2022年上海初三数学一模(期末)压轴题模拟汇编 第23题精选30道-相似三角形综合问题(解析版)

压轴第23题精选30道-相似三角形综合问题（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD 中，将△ABE 沿着BE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，再将△DEG 沿着EG 翻折，使点D 落在EF 边上的点H 处．
若点A ，H ，C 在同一直线上，AB=1，则AD 的长为（ ）
A
．32
B C D
【答案】B
【分析】 首先通过折叠的性质得出四边形ABFE ，EDGH 都是正方形，然后设GH x =，根据平行线分线段成比例得出
GH CG AD CD
=，从而可求出x 的值，然后AD 的长度可求． 【详解】
连接AC ，
△四边形ABCD 是矩形，
△1,90CD AB EAB ABF EDG ==∠=∠=∠=︒
由折叠的性质可知，,,90,90AB BF DG GH BFE EAB EHG EGD ==∠=∠=︒∠=∠=︒
,90AB BF EAB ABF BFE =∠=∠=∠=︒，
△四边形ABFE 是正方形，
90,1AEF AE AB ∴∠=︒== ，
90DEH ∴=︒ ．
,90DG GH DEH EHG EDG =∠=∠=∠=︒，
△四边形EDGH 是正方形，
//,AD GH GH DG ED ∴==，
GH CG AD CD
∴= ． 设GH x = ，
111
x x x -∴=+ ，
解得x = 或x =，
1AD x ∴=+=
． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查正方形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的判定及性质和平行线分线段成比例是解题的关键．
2．如图，四边形ABCD 为菱形，BF△AC ，DF 交AC 的延长线于点E ，交BF 于点F ，且CE ：AC ＝1：2．则下列结论不正确的有（ ）
A ．△ABE△△ADE ；
B ．△CBE ＝△CDF ；
C ．DE ＝FE ；
D ．S △BC
E ：S 四边形ABFD ＝1：9
【答案】D
【分析】 由四边形ABCD 为菱形，AB =AD ，△BAC =△DAC ，可证()ABE ADE SAS ∆∆≌可判定A ；由ABE ADE ∆∆≌，可得△ABE =△ADE ，由四边形ABCD 为菱形，可得△ABC =△ADC ，利用等角之差△CBE =△CDE ，可判定B ；连结BD 交AC 于O ，四边形ABCD 为菱形，可得BD =2OD ，
可证△DOE △△DBF ，可证2DF DE =，可判定C ；根据OE 为△DBF 的中位线，
△DOE △△DBF ，可得4DBF DOE S S ∆∆=，由CE ：AC ＝1：2．可得S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，S △DOE =2S △BCE ，可求10BCE ABFD S S ∆=四可判定D ．
【详解】
解：△四边形ABCD 为菱形，
△AB =AD ，△BAC =△DAC ，
△在△ABE 和△ADE 中，
AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△()ABE ADE SAS ∆∆≌
故选项A 正确；
△ABE ADE ∆∆≌
△△ABE =△ADE ，
△四边形ABCD 为菱形，
△△ABC =△ADC ，
△△CBE =△ABE -△ABC =△ADE -△ADC =△CDE ，
故选项B 正确；
连结BD 交AC 于O ，
△四边形ABCD 为菱形，
△DO =BO ，OE △BD ，
△BD =2OD ，
△BF∥AE ，
△△DOE =△DBF ，△DEO =△F ，
△△DOE △△DBF ， △12
DO DE DB DF ==， △2DF DE =，
△2DF EF DE DE =+=，
△EF DE =，
故选项C 正确；
△DO =OB ，DE =EF ，
△OE 为△DBF 的中位线，
△BF =2OE ，
△△DOE △△DBF ， △2
14
DOE DBF S OE S BF ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ △4DBF DOE S S ∆∆=
△CE ：AC ＝1：2．
△AC =2CE ，
△AO =OC =CE ，
△S △BOA =S △BOC =S △BCE =S △ADO ，
△S △DOE =2S △BCE ，
△2410ABD DBF BCE DOE BCE ABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四
故选项D 不正确．
故选择D ．
【点睛】
本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键．
3．如图，在Rt ABC ∆
中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延
长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43
FA EA =时，BC '的长为（ ）
A
B．C D．
【答案】D
【分析】
如图，连接CC′，过点C′作C′H△EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT△EF于N，过点D作DM△EC于M．证明△CC′B=90°，求出CC′，BC即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接CC′，过点C′作C′H△EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT△EF于N，过点D作DM△EC于M．
△△F AE=△CAB=90°，
4
3 FA
AE
，
△EF：AF：AE=5：4：3，
△C′H△AF，
△△EAF△△EHC′，
△EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，
设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，
由翻折可知，△AEN=△TEN，
△NA△EA，NT△ET，
△△NAE=△NTE，
△NE=NE，
△△NEA△△NET（AAS），
△AN=NT，EA=ET，
设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在Rt△FNT中，△FN2=NT2+FT2，
△（4m-x）2=x2+（2m）2，
解得x=3
2 m，
△AC=AB△CAB=90°，
△BC
AC
△CD=BD
△DM△CM，△DCM=45°，△CM=DM
△AN△DM，
△AN EA DM EM
=，
△
3
1
2
32
m
AN DM
EA EM m
===，
△EM
△EC
k，
△k=，
△CH C H'
==
△CC'==
△DC=DC′=DB，
△△CC′B=90°，
△BC'==
故选：D．
【点睛】
