上海市2020〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试题七及答案

上海市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟试
题七及答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集R U =，集合}03|{},0)1)(2(|{<≤-=>-+=x x B x x x A ，则
)(B C A U 为
(A)}02|{≥-<x x x 或(B) }12|{>-<x x x 或
(C)}03|{≥-<x x x 或(D) }13|{>-<x x x 或 2. 已知R a ∈，且
i
i
a -+-1为实数，则
a 等于 (A) 1 (B) 1-
(C)2 (D)2-
3.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图
轮廓为正方形，则其体积是
(D)83
4. 命题：“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题是
(A)若12≥x ，则11-≤≥x x ，或 (B)若11<<-x ，则12<x (C)若11-<>x x ，或，则12>x (D)若11-≤≥x x ，或，则1
2≥x
俯视图
5.当x y 、满足不等式组11
01x y y x ⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩
时，目标函数t x y =+的最大值是
(A)1 (B) 2 (C)3 (D)5
6. 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为
(A)
π2
3(B)
π3
2(C)6π(D)
3
4π 7.对变量,x y 有观测数据(,)(1,2,,10)i i x y i =，得散点图1；对变量
,u v 有观测数据(,)(1,2,
,10)i i u v i =，得散点图
2. 由这两个散点图
可以判断.
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与
y 正相关，u 与v 负相关
（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与
y 负相关，u 与v 负相关
8. 如图，是一个计算1922221++++ 的程序框图，则其中空白的判断框内，应填入 下列四个选项中的
(A)i 19≥ (B) i 20≥ (C)i 19≤(D)i 20≤ 9.
已
知
函
数
)0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f 是R 上的偶函数，则ϕ的值为
(A)
6π (B) 3π (C) 32π
(D) 6
5π
10.已知ABC ∆的三边长为c b a 、、，满足直线0=++c by ax 与圆
122=+y x 相离，则ABC ∆是
(A )锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 以上情况都有可能 11.
已
知
集
合
}
),()(|)({R x x f x f x f M ∈=-=，
}),()(|)({R x x f x f x f N ∈-=-=， }
),1()1(|)({R x x f x f x f P ∈+=-=，}),1()1(|)({R x x f x f x f Q ∈+-=-=，
若R x x x f ∈-=,)1()(3，则
(A)M x f ∈)( (B) N x f ∈)( (C)P x f ∈)( (D)Q x f ∈)(
12.王先生购买了一步手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入联通的130网，经调查其收费标准见下表：（注：本地电话费以分为计费单位，长途话费以秒为计费单位.）
若王先生每月拨打本地电话的时间是拨打长途电话时间的5倍，若要用联通130应最少打多长时间的长途电话才合算. (A) 300秒 (B) 400秒(C) 500秒(D) 600秒
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 设向量(12)(23)a b ==，，
，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则=λ．
14．ΔABC 中，3=a ，2=b ， 45=∠B ，则A ∠= .
15.考察下列三个命题，是否需要在“”处添加一个条件，才能构
成真命题（其中m l ,为直线，βα,为平面）？如需要，请填这个条件，如不需要，请把“”划掉.
①αα//_____//l m l m ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂②αα//_____////l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫③αβαβ⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊥l l _____//
16. 若从点O 所做的两条射线OM ，ON 上分别有点M 1，M 2，与点
N 1，N 2，则面积之比
1122
1122
OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆⋅=
⋅.若从点O 所做的不在同一平面内的三条射线
OP ，OQ ，OR 上分别有点P 1，P 2，Q 1，Q 2，R 1，R 2，则能推导出的结
论是.
三．解答题：本大题共6小题，共74分. 17. （本小题满分12分）
已知函数.cos 2)6
2sin()6
2sin()(2x x x x f +-++=π
π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围． 18. （本小题满分12分）
在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，
PAD ∆是等边三角形，已知
BD =
2AD =8,
AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点，
（Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积． 19. （本小题满分12分）
已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .
（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；
（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩
⎪⎨⎧>>≤-+000
8y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率. 20. （本小题满分12分）
设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线.
（Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解+析+式；
（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,2
1[上是减函数，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
52的椭圆的一个
顶点是抛物线24
1
x y =的焦点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l 过点）
，（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点
M ，且.,21BF MB AF MA λλ==
求21λλ+的值．
22. （本小题满分14分）
数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((2
1*
N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；
（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ． 参考答案
一．选择题：AACDD CCBAC DB
1. 详细分析：A.{|12}A x x x =><-或;{|03}U C B x x x =≥<-或，得
{|02}U A C B x x x =≥<-或.
2. 详细分析：A.
2
()(1)111122
a i a i i a a
i i i -+-++---==+--，∴1a =. 3. 详细分析：C.该几何体为正四棱锥，底面边长为2，高为
3232⨯=，其体积143
22333
V =⨯⨯⨯=. 4. 详细分析：D.“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，易知应选D.
5. 详细分析：D.如图，易求点B 的坐标为（2，3），所以当
2,3x y ==时t 取最大值
5.
6. 详细分析：C. 最大球为正方体的内切球，则内切球的半径为1
2
，341()32
6
V π
π=⋅=.
7. 详细分析：C.由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，
u 与v 正相关，选C.
8. 详细分析：B.当1922221++++ 时，19=i ，而1i i =+，此时
20i =，输出S 为1922221++++ .
9. 详细分析： A
.
)
0)(2cos(3)2sin()(πϕϕϕ<<+++=x x x f =
12(sin(2)))2x x φφ+++ =2sin(2)3
x πφ++；∵()f x 为偶函数，∴()3
2
k k Z ππ
φπ+=+∈，又∵
0φπ<<，∴6
π
φ=
.
10. 详细分析：C. 根据题意，圆心（0，0）到直线0=++c by ax 的距离
1d =
>，∴222c a b >+，故选C.
11. 详细分析：D. ()f x M ∈，则函数()f x 关于y 轴对称；
()f x N ∈，则函数()f x 关于原点对称；()f x P ∈，则函数()f x 关于直
线1x =对称；()f x Q ∈，则函数()f x 关于(1,0)中心对称；
3()(1),f x x x R =-∈关于（1，0）中心对称，故选
D.
12. 详细分析：B. 设王先生每月拨打长途x 秒，拨打本地电话5x 秒，根据题意应满足
50.3650.60
120.060.076060
x x x x ⋅⋅++
≤+，解得400x ≥. 二．填空题：13.2；14.3π或3
2π
；15.α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）；
16. 体积之比
2
221
112
22111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=
--.
13. 详细分析：2.a b λ+=（ ）322++λλ，，a b λ+与向量
(47)c =--，共线，则0)4()32()7()2(=-⋅+--⋅+λλ，解得=λ 2.
14. 详细分析：
3π或3
2π
. 45sin 2sin 3sin sin =⇒=A B b A a 23sin =⇒A ，
A ∠=3
π
或
3
2π.
15. 详细分析：α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）.根据线面平行和线面垂直的判定定理，3个位置依次填α⊄l ；α⊄l ；＼（划掉）. 16. 详细分析：根据结论1122
11
22
OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆⋅=
⋅可类比得到，在空间中
有体积之比
2
221
112
22111OR OQ OP OR OQ OP V V R Q P O R Q P O ⋅⋅⋅⋅=
--.
