2022版《优化方案》高一物理人教版必修二配套文档：第五章第五节 向心加速度 Word版含答案

第五节 向心加速度
[学习目标] 1.理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向转变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻转变． 2.知道打算向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算．
[同学用书
P 23]
一、做匀速圆周运动的物体的加速度方向
(阅读教材P 20)
1．圆周运动必有加速度：圆周运动是变速曲线运动，所以必有加速度．
2．做匀速圆周运动的物体受到的合力指向圆心，所以其加速度方向肯定指向圆心．
拓展延长►———————————————————(解疑难)
1．做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，因此方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是变加速曲线运动．
2．做匀速圆周运动的物体的加速度与线速度方向时刻垂直，因此线速度大小保持不变，只转变线速度的方向．
1.关于做匀速圆周运动的物体的下列说法正确的是( )
A ．物体的加速度的方向始终指向圆心
B ．物体的加速度的方向保持不变
C ．物体受的合力指向圆心
D ．物体的加速度是恒定的 提示：AC
二、向心加速度(阅读教材P 20～P 22)
1．定义：做匀速圆周运动的物体指向圆心的加速度．
2．大小：a n ＝v 2
r
＝ω2r .
3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直．
拓展延长►———————————————————(解疑难)
1．由向心加速度公式a n ＝v 2r ＝ω2
r 与v ＝ω·r 、T ＝2πω＝1f 得：a n ＝ω·v ＝4π2r T
2＝4π2f 2·r .
2．公式a n ＝v 2r ＝ω2
·r ＝ω·v ，适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动；而公式a n ＝4π2r T
2＝4π2f 2·r ，
只适用于匀速圆周运动．
2.(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．( )
(2)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化．( )
(3)依据a ＝v 2
r 知加速度a 与半径r 成反比．( )
(4)依据a ＝ω2r 知加速度a 与半径r 成正比．( ) 提示：(1)√ (2)× (3)× (4)×
对向心加速度的理解
[同学用书P 24]
1．向心加速度描述线速度转变的快慢，只转变线速度方向，不转变其大小．
2．当匀速圆周运动的半径肯定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比，与角速度的平方成正比． 3．无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心． ——————————(自选例题，启迪思维)
关于向心加速度，下列说法中正确的是( ) A ．向心加速度是描述线速度变化的物理量
B ．向心加速度只转变线速度的方向，不转变线速度的大小
C ．向心加速度大小恒定，方向时刻转变
D ．向心加速度的大小也可用公式a ＝v t －v 0
t
来计算
[解析] 加速度是描述速度变化快慢的物理量，A 项错；向心加速度与速度方向垂直，不转变速度的大小，只转变速度的方向，B 项对；只有做匀速圆周运动的物体的向心加速度大小恒定，C 项错；公式a ＝
v t －v 0
t 适用于直线运动，圆周运动是曲线运动，D 项错．
[答案] B
如图所示，为A 、B 两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A 为双曲线的一个分支，由图可知( )
A ．A 物体运动的线速度大小不变
B ．A 物体运动的角速度大小不变
C ．B 物体运动的角速度大小不变
D ．B 物体运动的线速度大小不变
[思路点拨] 解本题时，应先依据图象确定向心加速度随半径r 变化的函数关系，再依据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出推断．
[解析] 由a n ＝v 2
r 知，v 肯定时a n 与r 成反比；由a n ＝ω2r 知，ω肯定时，a n 与r 成正比．图线A 为双曲
线的一支，a n 与r 成反比，故线速度不变，选项A 正确；图线B 为过原点的直线，a n 与r 成正比，故角速度不变，选项C 正确．
[答案] AC (2021·玉溪高一检测)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r 1＝3r ，r 2＝2r ，r 3＝4r ；A 、B 、C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a 1、a 2、a 3，则下列比例关系正确的是( )
A.a 1a 2＝32
B.a 1a 2＝23
C.a 2a 3＝21
D.a 2a 3＝12
[思路探究] (1)A 、B 、C 三点中： ①角速度相等的点为________； ②线速度大小相等的点为________． (2)解答该题用到的两个重要关系式： ①向心加速度与线速度关系式：________；
②向心加速度与角速度关系式：________.
[解析] 由于皮带不打滑，v 1＝v 2，a ＝v 2r ，故a 1a 2＝r 2r 1＝2
3
，A 错，B 对．由于右边两轮共轴转动，ω2＝ω3，
a ＝rω2
，a 2a 3＝r 2ω2r 3ω2＝12，C 错，D 对．
[答案] BD
[名师点评] 向心加速度的每个公式都涉及三个物理量，在比较传动装置上不同点向心加速度的关系时，按下列两步进行分析：
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．
向心加速度的计算
[同学用书P 24]
1．对向心加速度的各种表达式a n ＝v 2r ＝ω2
r ＝4π2
T
2r ＝4π2f 2r ＝ωv ，要牢记，且要深刻理解它们的内涵，这
样才能精确 、快速解题．
2．依据题目中所给的条件，机敏选取a n 的表达式，既可以削减运算又能顺当地求解问题．例：若已知
或要求量为v ，则选a ＝v 2
r
，若已知或要求量为ω，则选a ＝ω2r .
