2014年方田教育初一尖端班选拔考试数学试卷(样卷)

3、设 loga 2 m ， log a 3 n ，求 a 2m n 的值．
例题： （1）计算： a m a n （ m 、 n 为自然数）
（2）猜想 log 2 4 、 log 2 16 、 log 2 64 之间满足怎样的关系式？
loga (M N ) 、 log a N 、 log a M （ a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N 0 ）之间又满足怎样
BC 12 BC 12 . ， tan A AC 5 AB 13
12 5 144 25 ⑵∵ sin 2 A ( )2 ， cos2 A ( )2 ， 13 13 169 169
∴ sin 2 A cos2 A ⑶∵ cos B
25 144 1 169 169
C. 互余
C 1
D. 互补
O
b c ， d c ， d a ， b ；； ② 求证： a ，
用字母 a ， b， C 对应的数，则 c 依次表示 A ，B ， A.
1 1 1 ab b a c
B.
1 1 1 b a ab c
1 1 1 ， ， 的大小关系是 ab b a c 1 1 1 C. c ab b a
D. 相等
a ，b
D. 3 个
1 2
n
a ， b a ， b … a ， b ．
n个
1 1， 1 ，求满足条件的有序数对 x ，y ； ①若有理数 x ，y 满足 1，y x ，
B. 和为 45
A -1 2 3 1 3 图1 B 0
材料 1：
一般地， n 个相同的因数 a 相乘： a a a a ，记为 a n ，如 24 16 ，
n个
材料 2：在等式 24 16 中，4 叫做以 2 为底 16 的对数，记为 log 2 16 （即 log2 16 4 ）
一般地，若 a n b （ a 0 且 a 1 ， b 0 ），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数， 记为 log a b （即 log a b n ）
3、 A 为锐角，且满足 sin A 3 cos A ，求 sin A cos A 的值.
5 . 13
A
AC 5 ， AB 13
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B
C
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代数认知题目
对数函数：
2、证明： log a
M log a M log a N （ a 0 ，且 a 1 ， M 0 ， N 0 ） N
10. 已知 x 0 z ， xy 0 ， y z x ，那么 x z y z x y ____________． 11. 若不等式 x 4 2 x 4 x 1 ≥ a 对于任意 x 均成立，则 a 的最大可能值是___________． 12. 已知三个非负数 a ， b， c 满足 3a 2b c 5 ， 2a b c 1 ，若 m 3a b 8c ，则 m 的最大值与最小值之 差为____________．
1．本试卷满分 100 分+10 分书写习惯分。考试时间 120 分钟。 2．答题前，请考生务必用蓝、黑色字迹的圆珠笔、签字笔或钢笔在试卷和答题纸上准 确填写姓名和学员编号。 3．请将所有题目的答案写在对应题号的后面，除画图外，请不要用铅笔答题。 4．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回。
三、解答题（本题共 14 分）
QQ 群 98302663 联系电话：65103992 8. 如图，线段 AB 2BC ， DA
绝密★启用前
3 AB ， M 是 AD 的中点， N 是 AC 的中点， 2
D
M
A
N B
C
若 NB 1 ，则 CD 的长为_____________．
2014 年方田教育初一尖端班选拔考试
数
学
试
卷
4 x y k 1 9. 若方程组 的解满足 1 x y 2 ，则 k 的取值范围是______________． x 2 y 3
考试时间：2015 年 1 月 1 日 上午 10:00～12:00 姓名_____________________ 考 生 须 知 准考证号________________________
BC 12 ， AB 13 ∴ sin A cos B .
勾股定理现发现约有 500 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 我们会在以后的课堂中学习它的证明方法。 例题：在直角 ABC 中， AC 3cm ， AB 5cm ，求 BC 。 【解析】因为 AC 2 BC 2 AB 2 ，所以 BC 2 AC 2 AB2 16cm2 ， BC 4cm
的关系式？ 并证明。
代数认知解答题 （共 25 分，解答题请仿照例题写出解答过程） 1、填空： （1）
am an
n
（ m n 、且均为自然数）； （ m 、 n 为自然数）．
（2） a m
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BC 对边 ． AB 斜边
C
A
AC 邻边 ． AB 斜边 BC 对边 ． AC 邻边
B C
2、已知 t
sin A cos A 的值。 1 tan A 1 tan A
锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做 A 的锐角三角函数． 从定义中可以看出： ① 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意三角形随便套用． ② sin A 、 cos A 、 tan A 分别是正弦、余弦、正切的数学表达符号，是一个整体， 不能理解为 sin 与 A 、 cos 与 A 、 tan 与 A 、 cot 与 A 的乘积． ③ sin A sin A sin 2 A 【例1】 如图，在直角 ABC 中， C 90 ， cos A ⑴求 sin A 、 tan A 的值； ⑵求 sin 2 A cos2 A 的值； ⑶比较 sin A 与 cos B 的大小. 【解析】⑴∵ C 90 ， cos A
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几何认知题目
知识点一：勾股定理 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的长的平方和等于斜边长的平方 如图，在直角 ABC 中，根据勾股定理可得： AC BC AB
2 2 2
∴设 AB 13 k， AC 5 k，根据勾股定理可得， BC 12 k， ∴ sin A
13. （本题满分 6 分）已知 a、b 均为整数， x 是正整数，若 17 能被（a-5b+3）整除，也能被（10a+b+x）整除， 求 x 的最小值．
一、选择题（本题共 18 分，每小题 3 分）
1.
a 2011 20112012
2012
是
A. 正数 B. 非正数 C. 负数 D. 非负数 2. 下面说法中不正确的是 A. 有最小的自然数 B. 没有最小的正有理数 C. 没有最大的负整数 D. 没有最大的非负数 3. 已知 a ， b， c， m 都是有理数，并且 2010a 2011b 2012c m ， 2010a 2012b 2013c m ，则 b 与 c A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 互为负倒数 4. 有四种说法： ⑴ 正数的平方不一定大于它本身；⑵ 正数的立方不一定大于它本身； ⑶ 负数的平方不一定大于它本身；⑷ 负数的立方不一定大于它本身． 这四种说法中，不正确的说法的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 5. 如图， 1 2 ，那么 2 与 A. 和为 22.5 6. 观察图中的数轴：
1 1 2 之间的关系是 2
b ，当 a b 时，显 14. （本题满分 8 分）两个有理数 a ， b 按一定次序排在一起称为一个有序数对，记为 a ，
b c ， b b ， d ac bd ， bc ad ，记 a ．我们对有序数对定义运算 ： a ， 然 a ，
D.
1 1 1 c b a ab
二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）
1 1 2011 3 7. 计算： 24 2011 2012 7 9 _____________． 3 2 2
几何认知解答题 （共 25 分，解答题请仿照例题写出解答过程） 24 1、直角 ABC 中， C 90 ，若 sin A ， 25 则 cos A ； tan A 。
A
B
知识点二：锐角三角函数 锐角三角函数的定义是在直角三角形中给出的，如图，在直角 ABC 中， 1、正弦：记作 sin A ，即 sin A 2、余弦：记作 cos A ，即 cos A 3、正切：记作 tan A ，即 tan A