专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第四篇三角函数与解三角形
专题4.05函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
【考试要求】
1.结合具体实例，了解y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；
2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
【知识梳理】
1.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x －
φ
ω－
φ
ω＋
π
2ω
π－φ
ω
3π
2ω－
φ
ω
2π－φ
ω
ωx＋φ0π
2
π
3π
2
2π
y＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 2.函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝
2π
ωf＝
1
T＝
ω
2πωx＋φφ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径
4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k
中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f (x )的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案. 【微点提醒】
1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φ
ω
个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )确定其横坐标.
3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y ＝A sin ωx ，其中x 表示时间，y 表示纯音振动时音叉的位移，|ω|
2π
表示纯音振动的频率(对应音高)，A 表示纯音振动的振幅(对应音强).
4.交变电流可以用三角函数表达为y ＝A sin(ωx ＋φ)，其中x 表示时间，y 表示电流，A 表示最大电流，|ω|
2π表
示频率，φ表示初相位. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π
4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T
2.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√
【解析】 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π
4
个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos 2x .
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪
φω.故当ω≠1时平移的长度不相等.
【教材衍化】
2.(必修4P56T3改编)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A.2，4π，π3
B.2，14π，π
3
C.2，14π，－π3
D.2，4π，－π
3
【答案】 C
【解析】 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π
3
.
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________. 【答案】 y ＝6－cos π
2
x
【解析】 设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，
由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π
2，
所以y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫π
2x ＋φ＋6. 因为当x ＝2时，y ＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，可取φ＝－π
2.
所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π
2x . 【真题体验】
4.(2019·北京通州区模拟)函数y ＝2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6的部分图象是( )
【答案】 A
【解析】 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π
6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭
⎫－π
12，2，故排除C. 5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移1
4
个周期后，所得图象对应的函数为( )
A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4
B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4
D.y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π3 【答案】 D
【解析】 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π
4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，故选D. 6.(2018·济南模拟改编)y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 【答案】
π2＋4
【解析】 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4. 【考点聚焦】
考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫
5π12，0，求θ的最小值. 【答案】见解析
【解析】(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π
6
.数据补全如下表：
且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2θ－π
6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)(k ∈Z ). 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π
12
－θ(k ∈Z ).
由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12(k ∈Z )，解得θ＝k π2－π
3(k ∈Z ). 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π
6
.
【规律方法】 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3
2
π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象； (2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π
3，则下面结论正确的是( ) A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线
C 2
B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲
线C 2
C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线
C 2
D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12个单位长度，得到曲
线C 2
(2)(2018·青岛调研)若把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象向左平移π
3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )
A.2
B.32
C.23
D.12
【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1)易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π
12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π
2＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，因此D 项正确. (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ω3π－π6和函数y ＝cos ωx 的图象重合，可得ω3π－π6＝π
2＋2k π，k ∈Z ，则ω＝6k ＋2，k ∈Z .∴2是ω的一个可能值.
考点二 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________.
(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，已知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1，B ⎝⎛⎭
⎫11π
12，－1，则f (x )图象的对称中心为( )
A.⎝⎛⎭⎫k π2＋5π6，0(k ∈Z )
B.⎝⎛⎭⎫k π＋5π
6，0(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z )
D.⎝⎛⎭
⎫k π＋π
6，0(k ∈Z ) 【答案】 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3 (2)C 【解析】 (1)由题图可知A ＝2， 法一
T 4＝7π12－π3＝π
4
， 所以T ＝π，故ω＝2，
因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，
又⎝⎛⎭⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点，
因此2×π3＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝π
3＋2k π(k ∈Z ).
又|φ|<π2，所以φ＝π
3
.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二 以⎝⎛⎭⎫π3，0为第二个“零点”，⎝⎛⎭⎫7π
12，－2为最小值点， 列方程组⎩⎨⎧ω·π
3
＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧ω＝2，φ＝π3，
故f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π＝2π
ω，∴ω＝2， 因此f (x )＝sin(2x ＋φ).
由五点作图法知A ⎝⎛⎭⎫5π12，1是第二点，得2×5π12＋φ＝π
2
， 2×5π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π
3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ).
