第2章直角三角形的边角关系 同步提升训练(附答案)2021-2022学年鲁教版九年级数学上册

2021-2022学年鲁教版九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
同步能力提升训练（附答案）
1．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠C＝90°，BC≥AC，则tan B＝（）
A．B．C．D．
2．以下说法正确的是（）
①当∠A从0°逐渐增大到90°时，tan A的值逐渐增大，cot A的值逐渐减小；
②tan12°•tan78°＝1；③在△ABC中，已知∠C＝90°，如果tan（90°﹣A）＝2，那
么cot（90°﹣A）＝2；④若∠A为锐角，则0＜tan A＜1．
A．①②B．③④C．①②③D．③④
3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）
A．B．±C．D．0
4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，那么∠C的度数为（）A．75°B．90°C．105°D．120°
5．如图△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝24，cos B＝，则AD的长为（）
A．12B．10C．6D．5
6．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT
7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）
A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm
8．如图已知斜坡AB长米，坡角（即∠BAC）为45°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度为3：1，休闲平台DE的长是（）米．
A．20B．15C．D．
9．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：
2.4，那么建筑物AB的高度约为（）
（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
10．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为（）
A．40海里B．60海里C．20海里D．40海里
11．如图，在Rt△ABD中，∠A＝90°，点C在AD上，∠ACB＝45°，tan∠D＝，则＝．
12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．
13．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，sin A＝，则sin B＝．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足为点H，如果AH＝BC，那么tan∠BAH 的值是．
15．如图，修建的二滩水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i ＝1：3，斜坡CD的坡度i＝1：2.5，则坝底宽AD＝m．
16．如图是学生用的台灯，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是cm（用含根号的式子表示）．
17．如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝3，AC＝5，sin C＝，求BC的长．
18．对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sin A+cos A＝．试求：（1）sin A•cos A的值；（2）sin A﹣cos A的值．
19．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．
（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；
（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．
20．如图△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm；△DEF中∠D＝90°，∠E＝45°，DE＝3cm．现将△DEF的直角边DF与△ABC的斜边AB重合在一起，并将△DEF沿AB 方向移动（如图）．在移动过程中，D、F两点始终在AB边上（移动开始时点D与点A 重合，一直移动至点F与点B重合为止）．
（1）当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，E、B的连线与AC平行？
（2）在△DEF的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠EBD＝22.5°？如果存在，求出AD的长度；如果不存在，请说明理由．
21．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）
22．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
参考答案
1．解：如图，∵BC≥AC，
∴只有BC边上的中线，满足条件，AD＝BC，设CD＝BD＝a．
则AD＝2a，CD＝a，AD＝2CD，∵∠C＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝a，
∴tan B＝＝．
故选：B．
2．解：①根据锐角三角函数的增减性，可知正确；
②∵tan78°＝cot12°，∴tan12°•tan78°＝1．正确；
③根据同角的正切和余切互为倒数．错误；
④如tan60°＝＞1．错误．
故选：A．
3．解：∵sinα+cosα＝，
∴（sinα+cosα）2＝2，
即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．
又∵sin2α+cos2α＝1，
∴2sinαcosα＝1．
∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．
故选：D．
4．解：∵|sin A﹣|+（1﹣tan B）2＝0，
∴|sin A﹣|＝0，（1﹣tan B）2＝0，
