专题21 函数的单调性(解析版)

提升训练3.2 函数的单调性
一、选择题
1．函数y=（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵函数y＝（2k﹣1）x+b在（﹣∞，+∞）上是减函数，
∴2k﹣1＜0，
解得k．
故选：A．
2．如图，直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则必有( )
A．k1<k3<k2 B．k3<k1<k2 C．k1<k2<k3 D．k3<k2<k1
【答案】A
【解析】
由于直线向左倾斜，故，直线与直线均向右倾斜，且更接近y轴，
所以：.
故选A.
3．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
函数y＝4x2﹣kx﹣8的对称轴为：x
∵函数在上单调递增
∴ 5
∴k≤40
故选B.
4．直线与在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
直线y=x+a是一次函数，斜率k=1，b=a，可判断从左到右图象上升，B,D不满足题意; 当b=a＞0时，y=x+a的图象在y轴上的交点在正半轴，没有选项，
所以a＜0，则直线y=ax表示直线过原点，且斜率为小于0，
所以选项A错误，C正确．故选：C
5．下列函数中，在（-∞，0）上为减函数的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A中，函数y＝﹣x2+2在（﹣∞，0）上为增函数；
B中，函数y＝4x﹣1在（﹣∞，0）上为增函数；
C中，函数y＝x2+4x在（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，0）上为增函数；
D中，函数在（﹣∞，0）上为减函数
故选：D．
6．已知函数()y f x =在定义域R 上是减函数，则不等式()
()2142f x f x +>-的解集为（ ） A ．()1,3
B ．()(),31,-∞-⋃-+∞
C ．()3,1--
D ．()(),13,-∞⋃+∞
【答案】A
【解析】 依题意，2142x x +<-，所以()()130x x --<，解得13x <<．故选A
7．若函数y ＝ax ＋1(a ＞0)在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝( ).
A ．2
B ．3
C ．1
D ．-1
【答案】C
【解析】
因为a ＞0，所以一次函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上单调递增，
所以当x=3时，函数y ＝ax ＋1取得最大值，
故3a ＋1=4，解得a ＝1.
故选C.
8．已知函数f （x ）=x 2-kx -6在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】D
【解析】
根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣kx ﹣6的对称轴为x
， 若f （x ）在[2，8]上是单调函数，必有
2或8，
解可得：k ≤4或k ≥16，
即k 的取值范围是（﹣∞，4]∪[16，+∞）；
故选：D ．
9．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2-x ），且对任意的x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0．则（ ）
A ．()()()211f f f <-<
B ．()()()121f f f <<-
C ．()()()112f f f <-<
D ．()()()211f f f <<-
【答案】B
【解析】
∵当x 1，x 2∈（-∞，1]（x 1≠x 2）时有（x 1-x 2）（f （x 1）-f （x 2））＜0，
∴f（x ）在（-∞，1]上单调递减，
∵f（x ）=f （2-x ），
∴函数f （x ）的图象关于x=1对称，则f （x ）在∈（1，+∞）上单调递增，
∴f（-1）=f （3）>f （2）＞f （1）
即f （-1）＞f （2）＞f （1）
故选：B ．
10．已知函数在上是减函数，则a 的取值范围为 )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】 函数在上是减函数，
， 求得，
故选：B ．
11．已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （4，2）是其图象上的一点，那么f （x ）＜2的解集是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】 因为是函数的图象上的一点，则， 所以， 又因为函数是上的增函数，
所以
， 即的解集是，故选B ．
12．函数f （x ）=
满足：对任意的实数x 1≠x 2，都有（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]＞0成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
因为函数f （x ）=
满足：对任意的实数x 1≠x 2，
都有（x 1-x 2）[f （x 1）-f （x 2）]＞0成立，
所以函数f （x ）在（-∞，+∞）上是增函数，
所以f （x ）在（-∞，1），（1，+∞）上均单调递增，
且-12+2a×1≤（2a-1）×1-3a+6， 故有
，
解得1≤a≤2．
所以实数a 的取值范围是[1，2]．
故选：C ．
二、填空题 13．已知函数2f x x b =+（）在区间12-（，）
上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______． 【答案】[2+∞，）
【解析】
()2f x x b =+Q 为增函数，
∴若()2f x x b =+在区间()1
2-，上的函数值恒为正， 则只需要()120f b -=-+≥即可，
即2b ≥，
即实数b 的取值范围是[2+∞，），
故答案为：[2+∞，）
14．已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为____.