本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
4．如图，正方形ABCD边长为8，E为AD中点，线段PQ在边DC上从左向右以1个单位/秒的速度运动，3
PQ=，从P点与D点重合时开始计时，到Q点与C点重合时停止，设运动时间为t秒，连结BE EP BQ
､､，在运动过程中，下列4个结论：△当1
t=时，BAE BCQ
≌；△只有当
5
3
t=时，以点E D P
､､构成的三角形与BCQ
△相似；△四边形EPQB的周长最小等
于16+△四边形EPQB的面积最大等于38．其中正确的有（）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【分析】 根据“SAS ”即可判断△；根据相似三角形的性质，列出比例式，即可判断△，用含t 的代数式表示出EP + BQ ，结合两点间的距离公式以及对称性，即可求出EP + BQ 的最小值，进而即可判断△；用含t 的代数式表示四边形EPQB 的面积，结合05t ≤≤，即可判断△．
【详解】
解：由题意得：当1t =时，CQ =8-3-1=4，AE =12AD =12×8=4，
△AE =CQ ，
△在正方形ABCD 中，△A =△C =90°，AB =CB ，
△BAE BCQ ≌，故△正确；
△△D =△C =90°，
△点E D P ､､构成的三角形与BCQ △相似时，
ED BC DP CQ =或ED CQ DP BC =， △4883t t =--或4838t t --=，解得：53
t =或无解， △△正确；
△EP =BQ
△EP + BQ 可以看作是点(t ，0)到点(0，4)与点(5，8)的距离之和，
△EP + BQ 的最小值=点(0，-4)与点(5，8)的距离13=，
△四边形EPQB 的周长最小值=BE +PQ 16+ 故△正确；
△四边形EPQB 的面积=11188222
AB AE DE DP QC BC ⨯-⋅-⋅-⋅= ()11641645822
t t --⋅--⨯=228t +， 又△05t ≤≤，
△四边形EPQB 的面积最大值=252838⨯+=，
故△正确．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，相似三角形的性质以及两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式以及相似三角形的性质是解题的关键．
5．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 、F 分别在矩形的边AB 、AD 上，将矩形纸片沿CE 、CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C 、H 、G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（ ）
A ．2
B ．74
C ．2
D ．3
【答案】A
【分析】 构造如图所示的正方形CMPD ，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP 即可．
【详解】
如图，延长CE ，FG 交于点N ，过点N 作//l AB ，延长,CB DA 交l 于,M P ，
△△CMN =△DPN =90°，
△四边形CMPD 是矩形，
根据折叠，△MCN =△GCN ，CD =CG ，DF FG =，
△△CMN =△CGN =90°，CN =CN ，
△Rt MNC Rt GNC ∆≅∆，
△6CM CG CD ===，MN NG =
∴四边形CMPD 为正方形，
//BE MN
△CBE CMN ， △4263
BE CB MN CM ===， 2BE =，3MN ∴=，
3NP ∴=，
设DF x =,则4AF x =-， 在Rt PNF 中，由222FP NP NF +=可得222(42)3(3)x x -++=+
解得2x =；
故选A ．
【点睛】
本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．
6．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，D 、E 为线段AC 上两动点，且30DBE ∠=︒，过点D 、E 分别作AB 、BC 的平行线相交于点F ，分别交BC 、AB 于点H 、G ．现有以下结
论：△ABC S △当点D 与点C 重合时，12FH =；△AE CD +=；
△当AE CD =时，四边形BHFG 为菱形，其中正确结论为（ ）
A ．△△△
B ．△△△
C ．△△△△
D ．△△△
【答案】B
【分析】 过A 作AI △BC 垂足为I ，然后计算△ABC 的面积即可判定△；先画出图形，然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定△；如图将△BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到△ABN ，求证NE =DE ；再延长EA 到P 使AP =CD =AN ，证得△P =60°，NP =AP =CD ，然后讨论即可判定△；如图1，当AE =CD 时，根据题意求得CH =CD 、AG =CH ，再证明四边形BHFG 为平行四边形，最后再说明是否为菱形．
【详解】
解：如图1, 过A 作AI △BC 垂足为I
△ABC 是边长为1的等边三角形
△△BAC =△ABC =△C =60°，CI =1212BC =
△AI
△S △ABC =
11122AI BC =⨯=故△正确；
如图2，当D 与C 重合时
△△DBE =30°，ABC 是等边三角形 △△DBE =△ABE =30°
△DE =AE =1122AD = △GE //BD △1BG DE AG AE
== △BG =1122
AB = △GF //BD ,BG //DF △HF =BG =12,故△正确；
如图3，将△BCD 绕B 点逆时针旋转60°得到△ABN △△1=△2，△5=△6=60°，AN =CD ,BD =BN
△△3=30°
△△2+△4=△1+△4=30°
△△NBE=△3=30°
又△BD=BN，BE=BE
△△NBE△△DBE（SAS）
△NE=DE
延长EA到P使AP=CD=AN
△△NAP=180°-60°-60°=60°
△△ANP为等边三角形
△△P=60°，NP=AP=CD
如果AE+CD成立，则PE,需△NEP=90°，但△NEP不一定为90°，故△不成立；
如图1，当AE=CD时，
△GE//BC
△△AGE=△ABC=60°，△GEA=△C=60°
△△AGE=△AEG=60°，
△AG=AE
同理：CH=CD
△AG=CH
△BG//FH,GF//BH
△四边形BHFG是平行四边形
△BG=BH
△四边形BHFG为菱形，故△正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等
知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
7．如图，在正方形ABCD 中，M 是AB 上一动点，E 是CM 的中点，AE 绕点E 顺时针旋转90°得EF ，连接DE ，DF ，CF ．下列结论：△DE EF =；△45CDF ∠=︒；△AEM FEC ∠=∠；△45BCM DCF ∠+∠=︒．其中结论正确的序号是（ ）