——————————(自选例题，启迪思维)
如图所示，半径为R 的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A ，一端系一带有小孔穿在环上
的小球，弹簧原长为2
3
R .将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运动到环的最低点时速率为v ，这时
小球向心加速度的大小为( )
A.v 2R
B.v 22R
C.3v 22R
D.3v 24R
[解析] 小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，运动轨迹的半
径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为v 2
R ，加速度方向竖直向上，正确选项
为A.
[答案] A
一物体以4 m/s 的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s ，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )
A ．2 m/s 2
B ．4 m/s 2
C ．0
D ．4π m/s 2
[解析] 速度变化率的大小指的是加速度的大小，由a n ＝ω2r ＝ωv ＝2πT v ＝2π
2×4 m/s 2＝4π m/s 2，选项D 正
确．
[答案] D
如图所示，定滑轮的半径r ＝2 cm ，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开头释放，测得重物以加速度a ＝2 m/s 2做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω＝________ rad/s ，向心加速度a n ＝________ m/s 2
[思路点拨] 重物的运动与滑轮的转动之间的关系为：重物下落的速度与滑轮边缘上的点的线速度相等． [解析] 重物下落1 m 时，瞬时速度为v ＝2as ＝2×2×1 m/s ＝2 m/s.明显，滑轮边缘上每一点的线速
度也都是2 m/s ，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角速度ω＝v r ＝2
0.02 rad/s ＝100 rad/s.向心
加速度a n ＝ω2r ＝1002×0.02 m/s 2＝200 m/s 2.
[答案] 100 200
[同学用书
P 25]
典型问题——变速圆周运动的加速度分析
在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度．在变速圆周运动中，物体的加速度并不指向圆心，该加速度可分解为指向圆心方向和沿切线方向的两个分加速度，前者即为向心加速度，转变线速度的方向，
后者叫切向加速度，转变线速度的大小．若切向加速度与线速度同向，则线速度增大，由a n ＝v 2
r
知，向心加
速度增大．若切向加速度与线速度反向，则线速度减小，向心加速度亦减小．因此，变速圆周运动的向心加速度大小、方向都发生转变．
[范例]
如图所示，细绳的一端系着小球，另一端系在O点，现让小球处于与O点等高的A点，因此细绳恰伸长，然后由静止释放小球，依次通过B、C、D三点(不计空气阻力)，下列推断正确的是() A．图中加速度方向标示可能正确的是a B
B．图中加速度方向标示可能正确的是a A、a C、a D
C．小球通过C点的向心加速度最大，A点的向心加速度最小为0
D．小球由B点到C点，切向加速度越来越小，由C点到D点，切向加速度越来越大
[解析]小球在A点时，v A＝0，故a n＝0，因此只受重力，加速度竖直向下；小球通过B点时，受重力和绳的拉力，其合力肯定不沿切线方向，故a B标示错误；小球通过C点时，绳的拉力和重力均沿竖直方向，合力没有切向重量，其加速度为向心加速度，故a C标示正确．小球通过D点时，重力与绳的拉力的合力偏向绳的右侧，故a D标示可能正确，因此A项错误B项正确．
小球从A→B→C线速度增大，从C→D线速度减小，C点线速度最大，由a n ＝v2
r
知C点向心加速度最大，C项正确．
设细绳与竖直方向的夹角为α，由牛顿其次定律得：mg·sin α＝ma切，明显D正确．
[答案]BCD
关于向心加速度，以下说法中正确的是()
A．物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
B．物体做圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度
C．物体做圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度的方向始终指向圆心
解析：选AD.物体做匀速圆周运动时，向心加速度就是物体的合加速度；物体做变速圆周运动时，向心加速度只是合加速度的一个重量，A正确，B错误．物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；物体做变速圆周运动时，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度不再指向圆心，C错误，D正确．
[同学用书
P26]
[随堂达标]
1．(2021·清华附中高一检测)下列关于匀速圆周运动的性质说法正确的是()
A．匀速运动B．匀加速运动
C．加速度不变的曲线运动D．变加速曲线运动
解析：选D.匀速圆周运动是变速运动，它的加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变量，故匀速圆周运动是变加速曲线运动，A、B、C错误，D正确．
2．一个小球在竖直放置的光滑圆环里做圆周运动．关于小球的加速度方向，下列说法中正确的是() A．肯定指向圆心
B．肯定不指向圆心
C．只在最高点和最低点指向圆心
D．不能确定是否指向圆心
解析：选C.小球受重力与圆环弹力的作用，重力方向竖直向下，弹力方向沿半径方向，只在最高点和最低点小球所受重力与弹力的合力才指向圆心．依据牛顿其次定律，小球的加速度也只在最高点和最低点指向圆心．正确选项为C.