∴f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ).
【规律方法】 1.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定. 2.y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法
(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】 (1)(2019·衡水中学一模)已知函数f (x )＝－2cos ωx (ω>0)的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π
2个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为( )
A.π6
B.5π6
C.π12
D.5π12
(2)(2019·山东省重点中学质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π
2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________.
【答案】 (1)C (2)x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z )
【解析】 (1)由题图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫
11π12－5π12＝π， ∴ω＝2π
T ＝2，∴f (x )＝－2cos 2x ，
∴f (x ＋φ)＝－2cos(2x ＋2φ)，
则由图象知，f ⎝⎛⎭⎫512π＋φ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫5
6π＋2φ＝2. ∴
5π6＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z )，则φ＝π
12
＋k π(k ∈Z ). 又0<φ<π2，所以φ＝π12.
(2)由图象知A ＝2，
又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝1
2，
又|φ|<π2，∴φ＝π6.
又
11π12×ω＋π
6
＝2π，∴ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z ).
∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π
6(k ∈Z ). 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用 角度1 三角函数模型的应用
【例3－1】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O 离地面1米，点O 在地面上的射影为A .风车圆周上一点M 从最低点O 开始，逆时针方向旋转40秒后到达P 点，则点P 到地面的距离是________米.
【答案】 4
【解析】 以圆心O 1为原点，以水平方向为x 轴方向，以竖直方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O 离地面1米，12秒转动一周，设∠OO 1P ＝θ，运动t (秒)后与地面的距离为f (t )，
又周期T ＝12，所以θ＝π
6
t ，
则f (t )＝3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2＝3－2cos π
6t (t ≥0)， 当t ＝40 s 时，f (t )＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫π
6×40＝4. 角度2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，
b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 【答案】见解析
【解析】(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)
＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π
3， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的单调递增区间是⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z ). (2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；
所以g (x )＝2sin 2x ＋1.
令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π
12
.
【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. 2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【训练3】 (1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π
6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】 20.5
【解析】 因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫
π6×4 ＝23－5×1
2
＝20.5.
(2)已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋5
2
3(其中x ∈R )，求：
①函数f (x )的最小正周期； ②函数f (x )的单调区间；
③函数f (x )图象的对称轴和对称中心. 【答案】见解析
【解析】①因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋53
2
＝5(12sin 2x －3
2cos 2x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝
2π2
＝π. ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递增区间为
⎣
⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递减区间为
⎣
⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ). ③由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π
12(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π
12(k ∈Z ).
由2x －π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π6，0(k ∈Z ). 【反思与感悟】
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化. 2.由图象确定函数解析式
解决由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定A ，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要
从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 【易错防范】
1.由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域. 【核心素养提升】
【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成. 类型1 三角函数的周期T 与ω的关系
【例1】 为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为( ) A.98π B.1972
π C.1992
π D.100π
【答案】 B
【解析】 由题意，至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以1974T ＝1974·2πω≤1，所以ω≥197
2π.
【评析】 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T ＝2π
ω与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤
π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.0≤ω≤23
B.0≤ω≤3
2
C.2
3
≤ω≤3
D.3
2
≤ω≤3 【答案】 D
【解析】 令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k π
ω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减， 所以⎩
⎨⎧π2ω＋2k πω≤π
3，π2≤3π2ω＋2k π
ω
，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.
又ω>0，所以k ≥0，
又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <3
4，所以k ＝0.
故3
2
≤ω≤3. 【评析】 根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围. 类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系
【例3】 (1)(2019·枣庄模拟)已知f (x )＝sin ωx －cos ωx ⎝⎛⎭⎫ω>2
3，若函数f (x )图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π
4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】 (1)⎣⎡⎦⎤34，78 (2)⎩⎨⎧
⎭⎬⎫ω|ω≤－2或ω≥32 【解析】 (1)f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
4， 令ωx －π4＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝3π4ω＋k π
ω(k ∈Z ).
当k ＝0时，3π4ω≤π，即3
4≤ω，
当k ＝1时，3π4ω＋πω≥2π，即ω≤7
8.
综上，34≤ω≤7
8
.
