二次曲线的仿射理论-精品文档

从而, 两直径共轭两直径的斜率满足对合方程.
性质. 在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中, 直径与共 轭直径的对应是一个对合.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (2). 抛物线 利用中心坐标, 可直接写出的直径方程为 (a12,–a11,0)或(a22,–a12,0)
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
一、二阶曲线与无穷远直线的关系
l∞= 相异的实点 重合的实点 A 共轭的虚点
33
0 双曲型 抛物型 A33的符号仿射不变. 0 0 椭圆型
对非退化二阶曲线讨论：中心、直径与共轭直径、渐近线…
二、二阶曲线的中心
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 (1). 有心二阶曲线 (i) 的任一对共轭直径与l一起, 构成的一 个自极三点形. (ii) 的每一直径平分与其共轭直径平行的弦, 且平行于共轭直径与交点处的两切线. (2). 抛物线 (i) 的直径相互平行(l不是抛物线的直径). (ii) 的任一直径的极点为其与有穷远交点 处切线上的无穷远点. (iii) 的任一直径平分其与有穷远交点处切线 平行的弦. (XY, ZP)= –1. (iv) 抛物线没有共轭直径, 将被一直径平分的弦的方向称为该 直径的共轭方向.
无穷远直线的极点称为中心. 有心：(A31, A32, A33); 无心：(A31, A32, 0)或(a12,–a11,0)或(a22,–a12,0).
三、直径与共轭直径
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义
(1). 直径 (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 无穷远点P的有穷 一组平行弦中点的 远极线(过中心的通常 轨迹. 直线). l不是任何二阶曲线的直径！ (2). 共轭直径 (XY, ZP)= –1 仿射定义 解几定义 直径AB的共轭直 直径AB的共轭直径 径为AB上无穷远点P 为平行于AB的弦的中 的极线EF(相互通过对 点轨迹EF. 方极点的两直径). (3). 共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.
四、渐近线
1. 定义. 二阶曲线上无穷远点处的有穷远切线称为其渐近线. 注1. 等价定义：过中心的有穷远切线称为渐近线. 注2. 与渐近线平行的方向称为渐近方向. 实 双曲线 注3. 有两条 虚渐近线, 一对渐近方向；抛物线无渐近线. 椭 圆 从而Baidu Nhomakorabea 渐近线只对有心二阶曲线讨论.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
S S ( a ka ) ( a ka ) 0 . 12 22 11 12 x x 1 2 a S S 11k a 12 为l的斜率, 即 k ' k' 0. 其中 即 a x x2 12 k a 22 1
2 a kk ' a ( k k ' ) a 0 ( a a a A 0 ) ( 4 . 4 ) 22 12 11 11 22 12 33
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 (i) 直径的方程. 因为直径是以的中心为束心的线束中的直线. 以两特殊直径参数表示. 取两无穷远点(1,0,0), (0,1,0), 其极线(对 S 应的直径)方程为 0 x1 l x a x a x 0 1:a 11 1 12 2 13 3 即 S 从而任一直径l的方程为 l x a x a x 0 0 2:a 12 1 22 2 23 3 x2 S S l : k 0 , kR ( 4 . 3 7 ) x x 1 2 注: k的几何意义. (4.37)表示的直径l方程可改写为：
a 11 a x a x bx 0 ( b 为常数 ) 即 y x b . 11 1 12 2 3 a 12
或者
a 12 a x a x bx 0 ( b 为常数 ) 即 y x b . 12 1 22 2 3 a 22
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
S S S 1 k 0 0 x x x 1 2 3
这说明l为(1,k,0)的极线. 而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点, 从 而, (4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率).
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
三、直径与共轭直径
1. 定义 2. 性质 3. 直径的方程 (1). 有心二阶曲线 S S (ii) 两直径共轭的条件. 设直径 l : k 0的共轭直径为l'. x x2 1 则l'为l上的无穷远点(a12+ka22,–(a11+ka12),0)的极线. 从而l'的方程为
: S a x x 0( a ) , | a 0 , A 0 i j i j i ja j i i| j 33
i , j 1 3
( 1 )
求Γ的渐近线方程.
§ 4.6 二次曲线的仿射理论
四、渐近线
3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线
3
: S a x x 0( a ) , | a 0 , A 0 i j i j i ja j i i| j 33
四、渐近线
双曲线 双曲型对合
1. 定义 椭 圆 椭圆型对合 2. 性质 (1). 渐近线是自共轭的直径. (2). 在以二阶曲线的中心为束心的线束中, 渐近线是对合 2 a kk ' a ( k k ' ) a 0 ( a a a A 0 ) ( 4 . 4 ) 22 12 11 11 22 12 33 的两条不变直线. (3). 有心二阶曲线的两渐近线调和分离其任一对相异的共轭 直径. 3. 求渐近线方程 设已知有心二阶曲线