三．解答题
17. （本小题满分12分）
已知函数.cos 2)6
2sin()6
2sin()(2x x x x f +-++=π
π
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求使)(x f ≥2的x 的取值范围．
解：（Ⅰ）x x x x f 2cos 2)6
2sin()6
2sin()(+-++=π
π
1
2cos 6
sin
2cos 6
cos
2sin 6
sin
2cos 6
cos
2sin ++-++=x x x x x π
π
π
π
-----------
---1分
12cos 2sin 3++=x x 1
)6
2sin(2++
=π
x ----------------------------
----------3分
ππ
ωπ===
2
2||2T ----------------------5分
Z k k x k ∈+≤
+
≤+-
,22
6222
ππ
π
ππ
,Z k k x k ∈+≤
≤+-
∴,6
3
ππ
ππ
，
函数)(x f 的递增区间是Z k k k ∈++-∴],6
,3
[ππ
ππ--------------------7分
（Ⅱ）由()2f x ≥ 得2sin(2)126
x π
++≥，
21)6
2sin(≥
+
∴π
x πππππ6
5
26262+≤+≤+∴k x k )(Z k ∈----------------------------9分
)(3
Z k k x k ∈+≤≤∴π
ππ ，
2)(≥∴x f 的
x 的取值范围是},3
|{Z k k x k x ∈+
≤≤π
ππ
--------------
--12分
18. （本小题满分12分）
在四棱锥P - ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB // CD ，
PAD ∆是等边三角形，已知
BD = 2AD =8,
AB = 2DC = 54，设M 是PC 上一点，
（Ⅰ）证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P - ABCD 的体积．
证明：（Ⅰ）AB =54，BD =8, AD =4,则AB 2
= BD 2
+AD 2
.∴BD ⊥AD .------------------------------------------2分 设AD 的中点为E ，连接AE ，因为PAD ∆是等边三角形，所以
PE ⊥AD ，
又平面PAD ⊥平面ABCD ，PE ⊂平面PAD ，所以PE ⊥平面
ABCD ，-----------------------4分
BD ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥BD .E PE AD =⋂，∴BD ⊥平面PAD BD ⊂平面BDM ，∴平面MBD ⊥平面PAD .-------- ------------------6分
解（Ⅱ）322
3
==
AD PE ，-------------------8分
ABCD S 梯形==+∆∆BCD ABD S S ABD ABD ABD S S S ∆∆∆=+
2
3
21
=24844
32123=⋅⋅=⋅⋅⋅DB AD .---------------------------------------------10分
31632243
1
=⋅⋅=
-ABCD P V -----------------------------------
----------12分
19. （本小题满分12分）
已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f
（Ⅰ）设集合}3211{，，，-=P 和}3,2,1,1,2{--=Q 分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b .求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率；
（Ⅱ）设点(a ,b )是区域⎪⎩
⎪⎨⎧>>≤-+000
8y x y x 内的随机点，求函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率.
解：（Ⅰ）分别从P ,Q 中各取一个数作为a ,b 全部可能的基本结果有：（-1，-2），（-1，-1），（-1,1），（-1，2），(-1，3)，(1，-2)，（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，-2），（3，-1），（3，1),，（3，2)，（3，3）.共20个基本结果.-------------------------------------------------------------------------------3分
函数14)(2+-=bx ax x f 的对称轴a
b
x 2=
，要使函数)(x f 在)
,1[+∞上是增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤>12
0a
b a ，------------------------------------------------------------------4分
于是满足条件的基本结果为：（1，-2），（1，-1），（2，-
2），（2，-1），（2，1），（3，-2），（3，-1），（3，1）共8个.函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率5
2
208==P .-----------6分
（Ⅱ）⎪⎩
⎪⎨⎧>>≤-+000
8y x y x 所表示的区域如图OAB ∆所示，从区域内取点且函数)(x f y =在),1[+∞上是增函数需满足
的条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤
>>20
0x y y x 如图阴影部分OAC ∆所示.----------------------------- ---------------------9分
解⎪⎩
⎪
⎨⎧==+28x y y x 得
C （ ）3
8,316.--------------------------- ------------------------------------10分
函数)(x f y =在区间),1[+∞是增函数的概率OAB
OAC
S S P ∆∆=3
1
838
==------------------12分
20. （本小题满分12分）
设函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，已知它们的图象在1=x 处有相同的切线.
（Ⅰ）求函数)(x f 和)(x g 的解+析+式；
（Ⅱ）若函数)()()(x g m x f x F ⋅-=在区间]3,2
1[上是减函数，求实数m 的取值范围.