(2)显然ω≠0，分两种情况：
若ω>0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π
4
ω. 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥3
2. 若ω<0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π
3
ω， 因函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以π4ω≤－π
2，解得ω≤－2. 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥3
2
.
【评析】 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何. 【分层训练】
【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )
A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6
B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3
C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6
D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【答案】 A
【解析】 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦
⎤π
3－⎝⎛⎭
⎫－π6＝π， 所以ω＝2，由五点作图法知2×π3＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
所以φ＝－π
6
，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 2.(2019·杭州期中)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是( ) A.－3π
4
B.－π4
C.π4
D.5π4
【答案】 B
【解析】 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＝12sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后得到的图象对应的函数为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，由题意得π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π
4(k ∈Z )，当k ＝－1，0，1时，φ的值分别为－3π4，π4，5π4，φ的取值不可能是－π4
. 3.(2019·咸阳模拟)已知点P (32，－332)是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与点P 相
邻的两个最高点，若∠MPN ＝60°，则该函数的最小正周期是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 D
【解析】 由P 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M ，N 是与P 相邻的两个最高点，知|MP |＝|NP |，
又∠MPN ＝60°，所以△MPN 为等边三角形. 由P (32，－33
2)，得|MN |＝2×
33
23×2＝6.
∴该函数的最小正周期T ＝6.
4.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π
10个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π
4上单调递增 B.在区间⎣⎡⎦⎤－π
4，0上单调递减 C.在区间⎣⎡⎦⎤
π4，π2上单调递增 D.在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减 【答案】 A
【解析】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π10，将其图象向右平移π
10个单位长度，得到函数y ＝sin 2x 的图象.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π
4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增.
5.(2019·张家界模拟)将函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向左平移t (t >0)个单位后，得到函数g (x )的图象，若g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫π
12－x ，则实数t 的最小值为( ) A.5π
24 B.7π
24
C.5π12
D.7π12
【答案】 B
【解析】 由题意得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2t －π
6， 从而2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π6＝2sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫π12－x ＋2t －π
6
＝－2sin(2x －2t )＝2sin(2x －2t ＋π)，又t >0， 所以当2t －π6＝－2t ＋π＋2k π(k ∈Z )时，即t ＝7π24＋k π2(k ∈Z )，实数t min ＝7
24π.
二、填空题
6.将函数y＝sin x
的图象上所有的点向右平移
π
10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2
倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.
【答案】y＝sin⎝⎛⎭⎫
1
2x－
π
10
―————————―→
横坐标伸长到
原来的2倍
y＝sin⎝⎛⎭⎫
1
2x－
π
10.
7.(2018·沈阳质检)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f⎝⎛⎭⎫
π
4＝________.
【答案】 3
【解析】由图象可知A＝2，
3
4T＝
11π
12－
π
6＝
3π
4，∴T＝π，∴ω＝2.
∵当x＝
π
6时，函数f(x)取得最大值，
∴2×
π
6＋φ＝
π
2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝
π
6＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝
π
6，∴f(x)＝2sin⎝
⎛
⎭
⎫
2x＋
π
6，
则f⎝⎛⎭⎫
π
4＝2sin⎝
⎛
⎭
⎫
π
2＋
π
6＝2cos
π
6＝ 3.
8.已知f(x)＝sin⎝⎛⎭⎫
ωx＋
π
3(ω>0)，f⎝
⎛
⎭
⎫π
6＝f⎝
⎛
⎭
⎫π
3，且f(x)在区间⎝
⎛
⎭
⎫
π
6，
π
3上有最小值，无最大值，则ω＝____________________________________.
【答案】
14
3
【解析】依题意，x＝
π
6＋
π
3
2＝
π
4时，y有最小值，
∴sin⎝⎛⎭⎫
π
4·ω＋
π
3＝－1，∴
π
4
ω＋
π
3＝2kπ＋
3π
2(k∈Z).
∴ω＝8k＋
14
3(k∈Z)，
因为f(x)在区间⎝⎛⎭⎫
π
6，
π
3上有最小值，无最大值，
所以π3－π4≤π
ω，即ω≤12，
令k ＝0，得ω＝14
3.