【答案】[，0）
【解析】
若在R上是减函数，
因为y=在上单调递减，故只需满足，
解得：k∈[，0）
故答案为：[，0）
15．若，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
，
可得时，递减；
时，递减，
且，
可得在R上递减，
，可得，
解得，
故答案为：．
16．能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数＝_________________.
【答案】答案不唯一，比如或；
【解析】
根据题意只要举出的例子不符合函数单调增即可，可以在区间端点处违反单调性，即
.
答案为：答案不唯一，比如或；三、解答题
17．已知函数．
Ⅰ画出的图象；
Ⅱ根据图象写出的值域、单调区间．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的单调递减区间为，无增区间．
【解析】
Ⅰ，
的图象；
Ⅱ由图象知的值域为，
的单调递减区间为，无增区间．
18．已知函数f（x）=，
（Ⅰ）画出f（x）的图象；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）[-1，0]，[2，5]
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）=的图象如下：
（Ⅱ）f（x）的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]．
19．已知函数，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．
【答案】（1）（2）f（x）在（0，1）上单调递减，证明见解析. 【解析】
（1）∵；
∴；
解得a=1，b=1；
∴；
（2）f（x）在区间（0，1）上单调递减，证明如下：
设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则：
=；
∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2；
∴x1-x2＜0，，；
∴；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（0，1）上单调递减．
20．已知函数,且，.
（I ）求的函数解析式；
（II ）求证：在上为增函数； （III ）求函数
的值域. 【答案】（I ）
（II ）见解析（III ） 【解析】
（I ）函数
, 由
得a+4b=6,① 由得2a+5b=9,②
联立①②解得a=2,b=1, 则函数解析式为
（II ）任取x 1，x 2∈[3，5]且x 1＜x 2， ∴
∵3≤x 1＜x 2≤5， ∴
<0, ∵
＞0， ∴
＜0， ∴,即在
上为增函数. （III ）由（II ）知在上为增函数 则. 所以函数的值域为
21．已知函数()2
1x f x x =+是定义在()1,1-上的函数． （1）用定义法证明函数()f x 在()1,1-上是增函数；
（2）解不等式()()10f x f x ++<．
【答案】（1）详见解析；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】
（1）证明：对于任意的()12,1,1x x ∈-，且12x x <，则： ()()()()()()
121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，121x x <，∴1210x x ->． ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．
∴函数在()1,1-上是增函数．
（2）由函数的分析式及（1）知，()f x 是奇函数且在()1,1-上递增， ()()10f x f x -+<，即：()()()1f x f x f x -<-=-，
结合函数的定义域和单调性可得关于实数x 的不等式：
111111x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩
，求解关于实数x 的不等式组可得：102x <<， 则不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 22．已知定义在（1，+∞）上的函数f （x ）=．
（1）当m ≠0时，判断函数f （x ）的单调性，并证明你的结论；
（2）当m =时，求解关于x 的不等式f （x 2
-1）＞f （3x -3）．
【答案】（1）见解析；（2）（
，2） 【解析】
（1）根据题意，设1＜x 1＜x 2， 则f （x 1）-f （x 2）=-=m ×，
又由1＜x 1＜x 2，则（x 2-x 1）＞0，（x 2-1）＞0，（x 1-1）＞0， 当m ＞0时，f （x 1）＞f （x 2），f （x ）在（1，+∞）上递减；
当m＜0时，f（x1）＜f（x2），f（x）在（1，+∞）上递增；
（2）当m=时，f（x）为减函数，则f（x2-1）＞f（3x-3）⇒，解可得：＜x＜2，
即不等式的解集为（，2）。