解：（Ⅰ）根据题意，)1()1(),1()1(''g f g f ==；--------------------------------------------------------------2分
4)1(,4)(''==g x x g ，又∵a x x f +=2'3)(，------------------------
----------------------------------------------3分 ∴
4
1(3)1(''==+=）g a f ，∴
1
=a ；
2
1)1(=+=a f ，∴
2)1(2)1(==+=g b g ，得0=b .---5分
∴函数)(x f 与)(x g 的解+析+式为：x x x f +=3)(，22)(x x g =-----------------------6分
（Ⅱ）232)()()(mx x x x g m x f x F -+=⋅-=；143)(2'+-=mx x x F -----------7分
∵函数)(x F 在区间]3,2
1
[上是减函数，∴0143)(2'≤+-=mx x x F 在区间
]3,2
1
[上恒成立.-----------8分 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤0
)3(0)21('F F ‘----------------------------------------------
------------------------------------10分
=⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯-⨯≤+⨯-⨯0
134330
12
1441
32
m m 37≥⇒m . 实数m 的取值范围是),3
7[+∞∈m ----------------------------------------------12分 21. （本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
52的椭圆的一个
顶点是抛物线24
1
x y =的焦点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l 过点）
，（02F 且交椭圆于B A 、两点，交y 轴于点
M ，且.,21λλ==
求21λλ+的值．
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
)0(122
22>>=+b a b
y a x ；∵
2
4
1x y =
y x 42=⇒的焦点坐标为（0，1），∴1=b . ------------------------------------------2分
⇒==552a c e 5412
222=-=a
a a c ，得5=a .------------------------
-----4分
∴所求的椭圆的方程为15
22
=+y x .---------------------5分
（Ⅱ）因为点），（02F 在椭圆内部，且直线与y 轴相交，所以直线l 不与x 轴垂直，斜率一定存在.
设l ：)2(-=x k y -----------------------------------------------------6分
则052020)51(15
)
2(22222
2
=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k x k k x y x x k y --------------- ①
设),0(),,(),,(02211y M y x B y x A
由①得2
2212221515
20;5120k k x x k k x x +-=+=+，----------------------------------8分
1MA AF
λ=即
1101111,)(2,)
MA x y y AF x y λλ=-==--（得110111,)(2,)x y y x y λ-=--（，111(2)x x λ=-即1
11
2x x λ=-，同理222
2x x λ=
-----
------9分
12λλ+=
112x x -+2
2
2x
x -=
1212
1212
2()242()x x x x x x x x +--++=
---------12分
22. （本小题满分14分）
数列}{n a 满足)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，273=a . （Ⅰ）求21,a a 的值； （Ⅱ）已知))((2
1
*N n t a b n n n ∈+=，若数列}{n b 成等差数列，求实数t ；
（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S ．
解法一：（Ⅰ）由)2,(122*1≥∈++=-n N n a a n n n ，得
33222127a a =++=29a ⇒=.
2212219a a =++=12a ⇒=.---------------------------------------
------------3分
（
Ⅱ
）
*11221(,2)(1)2(1)2n n n n n n a a n N n a a --=++∈≥⇒+=++*(,2)n N n ∈≥
11
11122
n n n n a a --++⇒
=+*
(,2)n N n ∈≥----------------------------------
-----------------------6分
1111122
n n n n a a --++⇒
-=*(,2)n N n ∈≥，令*
1(1)()2n n n
b a n N =+∈，则数列}{n b 成等差数列，所以1t =.
---------------------------------------8分
（Ⅲ））}{n b 成等差数列，
1(1)n b b n d =+-321(1)22n n +=
+-=
.121
(1)22
n n n n b a +=+=； 得1(21)21n n a n -=+⋅-*()n N ∈.---------------------------------------------10分
n S =21315272(21)2n n n -⋅+⋅+⋅+
++⋅------------①
2n S =23325272(21)22n n n ⋅+⋅+⋅+++⋅---------------------② ① - ② 得
213222222(21)2n n n S n n
--=+⋅+⋅+
+⋅-+⋅+-----------------------
---------------------11分 =(21)21n n n -+⋅+-.
所以(21)21n n S n n =-⋅-+*()n N ∈-------------------------------------14分.
解法二：（Ⅱ）))((2
1*
N n t a b n n n ∈+=
且数列}{n b 成等差数列，所以有1()n n b b +-*()n N ∈为常数.
1112
n t
+-=+
*()n N ∈，要使1()n n b b +-*()n N ∈为常数.需1t =.-----------------8分。