O(N2)。 c:=0; for i:=1 to n -1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then c:=c+1;
方法2：分治算法
根据这个方法很容易写出程序： function power(a,n:longint):longint; begin
else begin 对原问题进行分治；//划分问题 递归对每一个分治的部分进行求解; //递归求解 归并整个问题，得出全问题的解; //合并问题
end; end;
五、分治的典型应用
1、求非线性方程的根 2、快速排序 3、归并排序 4、二分查找 5、快速幂 6、求解线性递推关系 7、棋盘覆盖问题 8、循环日程表问题
改为“if(a[i]>a[j])then
begin tot:=tot+mid-i+1;temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
题目分析
procedure MergeSort(left,right:longint)//归并排序 begin
if left=right then exit; //只有一个元素 mid:=(left+right)div 2; //找中间位 MergeSort(left,mid); //对左边归并 MergeSort(mid+1,right); //对右边归并 i:=left;j:=mid+1,p:=left; //合并左右 while(i<=mid and j<=right)do
元素0，可以用二分查找；
例题7：最大值最小化2976
把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列 （每个正整数恰好属于一个序列）。设第i个序列的 各数之和为S(i)，你的任务是让所有S(i)的最大值尽 量小。
例如序列：1 2 3 2 5 4，划分成3个序列的最优方案 为1 2 3|2 5|4，其中S(1)、S(2)、S(3)分别为6、7、 4，最大值为7；如果划分成1 2|3 2|5 4，最大值为9， 不如刚才好。
例题1：统计数字(NOIP2008)2000
给你n个自然数，每个数均不超过1.5*10^9。已知不相同 的数不会超过10000个，现在需要统计这些自然数各自出 现的个数，并按照从小到大的顺序输出统计结果。
数据范围： 40%的数据满足1<=n<=1000 80%的数据满足1<=n<=50000 100%的数据满足1<=n<=200000，每个数均不超过
else r:=mid; end; Erfen:= L; end;
例题5：范围统计
给出n个整数和m个询问，对于每个询问(a,b)，输 出在n个整数中，值在区间[a,b]内的整数个数。
算法步骤：
➢ ①先将n个整数从小到大排序； ➢ ②找大于等于a的第一个元素的下标L，即求a的下界； ➢ ③找小于等于b的最后一个元素的下一个下标R，即b的上界 ➢ ④Ans=R-L
数据规模 对于20%的数据，n<=300； 对于50%的数据，n<=3000； 对于100%的数据，n<=300000；
例题4:班级排名1904
给你HZH班上N名学生的姓名(字符串)，然后有M次 考试，每次考试的成绩也给你(形如：姓名 成绩)。
请你求出HZH每次考试后的名次。分数是累加的， 每次考试后，HZH的名次都有可能变动（名次取决 于前面所有考试的总分）。如果HZH和另一些同学 分数相等，他永远排在这些同学的前面。 对于并列 问题，采取以下方法处理： 如果A与B并列第一名,C 只比A、B的成绩低，那么C是第三名。
二、分治法的适用条件
能使用分治法解决的问题，它们一般具备以下几个特征： ①该问题可分解成若干相互独立、规模较小的相同子问题； ②子问题缩小到一定的程度就能轻易得到解； ③子问题的解合并后，能得到原问题的解；
分治法在信息学竞赛中应用非常广泛，使用分治策略能生成 一些常用的算法和数据结构，如快排、最优二叉树、线段树 等；还可以直接使用分治策略，解决一些规模很大、无法直 接下手的问题。
幸运的是，归并排序可以帮助我们“顺便”完成f(j)的计算：由 于合并操作是从小到大进行排序的，当右边的a[j]复制到temp中 时，左边还没有来得及复制到temp的那些数就是左边所有比a[j] 大的数。此时累加器中加上左边元素个数mid-i+1即可。
即把“if(a[i]>a[j])then begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(j);end
例题6：查找等值点
有n个不同整数从小到大排序后放在数组 A1~An中，是否存在i，使得Ai=i？若存在， 试找到此点。
题目分析
由于所有整数都不同，而且A以升序排列，因此 Ai+1-Ai>=1
取Bi=Ai-i，则Ai=i当且仅当Bi=0 Bi+1-Bi=Ai+1-(i+1)-(Ai-i)=Ai+1-Ai-1>=0 因此B也是从小到大排序的，在有序序列中查找
A[mid]和x的各种关系所带来的影响如下: ①.A[mid]=x：至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间变为[L,mid]。 ②.A[mid]>x：所求位置不可能在后面，但有可能是mid，因此区间变为
[L,mid]。 ③.A[mid]<x：m和前面都不可行，因此区间变为[mid+1,y]。
合并一下：A[mid]≥x时新区间为[L,mid]；A[m]<x时新区间为[mid+1,r]。