高中数学一轮复习：第二章 函数的概念与基本初等函数(必修1)课后跟踪训练12

课后跟踪训练(十二)
基础巩固练
一、选择题
1．若函数f (x )在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且f (x )在(－2,2)内有一个零点，则f (－2)·f (2)的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．不能确定
[解析] 若函数f (x )在(－2,2)内有一个零点，且该零点是变号零点，则f (－2)·f (2)<0，否则， f (－2)·f (2)>0，故选D.
[答案] D
2．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝3x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[解析] 由题意知f (x )单调递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝3＋1－2＝2>0，即f (0)·f (1)<0且函数f (x )在(0,1)内连续不断，所以f (x )在区间(0,1)内有一个零点．故选B.
[答案] B
3．(2018·吉林省实验中学段考)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C.⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫2，52
D.⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫2，103
[解析] 解法一：当f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12·f (3)<0时，
函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，3上有且仅有一个零点，
即⎝ ⎛⎭
⎪⎫
54－a 2(10－3a )<0， 解得52<a <10
3；当⎩⎪⎨
⎪⎧
12<a
2<3，
Δ＝a 2
－4≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，f (3)>0
时，
函数在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3上有一个或两个零点，解得2≤a <52； 当a ＝52时，函数的零点为1
2和2，符合题意； 当a ＝103时，函数的零点为1
3或3，不符合题意． 综上，a 的取值范围是⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫2，103.故选D.
解法二：令f (x )＝0，则a ＝x 2＋1x .令g (x )＝x 2＋1
x ， 而g ′(x )＝1－1
x 2.
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1时，g ′(x )<0；
当x ∈(1,3)时，g ′(x )>0，
∴g (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，
∴g (x )的值域为⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫2，103.
∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.故选D. [答案] D
[解析] g (x )＝f (x )－m 有三个不同的零点等价于f (x )＝m 有三个不同的根，等价于函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的公共点．在同一直角坐标系中画出函数y ＝f (x )，y ＝m 的图象(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m <0时，两个函数图象有三个不同的公共点．故选C.
[答案] C
5.(2018·安徽安庆二模)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函
数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
[解析] 由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.
[答案] B 二、填空题
6．函数f (x )＝ln(2x )－1的零点为________． [解析] 由ln(2x )－1＝0，得2x ＝e ，所以x ＝e
2. 故f (x )＝ln(2x )－1的零点为e
2. [答案] e
2
7．(2019·四川绵阳模拟)函数f (x )＝2x
－2
x －a 的一个零点在区间
(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 由题意，知函数f (x )在(1,2)上单调递增，又函数一个零
点在区间(1,2)内，所以⎩⎨
⎧
f (1)<0，f (2)>0，
即⎩⎨
⎧
－a <0，4－1－a >0，
解得0<a <3，故
填(0,3)．
[答案] (0,3)
8．(2019·山东济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为________．
[解析] 方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4.
[答案] 4 三、解答题
9．(2019·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ， (1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的
取值范围．
[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12内各有一个零点，
只需⎩⎪⎨
⎪⎧ f (－1)>0，f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，
解得12<a <34.
故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫1
2<a <34.
10．(2019·贵州调研)设函数f (x )＝⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎪1－1x (x >0)．
(1)作出函数f (x )的图象；
(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1
b 的值；
(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． [解] (1)如图所示．
(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪1－1x
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x －1，x ∈(0，1]，
1－1x ，x ∈(1，＋∞)，
故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数． 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2. (3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线
y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．
能力提升练
11．(2019·云南昆明一模)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2
－3.若函数f (x )，g (x )的零点分别为a ，b ，则有( )
A ．g (a )<0<f (b )
B ．f (b )<0<g (a )
C ．0<g (a )<f (b )
D ．f (b )<g (a )<0
[解析] 易知函数f (x )，g (x )在定义域上都是单调递增函数，且f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，g (1)＝－2<0，g (2)＝ln2＋1>0，所以a ，b 存在且唯一，且a ∈(0,1)，b ∈(1,2)，从而f (1)<f (b )<f (2)，g (0)<g (a )<g (1)，于是f (b )>0，g (a )<0，即g (a )<0<f (b )．
[答案] A
12．(2019·昆明市高三质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
－4x ＋a ，x <1，
ln x ＋1，x ≥1，
若方程f (x )＝2有两个解，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2)
B ．(－∞，2]
C ．(－∞，5)
D ．(－∞，5]
[解析] 解法一：当x ≥1时，由ln x ＋1＝2，得x ＝e ，由方程f (x )＝2有两个解知，当x <1时，方程x 2－4x ＋a ＝2有唯一解．令g (x )＝x 2－4x ＋a －2＝(x －2)2＋a －6，则g (x )在(－∞，1)上单调递减，所以当x <1时，g (x )＝0有唯一解，则g (1)<0，得a <5，故选C.
解法二：随着a 的变化引起y ＝f (x )(x <1)的图象上下平移，作出函数y ＝f (x )的大致图象，如图，由图象知，要使f (x )＝2有两个解．则a －3<2，得a <5，故选C.
[答案] C
13．(2019·河南名校联考)已知函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一的零点，则实数m 的值为________．
[解析] 由题意，函数f (x )为偶函数，在x ＝0处有定义且存在唯一零点，所以唯一零点为0，则02－m cos0＋m 2＋3m －8＝0，解得m ＝－4或m ＝2.将m ＝－4代入解析式，得f (x )＝x 2＋4cos x －4，分离得两个函数y ＝－x 2＋4，y ＝4cos x ，如图知f (x )存在3个零点，不符合题意，仅m ＝2时f (x )存在唯一零点．
[答案] 2
14．已知函数f (x )＝－x 2
＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)．
(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
[解] (1)作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的大致图象如图(1)．
图(1)
可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，
作出g (x )＝x ＋e 2
x (x >0)的大致图象如图(2)．
图(2)
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，
最大值为m －1＋e 2.
故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．
拓展延伸练
15．(2019·山西质量检测)已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，x ≤0，
|ln x |，x >0，则方程
f [f (x )]＝3的根的个数是( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
[答案] C
16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
|log 2(x －1)|，1<x ≤3，
12x 2－9
2x ＋10，x >3，
若方程f (x )＝m 有
四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则⎝ ⎛⎭
⎪⎫
m x 1＋m x 2(x 3＋
x 4)的取值范围为________．
[解析] 方程f (x )＝m 有四个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4可转化为函数f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4，作出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象得0<m <1，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)．由f (x 1)＝f (x 2)可得，|log 2(x 1－1)|＝|log 2(x 2－1)|，又1<x 1<2<x 2，所以log 2(x 1－1)＋log 2(x 2－1)＝0，
得(x 1－1)(x 2－1)＝1，整理得x 1x 2＝x 1＋x 2，所以1x 1＋1x 2
＝1. 由f (x 3)＝f (x 4)及二次函数图象的对称性，得x 3＋x 4＝9，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 1＋m x 2(x 3＋x 4)＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 1＋1x 2(x 3＋x 4)＝9m ∈(0,9)．
[答案]
(0,9)。