3．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min.则两球的向心加速度之比为()
A．1∶1 B．2∶1
C．4∶1 D．8∶1
解析：选D.由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB＝n A∶n B＝2∶1，所以两小球的向心加速度之比
a A∶a B＝ω2A R A∶ω2B R B＝8∶1，D正确．
4.
(2021·广州高一检测)如图所示为摩擦传动装置，B轮转动时带动A轮跟着转动，已知转动过程中轮缘间无打滑现象，下述说法中正确的是()
A．A、B两轮转动的方向相同
B．A与B转动方向相反
C．A、B转动的角速度之比为1∶3
D．A、B轮缘上点的向心加速度之比为3∶1
解析：选BC.A、B两轮属齿轮传动，A、B两轮的转动方向相反，A错，B对．A、B两轮边缘的线速度大小相等，由ω＝v
r
知，ω1
ω2
＝r2
r1
＝1
3
，C对．依据a＝v2
r
得，a1
a2
＝r2
r1
＝1
3
，D错．
5．(选做题)
如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是()
A．小物块运动的角速度为2 rad/s
B．小物块做圆周运动的周期为π s
C．小物块在t＝
π
4s内通过的位移大小为
π
20m
D．小物块在π s内通过的路程为零
解析：选AB.由于a＝ω2R，所以小物块运动的角速度为ω＝
a
R
＝2 rad/s，周期T＝2π
ω
＝π s，选项A、B
正确；小物块在π
4s内转过
π
2
，通过的位移为 2 m，在π s内转过一周，通过的路程为2π m，选项C、D错误．[课时作业]
一、选择题
1．物体做匀速圆周运动过程中，其向心加速度()
A．大小、方向均保持不变
B．大小、方向均时刻转变
C．大小时刻转变、方向保持不变
D．大小保持不变、方向时刻转变
解析：选D.做匀速圆周运动的物体其速度大小不变，由向心加速度公式a n＝
v2
r
可知其大小不变．向心加
速度的方向始终指向圆心，故其方向时刻转变．
2. (多选)关于向心加速度的说法正确的是( ) A ．向心加速度越大，物体速率变化越快 B ．向心加速度的大小与轨道半径成反比 C ．向心加速度的方向始终与速度方向垂直 D ．在匀速圆周运动中，向心加速度是变量
解析：选CD.向心加速度是描述速度方向变化快慢的物理量，向心加速度不转变速度的大小，故A 错误；由a n ＝v 2
r ＝rω2知，当v 肯定时，a n 与r 成反比，当ω肯定时，a n 与r 成正比，故B 错误；向心加速度的方向
始终指向圆心，因此方向不断地变化，所以向心加速度是变量，故C 、D 正确．
3．做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a 1和a 2，且a 1>a 2，下列推断正确的是( ) A ．甲的线速度大于乙的线速度 B ．甲的角速度比乙的角速度小 C ．甲的轨道半径比乙的轨道半径小
D ．甲的速度方向比乙的速度方向变化快
解析：选D.由于不知甲和乙做匀速圆周运动的半径大小关系，故不能确定它们的线速度、角速度的大小关系，A 、B 、C 错．向心加速度是表示线速度方向变化快慢的物理量，a 1>a 2，表明甲的速度方向比乙的速度方向变化快，D 对．
4.
如图所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，假如由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )
A ．加速度为零
B ．加速度恒定
C ．加速度大小不变，方向时刻转变，但不肯定指向圆心
D ．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析：选D.由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A 、B 、C 错误．
5.
(2021·川师附中高一检测)如图所示，圆弧轨道AB 在竖直平面内，在B 点，轨道的切线是水平的，一小球由圆弧轨道上的某点从静止开头下滑，不计任何阻力．设小球刚到达B 点时的加速度为a 1，刚滑过B 点时的加速度为a 2，则( )
A ．a 1、a 2大小肯定相等，方向可能相同
B ．a 1、a 2大小肯定相等，方向可能相反
C ．a 1、a 2大小可能不等，方向肯定相同
D ．a 1、a 2大小可能不等，方向肯定相反
解析：选D.刚到达B 点时，小球仍做圆周运动，此时a 1＝v 2B
R
，方向竖直向上，当刚滑过B 点后，小球做
平抛运动，a 2＝g ，方向竖直向下，v 2B
R
有可能等于g ，也可能不等于g ，故D 正确．
6.
