专题四数列--4.1 数列小题专项练

专题四数列
4.1数列小题专项练
必备知识精要梳理1.数列的本质:定义域为N*(或它的有限子集{1,2,…,n})的函数.
2.设数列{a n}的前n项和为S n,则a n={S1,n=1,
S n-S n-1,n≥2.
3.等差数列
(1)等差数列的通项a n=a1+(n-1)d, 通项的推广1:a n=a m+(n-m)d,
通项的推广2:d=a n-a m
n-m
.
(2)等差数列的前n 项和S n =
n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)
2
d. (3)等差数列的性质:若m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q . 4.等比数列
(1)等比数列的通项a n =a 1q n-1, 通项的推广1:a n =a m q n-m , 通项的推广2:q n-m =a
n b n
.
(2)等比数列的S n ={na 1,q =1,
a 1(1-q n )1-q
=a 1-a n q 1-q
,q ≠1.
(3)等比数列的性质:若m+n=p+q ,则a m ·a n =a p ·a q .
考向训练限时通关
考向一
数列及与其有关的概念
1.(2020河北武邑校级联考,理4)大衍数列来源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历的两仪数量总和.已知数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则大衍数列中奇数项的通项公式为( )
A.n 2-n
2
B.n 2-12
C.(n -1)22
D.n 2
2
2.(2020辽宁大连24中一模,8)数列{a n }满足对任意的n ∈N *,均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2,a 9=3,a 98=4,则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A.132
B.299
C.68
D.99
3.(2020山东烟台一模,14)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =2n 2-n+1,则数列{a n }的通项公式为 .
4.(2020全国Ⅰ,文16)数列{a n }满足a n+2+(-1)n a n =3n-1,前16项和为540,则a 1= .
考向二
等差数列的基本运算
5.(2020北京人大附中二模,6)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A.a n =2n-5 B.a n =3n-10 C.S n =2n 2-8n D.S n =1
2n 2-2n
6.
(2020全国Ⅱ,理4)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)( ) A.3 699块 B.3 474块 C.3 402块
D.3 339块
7.(多选)下列关于等差数列的命题中正确的有( ) A.若a ,b ,c 成等差数列,则a 2,b 2,c 2一定成等差数列 B.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 可能成等差数列 C.若a ,b ,c 成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2一定成等差数列 D.若a ,b ,c 成等差数列,则1a ,1b ,1c
可能成等差数列
8.(2020北京,8)在等差数列{a n }中,a 1=-9,a 5=-1.记T n =a 1a 2…a n (n=1,2,…),则数列{T n
}( ) A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
9.(2020全国Ⅱ,文14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.
考向三等比数列的基本运算
10.(2020辽宁锦州一模,7)已知等比数列{a n}中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为()
A.128
B.64
C.16
D.8
11.(2020全国Ⅱ,文6)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则S n
a n
=() A.2n-1 B.2-21-n
C.2-2n-1
D.21-n-1
12.(多选)数列{a n}满足a n=q n(q>0,n∈N*),则以下结论正确的是()
A.{a2n}是等比数列
B.{1
a n
}不是等比数列
C.{lg a n}不是等差数列
D.{lg a n2}是等差数列
13.(2020山东淄博一模,14)记S n为数列{a n}的前n项和,若a n=S n
2
-1,则S7=.
考向四等差、等比数列的综合
14.(2020河南郑州二模,10)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若
a1=1,S n为数列{a n}的前n项和,则2S n+6
a n+3
的最小值为()
A.4
B.3
C.2√3-2
D.2
15.(2020江苏,11)设{a n}是公差为d的等差数列,{b n}是公比为q的等比数列.已知数列{a n+b n}的前n项和S n=n2-n+2n-1(n∈N*),则d+q的值是.
16.(多选)(2020山东青岛5月模拟,10)已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),公差
d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列选项正确的是()
A.a1=22
B.d=-2
C.n=10或n=11时,S n取得最大值
D.当S n>0时,n的最大值为20
专题四数列
4.1数列小题专项练
考向训练·限时通关
1.B解析由数列的第一项为0,可知D错;因为数列的第三项为4,将n=3代入选项A,得到3,故A错;将n=3代入选项C,得到2,故C错;将n=3代入选项B,得到4,故B正确.
2.B解析对任意的n∈N*,均有a n+a n+1+a n+2为定值,∴
(a n+1+a n+2+a n+3)-(a n+a n+1+a n+2)=0,故a n+3=a n,∴{a n}是以3为周期的数列,
故a1=a7=2,a2=a98=4,a3=a9=3,
∴S100=(a1+a2+a3)+…+(a97+a98+a99)+a100=33(a1+a2+a3)+a1=33×(2+4+3)+2=299.
解析由题意知,当n=1时,a1=S1=2;
3.a n={2,n=1,
4n-3,n≥2
当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-2(n-1)2+n-1=4n-3.
又因为a1=1不满足a n=4n-3,所以a n={2,n=1,
4n-3,n≥2.
4.7解析当n为偶数时,有a n+2+a n=3n-1,则
(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92,
因为前16项和为540,所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=448.