A ．△△△
B ．△△△
C ．△△△
D ．△△△
【答案】D 【分析】
延长AE 交DC 的延长线于点H ，由“AAS ”可证△AME △△HCE ，可得AE =EH ，由直角三角形的性质可得AE =EF =EH ，可判断△；由四边形内角和定理可求2△ADE +2△EDF =270°，可得△ADF =135°，可判断△；M 为AB 上动点，△AEM 为动态变化的角，可判断△ ；连接AC ，证明△DCF △△ACM ，即可得到△DCF =△ACM ，即可判断△． 【详解】
解：如图，延长AE 交DC 的延长线于点H ，
△点E 是CM 的中点， △ME =EC ， △AB △CD ，
△△MAE =△H ，△AME =△HCE ，
△△AME△△HCE（AAS），
△AE=EH，
又△△ADH=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，△DE=AE=EH，
△AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
△AE=EF，△AEF=90°，
△AE=DE=EF，故△正确；
△AE=DE=EF，
△△DAE=△ADE，△EDF=△EFD，
△△AEF+△DAE+△ADE+△EDF+△EFD=360°，
△2△ADE+2△EDF=270°，
△△ADF=135°，
△△CDF=△ADF-△ADC=135°-90°=45°，故△正确；
假如△正确，则△AEM=△FEC=(180°-△AEF)÷2=45°，为确定的大小，由于M为AB上动点，则△AEM为一个动态变化的值，故△错误；连接AC，过PE△AD，FN△PE交CD于Q点，如下图所示：
△△FEN+△AEP=90°，△EAP+△AEP=90°，
△△FEN=△EAP，
且△APE=△ENF=90°，EA=EF，
△△APE△△ENF(AAS)，
△AP=NE，
△AM△PE△DC，且E是MC的中点，
△PE是梯形AMCD的中位线，
△
111111
()
222222
PE AM CD AM CD AM AD AM AP，
又PE =PN +NE ， △PN =1
2AM ，
又PN =DQ ，△QDF =45°，△DQF =90°， △△DQF 为等腰直角三角形，
△DF ，
△DF
AM
在等腰直角△ACD 中，22
DC AC
， △DF AM
DC
AC
， 且△CDF =△MAC =45°， △△CDF △△CAM ， △△DCF =△MCA ，
△BCM ∠+△MCA =△BCM +△DCF =△BCA =45°，故△正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，旋转的性质，梯形中位线的定理等知识，综合性较强，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 8．如图，点P 是函数()1
10,0k y k x x
=
>>的图像上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数()2
20,0k y k x x
=
>>的图像于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中12k k >，下列结论：△//CD AB ；△122
OCD
k k
S
-=；△()2
12
1
2DCP
k k S
k -=，其中正
确的是（ ）
A ．△△
B ．△△
C ．△△
D ．△
【答案】B 【分析】 设P （m ，
1
k m ），分别求出A ，B ，C ，D 的坐标，得到PD ，PC ，PB ，P A 的长，判断PD PB
和PC
PA
的关系，可判断△；利用三角形面积公式计算，可得△PDC 的面积，可判断△；再利用OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△计算△OCD 的面积，可判断△．
【详解】
解：△PB △y 轴，P A △x 轴，点P 在1k y x =上，点C ，D 在2k
y x
=上， 设P （m ，1
k m
）， 则C （m ，
2k m ），A （m ，0），B （0，1k m
），令12k k m x =，
则21
k m x k =，即D （21k m k ，1k
m ），
△PC =
12k k m m -=12
k k m -，PD =21
k m m k -=()121m k k k -，
△()
121121
m k k k k k PD PB m k --==，12
1211k k k k PC m k PA k m
--==，即PD PC
PB PA
=， 又△DPC =△BP A ， △△PDC △△PBA ， △△PDC =△PBC ， △CD △AB ，故△正确；
△PDC 的面积=1
2PD PC ⨯⨯=()1212112m k k k k k m --⨯⨯=()2
121
2k k k
-，故△正确；
OCD OAPB OBD OCA DPC S S S S S =---△△△△
=()1
1222
122211
2k k k k k k ----
=()2
12
1
12
2k k k k k ---
=()()2
1121112222k k k k k k k ---
=()22
11221
1222k k k k k k ---
=221212k k k -，故△错误；
故选B ． 【点睛】
此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k 的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．
9．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0)，点D 的坐标为(0,2)，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，正方形2021202120212020A B C C 的面积为（ ）
A ．2021
352⎛⎫ ⎪
⎝⎭
B ．2020
954⎛⎫ ⎪
⎝⎭
C ．4040
954⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．4042
352⎛⎫ ⎪
⎝⎭
【答案】D 【分析】
根据相似三角形对应边成比例得到的正方形的边长，进而表示正方形的面积，然后观察得到的正方形的面积即可得到规律，从而得到结论． 【详解】
解：△正方形ABCD 的点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，2），
△OA ＝1，OD ＝2，AD =1
2
OA OD =， 延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ， △△AA 1B △△DAO ， △
11
2
A B AB =，
△AD ＝AB =
△A 1B =
△第1个正方形的面积为：S 1＝A 1C 22＝5•（32
）2；
同理可得，A 2C 2122
第2个正方形的面积为：S2＝5•（3
2
）4
…