∴sin A＝，tan B＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：C．
5．解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∴BD＝BC＝12．
在直角△ABD中，∵cos B＝＝，
∴AB＝13，
∴AD＝＝＝5．
故选：D．
6．解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．
7．解：作OG⊥AB于点G，
∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，
∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，
∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，
故选：D．
8．解：延长DE交BC于H．
由题意BH：EH＝3：1，
在Rt△ABC中，AB＝60，∠BAC＝45°，
∵BC＝AC＝60，
∵AD＝DB，DH∥AC，
∴BH＝CH＝30，
∴DH＝AC＝30，
∴EH＝10，DE＝30﹣10＝20，
故选：A．
9．解：过点E作EM⊥AB于点M，延长ED交BC于G，∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8＝71.8米．
故选：B．
10．解：在Rt△P AB中，∵∠APB＝30°，
∴PB＝2AB，
由题意BC＝2AB，
∴PB＝BC，
∴∠C＝∠CPB，
∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，
∴∠C＝30°，
∴PC＝2P A，
∵P A＝AB•tan60°，
∴PC＝2×20×＝40（海里），
故选：D．
11．解：在Rt△ABD中，∵tan∠D＝＝，∴设AB＝2x，AD＝3x，
∵∠ACB＝45°，
∴AC＝AB＝2x，
则CD＝AD﹣AC＝3x﹣2x＝x，
∴＝＝，
故答案为：．
12．解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．
故答案为＞．
13．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，即＝，设CB＝2x，则AB＝3x，
根据勾股定理可得：AC＝x．
∴sin B＝＝＝．
故答案为：．
14．解：设AH＝BC＝2x，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝x，
∴tan∠BAH＝，
故答案为：
15．解：∵AB的坡度i＝1：3，
∴tan A＝，
∴＝，
∵BE＝23，
∴AE＝69，
∵BC＝6，
∴EF＝6，
∵CD的坡度i′＝1：2.5，
∴tan D＝＝，
∴＝，
∴DF＝57.5，
∴AD＝AE+EF+DF＝69+6+57.5＝132.5（m）．
答：坝底宽AD的长是132.5m．
故答案为：132.5．
16．解：由题意得：AD⊥CE，
过点B作BF⊥CE，BG⊥EA，
∵灯罩BC长为30cm，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，∵CF⊥FB，即三角形CFB为直角三角形，
∴sin30°＝，
∴CF＝15cm，
在直角三角形ABG中，sin60°＝，
∴，
解得：BG＝20，
又∠ADC＝∠BFD＝∠BGD＝90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴FD＝BG，
∴CE＝CF+FD+DE＝CF+BG+ED＝15+20+2＝17+20（cm）．答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是17+20cm．
17．解：作AD⊥BC于点D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
∵AC＝5，，
∴AD＝AC•sin C＝3．
∴在Rt△ACD中，．
∵AB＝，
∴在Rt△ABD中，．
∴BC＝BD+CD＝7．
18．解：（1）∵sin A+cos A＝，
∴sin2A+cos2A+2sin A cos A＝，
即1+2sin A cos A＝，
∴sin A cos A＝；
（2）∵（sin A﹣cos A）2＝sin2A+cos2A﹣2sin A cos A，
＝1﹣，
＝，
∴sin A﹣cos A＝±．
19．解：（1）连接CD，OM．
根据旋转的性质可得，MC＝MD，OC＝OD，又OM是公共边，
∴△COM≌△DOM，
∴∠COM＝∠DOM，
又∵OC＝OD，
∴CD⊥OM；
（2）由（1）知∠COM＝∠DOM，
∴∠COM＝，
在Rt△COM中，CM＝OC•tan∠COM＝m•tan；
因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．
20．解：（1）AD＝（10﹣3）cm时，BE∥AC．
理由如下：连接EB，
设EB∥AC，则∠EBD＝∠A＝30°，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝5cm，
∴AB＝10cm，
又∵∠FDE＝90°，DE＝3cm，
∴DB＝3cm
∴AD＝AB﹣BD＝（10﹣3）cm，
∴AD＝（10﹣3）cm时，BE∥AC；
（2）在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3）cm时，使得∠EBD＝22.5°．理由如下：
假设∠EBD＝22.5°．
∵在△DEF中，∠D＝90°，∠DEF＝45°，DE＝3cm，
∴EF＝3cm，∠DEF＝∠DFE＝45°，DE＝DF＝3cm．
又∵∠DFE＝∠FEB+∠FBE＝45°，
∴∠EBD＝∠BEF，
∴BF＝EF＝3，
∴AD＝AB﹣BF﹣DF＝7﹣3（cm）．
∴在△DEF的移动过程中，当AD＝（7﹣3）cm时，使得∠EBD＝22.5°．
21．解：由题意可得：tan72°＝＝＝，
解得：BC＝，
则AB＝BC+AC＝+2＝（m），
故sin35°＝＝＝，
解得：AE≈26.2，
答：拉索AE的长为26.2m．
22．解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠P AB＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．。