当n为奇数时,有a n+2-a n=3n-1,由累加法得a n+2-a1=3(1+3+5+…
+n)-1+n
2=3
4
n2+n+1
4
,所以a n+2=3
4
n2+n+1
4
+a1,
所以a1+3
4
×12+1+14+a1+34×32+3+14+a1+34×52+5+14+a1+ 3
4
×72+7+14+a1+34×92+9+14+a1+34×112+11+14+a1+
3
4
×132+13+14+a1=448,解得a1=7.
5.A解析由题知,{S4=4a1+d
2
×4×3=0,
a5=a1+4d=5,
解得{a1=−3,
d=2,
∴a n=2n-5,故选A.
6.C解析由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为{a n}.
设上层有n环,则上层扇面形石板总数为S n,中层扇面形石板总数为S2n-S n,下层扇面形石板总数为S3n-S2n,三层扇面形石板总数为S3n.因为{a n}为等差数列,所以S n,S2n-S n,S3n-S2n构成等差数列,公差为9n2.因为下层比中层多729块,所以
9n2=729,解得n=9.所以S3n=S27=27×9+27×26
2
×9=3 402.故选C.
7.BCD解析对于A,取a=1,b=2,c=3,得a2=1,b2=4,c2=9,所以a2,b2,c2不成等差数列,故A错;
对于B,取a=b=c,可得2a=2b=2c,故B正确;
对于C,由题意a+c=2b,所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),即
ka+2,kb+2,kc+2成等差数列,故C正确;
对于D,取a=b=c≠0,可得1
a =1
b
=1
c
,故D正确.
8.B解析由题意公差d=a5-a1
5−1=-1+9
5−1
=2,则a n=a1+(n-1)d=-9+(n-1)×
2=2n-11,
由通项知a1<a2<a3<a4<a5<0<a6=1<a7<…,且由T5<0可知,T i<0(i≥6,i∈N),由T i
T i-1
=a i>1(i≥7,i∈N)可知数列{T n}不存在最小项,由于
a1=-9,a2=-7,a3=-5,a4=-3,a5=-1,a6=1,故数列{T n}中的正项只有有限
项,T2=63,T4=63×15=945.故数列{T n}中存在最大项,且最大项为T4.故选B. 9.25解析设等差数列{a n}的公差为d.
∵a1=-2,∴a2+a6=a1+d+a1+5d=2a1+6d=-4+6d=2,解得d=1.
∴S10=10a1+10×9
2
d=-20+45=25.
10.B解析
a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11=a52+2a5a7+a72=(a5+a7)2=64.故选B.
11.B解析设等比数列{a n}的公比为q.
∵a5-a3=12,a6-a4=24,
∴a6-a4
a5-a3
=q=2.
又a5-a3=a1q4-a1q2=12a1=12,
∴a1=1.∴a n=a1·q n-1=2n-1,
S n=a1(1-q n)
1−q =1×(1−2
n)
1−2
=2n-1.
∴S n a n =2
n-1
2n-1
=2-1
2n-1
=2-21-n.
故选B.
12.AD解析a n=q n(q>0,n∈N*),故a2n=q2n,a2n
a2n-2=q2n
q2n-2
=q2,故A正确;
1 a n =1
q n
,
1
a n
1
a n-1
=a n-1
a n
=1
q
,则{1
a n
}是等比数列,故B不正确;
lg a n=lg q n=n lg q,故lg a n-lg a n-1=n lg q-(n-1)lg q=lg q,则{lg a n}是等差数列,故C不正确;
lg a n2=lg q2n=2n lg q,故lg a n2-lg a n-12=2n lg q-2(n-1)lg q=2lg q,故D正确.
13.-254解析由已知a n=S n-1,得S n-S n-1=S n-1,所以S n-2=2(S n-1-2)(n≥2).又a1=S1
2
-1,即S1=-2,S1-2=-4,所以{S n-2}是以-4为首项,2为公比的等比数列,
所以S n-2=-4×2n-1,即S n=2-2n+1,所以S7=2-28=-254.
14.D解析由题意,a1,a3,a13成等比数列,则a32=a1·a13,
∴(1+2d)2=1+12d.得d=2或d=0(舍去),∴a n=2n-1,∴S n=n(1+2n-1)
2
=n2,
∴2S n+6
a n+3=
2n2+6
2n+2=
n2+3
n+1=
(n+1)2-2(n+1)+4
n+1.
令t=n+1,则2S n+6
a n+3=t+4
t
-2≥2√t·4
t
-2=2,
当且仅当t=4
t 时取等号,则t=2,即n=1,∴2S n+6
a n+3
的最小值为2.故选D.
15.4解析由等差数列的前n项和公式和等比数列的前n项和公式得
S n=na1+n(n-1)
2d+b1(1-q n)
1−q
=d
2
n2+(a1-d
2
)n+(-b1
1−q
)q n+b11−q.
对照已知条件S n=n2-n+2n-1,得d=2,q=2,所以d+q=4.
16.BCD解析由S6=90,可得6a1+15d=90,即2a1+5d=30,①
由a7是a3与a9的等比中项,可得a72=a3a9,
即(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),化简得a1+10d=0,②由①②解得a1=20,d=-2,
则a n=20-2(n-1)=22-2n,S n=1
2
n(20+22-2n)=21n-n2,
由S n=-n-21
22+441
4
,可得n=10或11时,S n取得最大值110;
由S n>0,可得0<n<21,即n的最大值为20.故选BCD.。