第n个正方形的面积为：S2＝5•（3
2
）2n
△第2021个正方形的面积为：S2021＝5•（3
2
）4042．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到的正方形面积寻找规律．
10．如图，ABC中，△C=90o，BC＝8，AC＝6，点P在AB上，AP=3.6，点E从点A出发，沿AC运动到点C，连接PE，作射线PF垂直于PE，交直线BC于点F，EF的中点为Q，则在整个运动过程中，线段PQ扫过的面积为（）
A．8B．6C．9
4
πD．
25
16
π
【答案】B
【分析】
连接CQ，PQ，证明点Q在CP的垂直平分线上，连接CP，作CP的垂直平分线交BC于M，交AC于N，即点Q在MN上，可得PQ扫过的面积为△PMN的面积，证明△ABC△△ACP，得到MN△AB，再证明△CMN△△CBA，得到相似比，求出△CMN的面积即可得解．
【详解】
解：连接CQ，PQ，
△△ACB=90°，PE△PF，Q为EF中点，
△PQ =CQ =1
2EF ，
△点Q 在CP 的垂直平分线上，
如图，连接CP ，作CP 的垂直平分线交BC 于M ，交AC 于N ，即点Q 在MN 上， △PQ 扫过的面积为△PMN 的面积， △△ACB =90°，AC =6，BC =8，
△AB ， △AP =3.6， 则
3
5
AP AC AC AB ==，又△C =△C ， △△ABC △△ACP ，
△△APC =△ACB =90°，即CP △AB ， △MN △CP ， △MN △AB ，
△△CMN △△CBA ，又MN 垂直平分CP ， △
1
2
CM CN CB CA ==，且△CMN 和△PMN 的面积相等， △S △PMN =S △CMN =14
S △ABC =11
6842⨯⨯⨯=6，
故选B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是推出点Q 的路径，得到点Q 在CP 的垂直平分线上．
二、填空题
11．如图，菱形111OA B C 中，1160AOC ∠=︒，1B 坐标为()2,0，再以1B 为对称中心作菱形222OA B C ，再以2B 为对称中心作菱形333OA B C ，按此规律继续作下去，得到菱形n n n OA B C ，则n A 的坐标为_______．
【答案】12n -⎛ ⎝ 【分析】
连接22A C ，33A C ，先根据已知条件结合菱形的性质求出1122OB B B ==，根据勾股定理求出21A B 的长，再由相似三角形求出23122B A =B A ，继续求解找出规律即可得出结论．
【详解】 解：如下图所示：
根据菱形的性质可知：
连接22A C 必过1B 点，且2190A B O ∠=︒，
同理可得3290A B O ∠=︒，……，190n n A B O -∠=︒， △1B 为菱形222OA B C 的对称中心， △1122OB B B ==，
在12Rt OB A △中，2130A OB =︒∠，
根据勾股定理可得，21A B =
△1223OB A OB A △∽△且112OB B B =， △212OB =OB ，322OA =OA ，23122B A =B A ，
同理可得：2
34231222B A =B A =B A ，
2345342312222B A B A =B A =B A =，
……
1
232
2
1213243122322222
2
333
n-n n n-n n-n n-n-n-n B A =B A =B A =B A ==B A ==----， 根据勾股定理可得：1
2
n n OB =- ，
△n A 的坐标为12n -⎛ ⎝
故答案为：12n -⎛ ⎝ 【点睛】
本题考查菱形的性质、规律型-点的坐标，相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，属于中考常考题型．
12．已知：如图，在Rt ABC 中，点1D 是斜边AB 的中点，过点1D 作11D E AC ⊥于点1E ，连接1BE 交1CD 于点2D ；过点2D 作2DE AC ⊥于点2E ，连接2BE 交1CD 于点3D ；过点3D 作33D E AC ⊥于点3E ，…，如此继续，可以依次得到点4D ，5D ，…，n D ，分别记11BD E ，
22BD E △，33BD E △，…，n n BD E △的面积为1S ，2S ，3S ，…，n S 设ABC 的面积为1，则n S =______
（用含n 的代数式表示）.
【答案】
2
1(1)n +
【分析】
先利用相似三角形的性质求出11CD E ，再根据三角形中线的定义可得11BD E 的面积等于11CD E 的面积，同理求出22BD E △，33BD E △的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
解：1190,ACB D E AC ∠=︒⊥，
11//D E BC ∴，
11A D C E B C ~∴，1122D E D CBD ~，
112
11CD E ABC
D E BC S S
⎛⎫=∴
⎪⎝⎭
，
点1D 是斜边AB 的中点，
1112D E BC ∴=
（三角形中位线定理）， 11
21124CD E ABC S
S ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴=，即1114B D C E A C S S =，
又11//D E BC ，
11CD E ∴与11BD E 同底等高，
1111121142BD E CD E ABC ABC S S S S S ∴====，
又
1122D E D CBD ~， 1211212
E D D E BD BC ∴==， 12113
E D BE ∴=， 2290,ACB D E AC ∠=︒⊥，
22//D E BC ∴，
22122211,3
D E E D ABC BC BE CD E ∴==~， 22
222213A D E BC C D E B S S C ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴，即22213AB C C D E S S =，
又22//D E BC ，
22CD E ∴与22BD E △同底等高， 222222
13BD E C E BC D A S S S S ===∴， 同理可得：33333214BD E CD E ABC S S S S ===，
归纳类推得：21(1)n ABC S S n =+，其中n 为正整数，
ABC 的面积为1，
2
1(1)n n S ∴=+， 故答案为：
2
1(1)n +． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心
的位似图形，且位似比为1
2，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，延长A 3C 2交射线OB 1于点B 3，以A 3B 3为边作正方形A 3B 3C 3A 4；延长A 4C 3，交射线OB 1于点B 4，以A 4B 4为边作正方形A 4B 4C 4A 5；．．．按照这样的规律继续作下去，若OA 1＝1，则正方形A 2021B 2021C 2021A 2022的面积为____________．
【答案】40402.