(多选)一小球质量为m ，用长为L 的悬绳(不行伸长，质量不计)固定于O 点，在O 点正下方L
2
处钉有一颗
钉子．如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线遇到钉子后的瞬间，则( )
A ．小球的角速度突然增大
B ．小球的线速度突然减小到零
C ．小球的向心加速度突然增大
D ．小球的向心加速度不变 解析：选AC.由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做
圆周运动的半径变为原来的一半，由v ＝ωr 知，角速度变为原来的两倍，A 正确，B 错误；由a ＝v 2
r 知，小球
的向心加速度变为原来的两倍，C 正确，D 错误．
7．(2021·福建师大附中高一检测)如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A 、B 、C 三点，这三点所在处半径关系为r A >r B ＝r C ，则这三点的向心加速度a A 、a B 、a C 的关系是( )
A ．a A ＝a
B ＝a
C B ．a C >a A >a B C ．a C <a A <a B
D ．a C ＝a B >a A
解析：选C.由题意可知：v A ＝v B ，ωA ＝ωC ，而a n ＝v 2
r ＝ω2r .v 肯定，a n 与r 成反比；ω肯定，a n 与r 成正
比．比较A 、B 两点，v A ＝v B ，r A >r B ，故a A <a B ；比较A 、C 两点，ωA ＝ωC ，r A >r C ，故a C <a A ，所以a C <a A <a B ，故选C.
8.
(多选)如图为一压路机的示意图，其大轮半径是小轮半径的1.5倍．A 、B 分别为大轮和小轮边缘上的点．在压路机前进时( )
A ．A 、
B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝1∶1 B ．A 、B 两点的线速度之比为v A ∶v B ＝3∶2
C ．A 、B 两点的角速度之比为ωA ∶ωB ＝3∶2
D ．A 、B 两点的向心加速度之比为a A ∶a B ＝2∶3
解析：选AD.由题意知v A ∶v B ＝1∶1，故A 正确，B 错误；由ω＝v
r
得ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝2∶3，故C 错误；
由a ＝v
2r 得a A ∶a B ＝r B ∶r A ＝2∶3，故D 正确．
9.
(多选)如图所示，长为l 的细线一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，让小球在水平面内做角
速度为ω的匀速圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，小球运动的周期和小球的向心加速度为( )
A ．T ＝4π2ω2
B ．T ＝2π
ω
C ．a n ＝ω2l sin θ
D ．a n ＝ω2l
解析：选BC.由ω＝2πT 得T ＝2π
ω，A 错误，B 正确；小球做匀速圆周运动的轨道半径为l sin θ，所以向
心加速度a n ＝ω2l sin θ，C 正确，D 错误．
二、非选择题 10.
飞行员从俯冲状态往上拉时，会发生黑视，第一是由于血压降低，导致视网膜缺血；其次是由于脑缺血．飞行员要适应这种状况，必需进行严格的训练，故飞行员的选拔是格外严格的．为了使飞行员适应飞行要求，要用如图所示的仪器对飞行员进行训练，飞行员坐在一个在竖直平面内做匀速圆周运动的舱内边缘，要使飞行员的加速度a ＝6g ，则角速度需要多大？(R ＝20 m ，g 取10 m/s 2)
解析：依据a ＝ω2R ，可得 ω＝
a
R
＝ 3 rad/s. 答案： 3 rad/s 11.
如图所示，一轿车以30 m/s 的速率沿半径为60 m 的圆形跑道行驶，当轿车从A 运动到B 时，轿车和圆心的连线转过的角度为90°.求：
(1)此过程中轿车的位移大小； (2)此过程中轿车通过的路程； (3)轿车运动的向心加速度大小． 解析：
如图所示，v ＝30 m/s ，
r ＝60 m ，θ＝90°＝π
2
.
(1)轿车的位移为从初位置A 到末位置B 的有向线段的长度， 即x ＝2r ＝2×60 m ≈85 m.
(2)路程等于弧长，即l ＝rθ＝60×π
2
m ＝94.2 m.
(3)向心加速度大小：a n ＝v 2r ＝30
260
m/s 2＝15 m/s 2.
答案：(1)85 m (2)94.2 m (3)15 m/s 2 12.
如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开头运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R ；乙做自由落体运动，当乙下落至A 点时，甲恰好第一次运动到最高点B ，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小．
解析：设乙下落到A 点所用时间为t ， 则对乙，满足R ＝1
2
gt 2，得t ＝
2R g
，
这段时间内甲运动了3
4
T ，即
34T ＝2R g
① 又由于a ＝ω2R ＝4π2T 2R ②
由①②得a ＝9
8π2g .
答案：98π2g。