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差. 【答案】见解析
【解析】(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π
12×8 ＝10－3cos
2π3－sin 2π3
＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－3
2＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f (t )＝10－2(
32cos π12t ＋12sin π
12
t ) ＝10－2sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π3， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π
3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π
3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭
⎫π12t ＋π
3＝－1. 于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
10.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π
3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f ⎝⎛⎭⎫
π4的值；
(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π
12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.
【答案】见解析
【解析】(1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，
所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2π
T ＝2.
又f (x )的图象关于直线x ＝π
3对称，
所以2×π3＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )，
因为－π2≤φ＜π
2
，所以k ＝0，
所以φ＝π2－2π3＝－π
6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则f ⎝⎛⎭⎫π4＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32
. (2)将f (x )的图象向右平移π
12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎫x －π12的图象， 所以g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π
6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2
(k ∈Z )，
即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12(k ∈Z )时，g (x )单调递减.
因此g (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π
12(k ∈Z ). 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.(2019·天津和平区调研)已知x ＝π
12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将
函数f (x )的图象向右平移3π
4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为( ) A.－2 B.－1 C.－ 2 D.－ 3
【答案】 B
【解析】 ∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π
6(k ∈Z ). ∵0<φ<π，∴φ＝π
6
，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝⎛⎭
⎫π
6＝－1. 12.函数f (x )＝220sin 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π
3，且已知对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1|的最小值为( ) A.50π B.1
100π C.1100
D.440
【答案】 C
【解析】 f (x )＝220s in 100πx －220sin ⎝⎛⎭⎫100πx ＋2π
3 ＝220⎣⎡⎦⎤sin 100πx －⎝⎛⎭⎫sin 100πx ·cos 2π3＋cos 100πx sin 2π3 ＝220⎝⎛⎭⎫sin 100πx ＋12sin 100πx －3
2cos 100πx
＝2203⎝⎛
⎭
⎫32sin 100πx －12cos 100πx
＝2203×sin ⎝
⎛⎭⎫100πx －π
6， 则由对任意x ∈R ，有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立得当x ＝x 2时，f (x )取得最大值，当x ＝x 1时，f (x )取得最小值，所以|x 2－x 1|的最小值为12T ＝12×2π100π＝1
100
(T 为f (x )的最小正周期)，故选C.
13.(2019·广东省际名校联考)将函数f (x )＝1－23·cos 2x －(sin x －cos x )2的图象向左平移π
3个单位，得到函数
y ＝g (x )的图象，若x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π
2，则函数g (x )的单调递增区间是________. 【答案】 ⎣⎡⎦
⎤－5π12，π
12 【解析】 ∵f (x )＝1－23cos 2 x －(sin x －cos x )2 ＝sin 2x －3cos 2x －3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3－3， ∴g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3－3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3－3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2＋2k π(k ∈Z )，
得－5π12＋k π≤x ≤π
12＋k π(k ∈Z )，
∵x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π2， ∴函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦
⎤－5π12，π
12. 14.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π
2
)的部分图象如图所示.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1
2
倍，再把所得的函数图象向左平
移π
6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上的最小值. 【答案】见解析
【解析】(1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π
2
，
即T ＝π，所以π＝2π
ω，解得ω＝2，
所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝⎛⎭⎫
π6，0， 由0＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ可得π
3＋φ＝2k π(k ∈Z )， 则φ＝2k π－π3(k ∈Z )，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π
3，
故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3. (2)根据条件得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π
3， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎡⎦
⎤π3，5π
6， 所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝1
2.
【新高考创新预测】
15.(多填题)已知函数f (x )＝23sin
ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx
2
－1(ω>0)的最小正周期为π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，方程f (x )＝m 恰有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2＝________，f (x 1＋x 2)＝________. 【答案】 π
3
1
【解析】 函数f (x )＝23sin
ωx 2cos ωx 2＋2cos 2ωx
2
－1＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 由T ＝2π
ω＝π，可得ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π
6，∴－1≤f (x )≤2. 画出f (x )的图象(图略)，结合图象知x 1＋x 2＝π3，
则f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π6＝2sin 5π6＝1.。