【分析】
由正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为12，可得111122221,2
OA OB A B OA OB A B ===再求解212112,1,OA A A A B ===证明1145,AOB ∠=︒从而可得2222,OA A B == 23334442,82,A B A B ==== 总结规律得：12,n n n A B -=再利用规律及正方形的面积公式可得答案.
【详解】 解： 正方形A 1B 1C 1A 2与正方形A 2B 2C 2A 3是以O 为位似中心的位似图形，且位似比为1
2， 111122221,2
OA OB A B OA OB A B ∴=== 11,OA =
212112,1,OA A A A B ∴=== 1145,A OB ∴∠=︒
2222,OA A B ∴== 23334442,82,
A B A B ===
=
12,n n n A B -∴=
2020202120212,A B = ()20212021202120222
2020404022.A B C A S ∴==正方形 故答案为：40402.
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质，正方形的性质，位似图形的性质，掌握由具体到一般推导数学规律并运用规律是解题的关键.
14．如图，函数k y x
=（k 为常数，0k >）的图象与过原点O 的直线相交于A 、B 两点，点M 是第一象限内双曲线上的动点（点M 在点A 的左侧），直线AM 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连接BM 分别交x 轴、y 轴于点E 、F ．若25MF MB =，则MD MA
= ________．
【答案】2
【分析】
过A 作AG △y 轴于G ，MH △y 轴于H ，过B 作BN △y 轴于N ，由点A ，B 关于原点对称，可得OA =OB ，AG =BN ，可证MHF BNF △∽△，可求
23MH MF BN FB ==，可得23MH MH AG BN ==，由2=3DM HM DA GA =，可求2DM AM
=即可 【详解】
解：过A 作AG △y 轴于G ，MH △y 轴于H ，过B 作BN △y 轴于N ，如下图：
△
25MF MB = △23
MF BF = 由题意可得：点A ，B 关于原点对称，
△OA =OB ，AG =BN ，
△BN △y 轴，MH △y 轴，AG △y 轴
△////BN MH AG
△MHF BNF △∽△，DHM DGA △∽△ △
23MH MF BN FB ==，DM HM DA AG = △
23MH MH AG BN ==， △23
DM MH DA AG ==， △23DM DA = 2MD DM MA DA DM
==- 故答案为2．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
15．如图在矩形ABCD 中，点E 是线段AB 上一点，且满足5AE ＝13BE ，将AED 沿ED 所在直线翻折，点A 恰好落在线段BC 上点A '处，连接AC 交线段A D '于点M ，若AB 的长为9，则A MC 的面积为_______．
【答案】7516
【分析】
根据5AE ＝13BE ，AB ＝9，得132AE =，52BE ＝，在Rt △A 'BE 中，由勾股定理得A 'B ＝6，易证△BEA '△△CA 'D ，得CA '＝154
，可求出S △A 'CD ，又△AMD △△CMA '，则 135DM AD A M A C ==''，从而有S △A 'CM ＝518
S △A 'CD ，代入计算即可． 【详解】
解：△5AE ＝13BE ，AB ＝9， △213118113398AE AB =⨯=＝，559185182
BE AB =⨯=＝， △将△AED 沿ED 所在直线翻折得△A 'ED ，
△A'E＝AE＝13
2
，△EA'D＝90°，
在Rt△A'BE中，由勾股定理得：
A'B
6，
△△BA'E+△DA'C＝90°，△BA'E+△BEA'＝90°，△△DA'C＝△BEA'，
△△BEA'△△CA'D，
△BE A B A E
=
CA CD A D
''
=
''
，
△
513
6
22
9
=
CA A D
=
''
，
△CA'＝15
4
，A'D＝AD＝
39
4
，
S△A'CD＝1115135
9
2248
A C CD
'=⨯⨯=，
△AD△A'C，
△△AMD△△CMA'，
△
39
13
4
155
4
DM AD
A M A C
===
''
，
△S△A'CM＝
5
18
S△A'CD＝
513575
18816
⨯=．
故答案为：75 16
．
【点睛】
本题主要考查了翻折的性质、三角形相似得到判定与性质、勾股定理等知识，求出S∥A'CD 是解题的关键．
16．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90︒得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．如果AB=2，PF平分DFB
∠，则BF=_______．
【答案】1
2
【分析】
如下图所示，过点P 作DE 的垂线交于点G ，则PGF PBF ≌，得到PG PB =，再进一步证明DPF DAP ≌，得到PG AP =，则点P 是AB 的中点，且AB =2，得到AP =PB =1，通过△PBF △△DAP ，即可得到结果．
【详解】
解：过点P 作DE 的垂线交于点G ，
△PF 平分DFB ∠，PG DF ⊥，PB BF ⊥,
△GFP BFP =∠∠，PG PB =，
在PGF 和PBF △中，
GFP BFP PGF PBF PG PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△PGF △PBF △（AAS ）
△PG PB =，
又△PD 绕点P 顺时针方向旋转90︒得到线段PE ，
△90DPF ∠=︒，
△GFP BFP=DPA =∠∠∠，
由直角三角形中的互余关系可得，
ADP GDP ∠=∠，
在DAP 和DGP 中，
ADP GDP DAP DGP DP DP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
△DAP △DGP （AAS ）
△PG AP =，
则=AP PB ，
△AB =2，
△AP =PB =1，
△FB △AB ，DA △AB ，
△90DAP FBP ==︒∠∠，
又△BFP=DPA ∠∠
△△PBF △△DAP ， △PB BF DA AP
＝， △PB =AP =1，DA =2，
△BF =1
2． 故答案为：12．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定与性质，利于互余关系推导出三角形全等与相似是解题的关键．
17．黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，
．如图，在正方形ABCD 中，点G 为边BC 延长线上一动点，连接AG 交对角线BD 于点H ，△ADH 的面积记为S 1，四边形DHCG 的面积记为S 2．如果点C 是线段BG 的黄金分割点，则12
S S 的值为___． 352
或． 【分析】
由AD △BC ，得△DHG 的面积＝△AHB 的面积，再由△AHB △△CHB （SAS ），得出S
2＝△GBH
的面积，然后证△ADH △△GBH ，得
12S S ＝2()AD GB ，分两种情况：△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＞CG ，则BC
；△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＜CG ，则BC
＝BG ；分别求解即可． 【详解】
解：△四边形ABCD 是正方形，
△AB ＝CB ，AD △BC ，△ABH ＝△CBH ＝45°，
△△ABD 的面积＝△AGD 的面积，
又△BH ＝BH ，
△△AHB △△CHB （SAS ），
△△AHB 的面积＝△DHG 的面积，
△S 2＝△GBH 的面积，
△AD △BC ，
△△ADH △△GBH ， △12S S ＝（AD GB
）2， 分两种情况：
△点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＞CG ，
则AD ＝BC
BG ， △12S S ＝（AD GB ）2
）2352
； △点C 是线段BG 的黄金分割点，BC ＜CG ，
则AD ＝BC 352BG ， △12S S ＝（AD GB ）2352
）2
； 综上所述，如果点C 是线段BG 的黄金分割点，
则12S S 352
或； 352
或 【点睛】 本题考查了黄金分割的定义、正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角形面积等知
识；熟练掌握黄金分割的定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，CE 平分△BCD 交AB 于点E ，
交BD 于点F ，且△ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ．下列结论：
△EO△AC ；△S △AOD ＝S △OCF ；
△AC△BD ；△FB 2＝OF•DF 其中正确的是______．（填序号）
【答案】△△△
【分析】
△正确．只要证明EC =EA =BC ，推出△ACB =90°，再利用三角形中位线定理即可判断．△错误．想办法证明BF =2OF ，推出S △BOC =3S △OCF 即可判断．△正确．设BC =BE =EC =a ，求出AC ，BD 即可判断．△正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可．
【详解】 解：四边形ABCD 是平行四边形，
//CD AB ∴，OD OB =，OA OC =，
180DCB ABC ∴∠+∠=︒，
60ABC ∠=︒，
120DCB ∴∠=︒， EC 平分DCB ∠，
1602
ECB DCB ∴∠=∠=︒， 60EBC BCE CEB ∴∠=∠=∠=︒，
ECB ∴∆是等边三角形，
EB BC ∴=，
2AB BC =，
EA EB EC ∴==，
90ACB ∴∠=︒，
OA OC =，EA EB =，
//OE BC ∴，
90AOE ACB ∴∠=∠=︒，
EO AC ∴⊥，故△正确，
//OE BC ，
OEF BCF ∴∆∆∽， ∴12
OE OF BC FB ==， 13
OF OB ∴=， 3AOD BOC OCF S S S ∆∆∆∴==，故△错误，
设BC BE EC a ===，则2AB a =，AC =，OD OB =，
BD ∴，
:7AC BD ∴，故△正确，
13OF OB =，
BF ∴， 2279BF a ∴=，27777()6269
OF DF a a a a =+=， 2BF OF DF ∴=，故△正确，
故答案为：△△△．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
19．如图，在ABC 与CDE △都是等边三角形，且点A ､C ､E 在同一条直线上，AD 与BE ､BC 分别交于点F ､M ，BE 与CD 交于点N ．有以下结论：△AM BN =；△ABF DNF ≌；△180FMC FNC ∠+∠=︒；△111AC MN CE
=-．其中正确的是_______．（填序号）
【答案】△△△
【分析】
△根据等边三角形性质得出AC =BC ，CE =CD ，△ACB =△ECD =60°，求出△BCE =△ACD ，根
据SAS 推出两三角形全等即可；△根据△ABC =60°=△BCD ，求出AB △CD ，可推出△ABF △△DNF ，找不出全等的条件；△根据角的关系可以求得△AFB =60°，可求得MFN =120°，
根据△BCD =60°可解题；△根据CM=CN ，△MCN =60°，可求得△CNM =60°，可判定MN △AE ，可求得MN DN CD CN AC CD CD
-==，可解题． 【详解】
解：证明：△△△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
△AC =BC ，CE =CD ，△ACB =△ECD =60°，
△△ACB +△BCD =△ECD +△BCD ，
即△BCE =△ACD ，
在△BCE 和△ACD 中，
BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△△BCE △△ACD （SAS ），
△AD =BE ，△ADC =△BEC ，△CAD =△CBE ，
在△DMC 和△ENC 中，
MDC NEC DC EC
MCD NCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， △△DMC △△ENC （ASA ），
△DM =EN ，CM=CN ，
△AD -DM =BE -EN ，即AM =BN ；
△△△ABC =60°=△BCD ，
△AB △CD ，
△△BAF =△CDF ，
△△AFB =△DFN ，
△△ABF △△DNF ，找不出全等的条件；
△△△AFB +△ABF +△BAF =180°，△FBC =△CAF ，
△△AFB +△ABC +△BAC =180°，
△△AFB =60°，
△△MFN =120°，
△△MCN =60°，
△△FMC +△FNC =180°；
△△CM=CN ，△MCN =60°，
△△MCN 是等边三角形，
△△MNC =60°，
△△DCE =60°，
△MN △AE ， △MN DN CD CN AC CD CD
-==， △CD =CE ，MN =CN ， △
MN CE MN AC CE -=， △1MN MN AC CE
=-， 两边同时除MN 得
111AC MN CE
=-， 故答案为△△△．
【点睛】 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，考查了平行线的运用，考查了正三角形的判定，本题属于中档题．
20．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，F 是线段OD 上的动点（点F 不与点O ，D 重合），连接CF ，过点F 作FG CF ⊥分别交AC ，AB 于点H ，G ，连接CG
交BD 于点M ，作//OE CD 交CG 于点E ，EF 交AC 于点N ．有下列结论：
△当BG BM =时，
AG =；△OH OF OM OC
=；△当GM HF =时，2CF CN BC =⋅；△222CN BM DF =+．其中正确的是_______（填序号即可）．
【答案】△△△
【分析】
△正确．利用面积法证明AG AC BG BC
== △错误．假设成立，推出OFH OCM ∠=∠，显然不符合条件．
△正确．如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．想办法证明CM CF =，
再利用相似三角形的性质，解决问题即可．
△正确．如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW =，BM DW =，90MCW ∠=︒，45CBM CDW ∠=∠=︒，证明FM FW =，利用勾股定理，即
可解决问题．
【详解】
解：如图1中，过点G 作GT AC ⊥于T ．
BG BM =，
BGM BMG ∴∠=∠，
BGM GAC ACG ∠=∠+∠，BMG MBC BCM ∠=∠+∠，
四边形ABCD 是正方形，
45GAC MBC ∴∠∠︒＝＝
，AC ，
ACG BCG ∴∠∠＝，
GB CB ⊥，GT AC ⊥，
GB GT ∴＝，
1212BCG ACG BC GB S
BG BC
S AG AC AC GT ⋅⋅====⋅⋅ AG ∴，故△正确，
假设OH OF OM OC
=成立， FOH COM ∠∠＝，
FOH COM ∴∽，
OFH OCM ∴∠∠＝，显然这个条件不成立，故△错误，
如图2中，过点M 作MP BC ⊥于P ，MQ AB ⊥于Q ，连接AF ．
90OFH FHO ∠+∠︒＝，90FHO FCO ∠+∠︒＝，
OFH FCO ∴∠∠＝，
AB CB ＝，ABF CBF ∠∠＝，BF BF ＝，
ABF CBF SAS ∴≌（），
AF CF ∴＝，BAF BCF ∠∠＝，
90CFG CBG ∠∠︒＝＝，
180BCF BGF ∴∠+∠︒＝，
180BGF AGF ∠+∠︒＝，
AGF BCF GAF ∴∠∠∠＝＝，
AF FG ∴＝，
FG FC ∴＝，
45FCG BCA ∴∠∠︒＝＝，
ACF BCG ∴∠∠＝，
//MQ CB ，
GMQ BCG ACF OFH ∴∠∠∠∠＝＝＝，
90MQG FOH ∠∠︒＝＝，FH MG ＝，
FOH MQG AAS ∴≌（），
MQ OF ∴＝，
BMP MBQ ∠∠＝，MQ AB ⊥，MP BC ⊥，
MQ MP ∴＝，
MP OF ∴＝，
90CPM COF ∠∠︒＝＝，PCM OCF ∠∠＝，
CPM COF AAS ∴≌（），
CM CF ∴＝，
//OE AG ，OA OC ＝，
EG EC ∴＝， FCG 是等腰直角三角形，
45CFN ∴∠︒＝，
CFN CBM ∴∠∠＝，
FCN BCM ∠∠＝，
BCM FCN ∴∽，
CM CB CN CF
∴=， 2CF CB CN ∴⋅＝，故△正确，
如图3中，将CBM 绕点C 顺时针旋转90︒得到CDW ，连接FW ．则CM CW ＝，
BM DW ＝，90MCW ∠︒＝，45CBM CDW ∠∠︒＝＝，
△FG =FC ，△GFO =△FCN ，△FGM =△CFN =45°，
△△FGM △△CFN ，
△FM =CN ，
45FCG FCW ∠∠︒＝＝，CM CW ＝，CF CF ＝，
CFN CFW SAS ∴≌（），
FM FW ∴＝，
454590FDW FDC CDW ∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝，
222FW DF DW ∴+＝，
2222CN FM BM DF ∴=+＝，故△正确，
故答案为：△△△．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
三、解答题
21．已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x
=
的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，直接写出点P 的坐标．
（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形，直接写出点Q 的坐标．
【答案】（1）27y x =；31544y x =-；（2）1(0.0)P ，2(10.0)P ，3(13.0)P ，465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； （3）145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，25(,0)4Q -，37(9,0)8Q ，41(,0)8Q - 【分析】
（1）过点A 作AD x ⊥轴于点Ｄ，由152
OAB S ∆=，(5,0)B 求出AD 长度，在Rt ABD △中利用勾股定理求出BD 长度，进一步得到OD 长度，推导得到A 点坐标，用待定系数法求教师式即可；
（2）若在x 轴上存在点P ，使得ABP ∆是等腰三角形，存在三种情况，分别是当点Ａ为顶
点，AB 为腰时，交于x 轴两点；点B 为顶点，AB 为腰时交于x 轴一点；以及AB 为底边时，作底边的垂直平分线，交于x 轴一点，分别求解即可；
（3）若点Q 为x 轴上一点，ACQ 是直角三角形,有四种情况，△以AC 为直角边时，时，
利用对称性和三角形相似求解即可；△以AC 为斜边时，利用圆周角的推论进行解答即可得．
【详解】
解：（1）如图：
过点A 作AD x ⊥轴于点Ｄ
△(5,0)B
△=5OB AB = △152
OAB S ∆= △11155222
OB AD AD =⨯⨯=
△=3AD
在Rt ABD △中，4BD
△9OD OB BD =+=
△(9,3)A
△m y x =
经过点A △39
m = 解得:27m =
△反比例函数的教师式为：27y x
=
△y kx b =+经过点Ａ和点B △9350k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：34154
k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
△一次函数的表达式为31544
y x =
- （2）如下图：
若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，则分三种情况：
以点B 为顶角顶点，AB 为腰时，x 轴上有两点，1(0.0)P ，2(10.0)P ；
以点A 为顶角顶点，AB 为腰时，点B 关于AD 的对称点即为所求的点，此时点3(13.0)P ; 以AB 为底边时，作线段AB 的垂直平分线交x 轴于点4P ,交AB 与点E ,4P 即为所求． △31544
y x =- △15(0.)4
C - 在Rt OBC
中，254BC == △4ABP CBO ∠=∠
△4tan tan ABP CBO ∠=∠ △4BE OB BP BC
= △45
52254
BP = △4258BP =
△42565588
OP =+=
△465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
综上所述，满足题意的点有四个，分别是1(0.0)P ，2(10.0)P ，3(13.0)P ，465,08P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （3）△如图所示，以AC 为直角边时，
（a ）当190CAQ ∠=时，在Rt BAD 和1Rt AQ D △中，
11190BAD DAQ DAQ AQ D ∠+∠=∠+∠
=
△1BAD AQ D ∠=∠
△190BDA ADQ ∠=∠
=
△1Rt BAD
Rt AQ D △△ △
1AD BD Q D AD = △1343
Q D = △194
Q D = △11945944OQ OD Q D =+=+
= △145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， （b ）当290ACQ ∠=时，1Q 与 2Q 关于点B 对称，此时:
214525544
Q B BQ ==-= △(5,0)B
△25(,0)4
Q -， △如图所示，以AC 为斜边时，
在直线31544y x =-中，当x =0时，154
y =-， △点C 的坐标为15(0,)4-
， △点A 坐标为（9，3），
△394
AB ， 令AB 的中点为O ，则1139392248
OA AB ==⨯=， 过点O 作以OA 为半径的圆，交x 轴为3Q ，4Q ，
△AB 是O 的直径，
△3490AQ C AQ C ∠=∠=︒，
△点3Q 的横坐标为：3975988+
=， 点4Q 的横坐标为：391588
-=-， △37(9,0)8
Q ，41(,0)8Q -， 综上所述，满足题意的点有四个，分别是145,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，25(,0)4Q -，37(9,0)8Q ，41(,0)8Q -． 【点睛】
本题考查待定系数法求反比例函数和一次函数表达式、直角坐标系中等腰三角形和直角三角形点存在性问题，数形结合是解题关键．
22．如图，在直角ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==．D 、E 分别是AC 、BC 边的中点，点P 从A 出发沿线段AD DE EB --以每秒3个单位长的速度向B 匀速运动；点Q 从点A
出发沿射线AB 以每秒2个单位长的速度匀速运动，当点P 与点B 重合时停止运动，点Q 也随之停止运动，设点P 、Q 运动时间是t 秒，（0t >）．
（1）当t =______时，点P 到达终点B ； （2）当点P 运动到点D 时，求BPQ 的面积；
（3）设BPQ 的面积为S ，求出点Q 在线段AB 上运动时，S 与t 的函数关系式； 【答案】（1）4；（2）203；（3）当403t ≤<时，239S t t =-+；当47
33
t ≤≤时，124S t =-；当
7
33t <≤时，21284144555
S t t =-+． 【分析】
（1）由已知和勾股定理先求出BC ，再由D ，E 分别是AC ，BC 的中点，求出AD 、DE 、BE ，从而求出t ；
（2）先求出当点P 运动到点D 时所用时间，得出AQ 的长，即可求出BQ 的长，再根据△BPQ 的面积=1
2BQ •AP 进行计算即可；
（3）由已知用t 表示出AQ 、AP 、BQ ，再由△A =90°，通过面积公式求出S 与t 的函数关系式． 【详解】
解：（1）已知Rt ABC 中，90,6,8A AB AC ∠=︒==，
由勾股定理得：10BC =， 又由D ，E 分别是,AC BC 的中点， △4,3,5AD DE BE ===，
△当点P 到达终点B 时所用时间()43534t =++÷=（秒）， 故答案为：4．
（2）当点P 运动到点D 时，所用时间为4
3
秒，
所以48233
AQ =
⨯=，。