力学系统的对称性和守恒量的应用
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这里ξ 0，ξｓ为无限小生成元，而 Noether 守恒量有形式
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂
q 0 ∂t
8
第二章 Lagrange 力学系统的 Noether 对称性，Lie 对称性，
Mei 对称性与守恒量的理论
第一节 Lagrange 力学系统的 Noether 对称性与守恒量
对称性也称不变性。Noether 对称性是指 Hamilton 作用量在群的无限小
变换下的一种不变性。由 Noether 对称性可找到守恒量；反之，由守恒量可
找到相应的 Noether 对称性。Noether 对称性理论不仅可研究完整保守力学系
统，而且可用来研究完整非保守系统，非完整系统和 Birkhoff 系统等。
对于 Lagrange 系统
其中
E s (L) =0（ｓ=1，…，n ）
(2.1)
Es=
d dt
∂ ∂q s
−ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂ ∂q s
(2.2)
引入无限小变换
6
之二。经典力学在量子力学出现之后还在发展。Hamilton 系统犹如一颗参天 大树，已经根深叶茂，成为当今非线性科学中一个最富成果而又生机勃勃的 研究方向。图 1 中的箭头表示发展方向，虚线表示尚待研究的问题。
I Newton 力学
1687 年
II Lagrange 力学
1788 年
III Hamilton 力学 1834~1835 年
为
ξ ξ X (1) = X (0)+(
−q
ss
∂
)
0
∂q
s
(2.4)
二次扩展为
9
ξ ξ ξ X (2)=X (1)+(
− 2q
s
s
−q
0s
∂
)
0
∂qs
(2.5)
若 Lagrange 系统在变换（2.3）下使 Noether 等式成立 L ξ0+ X (1)(L) +G (N )= 0
Hojman 型守恒量的优点在于直接从微分方程出发，而不必知道 Lagrange
函数或 Hamilton 函数就可以找到守恒量。其缺点在于有很多限制，而这些限
制就增加了求守恒量的难度。
第三节 Lagrange 力学系统的 Mei 对称性与守恒量
形式不变性是指微分方程中的动力学函数，如 Lagrange 函数，Hamilton
第一章 绪论 1918 年德国女数学家 Noether 在她的论文中提出“不变变分问题”，即 Noether 理论。这个理论揭示了 Hamilton 作用量在群的无限小变换下的不变 性与守恒量之间的联系。 微分方程在群的无限小变换下的不变性，称为 Lie 对称性，1979 年 Lutzky 将 Lie 理论应用于力学系统，但是这些工作都是由 Lie 对称性通过 Noether 对 称性而间接导出 Noether 守恒量。1992 年 Hojman 提出直接由微分方程出发用 Lie 对称性导出一类守恒量，这种新守恒量称之为 Hojman 型守恒量。 2000 年，北京理工大学教授梅凤翔提出形式不变性。形式不变性是指微 分方程的动力学函数，在经历无限小变换后仍满足原来方程的一种不变性。 有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。 20 世纪以来，力学系统的对称性和守恒量广泛应用于物理学许多领域， 如量子力学，相对论，Birkcoff 系统等。 在国内，北京理工大学教授梅凤翔等人，湖南大学罗绍凯教授等人，对 力学系统对称性和守恒量的应用进行了广泛的研究。 2009 年 3 月份，我的导师王其申教授让我研读安徽师范大学丁光涛教授 的关于《理论力学》方面的论文 10 余篇，我仔细推导，并作了读书笔记，同 时从中国期刊网下载梅凤翔，罗绍凯等人关于力学系统对称性和守恒量的应 用的论文。在导师的指导下，写出《Emden 方程的对称性和守恒量》，《LRC 电路系统对称性和守恒量》两篇论文。本课题研究的目的是将力学系统的对 称性和守恒量广泛应用于现代数学，物理学领域，进而推广到一些类力学系 统，从而获得该类类力学系统的一些性质。
7
力学的守恒律更广，更多，但物理意义也稍欠明显了。 非完整力学中也有循环积分和广义能量积分，但限制条件增加了，例如，
一个非完整系统所受主动力是有势的，非完整约束方程相对速度是齐次的（可 以是非定常的），则存在能量积分。
在 Birkhoff 力学中，对自治和半自治系统，Birkhoff 函数是运动积分，而 Birkhoff 函数可以是能量，也可以是别的量，这时运动积分的物理意义也欠明 显。
在时间不变的无限小变换下，式（2.9）成为
(2.8) (2.9)
d dt
d dt
ξ
s=
∂F s ∂q k
ξ
k+
∂F s ∂q k
d dt
ξ
k
(2.10)
10
其中
d dt
=
∂ ∂t
+
q s
∂ ∂t
+
Fs
∂ ∂q s
Hojman 指出，如果存在某函数 µ = µ(t,q,q) 满足
(2.11)
s ∂qs dt s
s dt ∂ s
(2.17)
则系统形式不变性导致守恒量
I
F=
X~ (1) (L)ξ
0+
∂X~ (1) (L) ∂q s
(ξ
s−q s ξ
0)
+GF =
常数
(2.18)
对其他约束力学系统，结构方程有变化，而守恒量总有形式（2.18）。形式不
变性的最初结果，由北京理工大学梅凤翔教授于 2000 年在北京理工大学学报
5
第一节 经典力学的发展阶段 1687 年 Newton(1642~1727)出版《自然哲学的数学原理》，总结出了物体 运动的 3 个基本定律，创立了经典力学的理论体系。但是，Newton 主要研究 自由质点的运动规律。1743 年 d’Alembert(1717~1783) 出版《动力学》，将 Newton 运动定律推广到受约束物体的运动规律，即著名的 d’Alembert 原理。 1788 年 Lagrange(1736~1813)出版《分析力学》，吸收并发展了 Euler，d’Alembert 等人的研究成果，提出虚功原理，动力学普遍方程和 Lagrange 方程，创立了 分析力学的理论体系，使经典力学进入第 2 个发展阶段——Lagrange 力学。 1834~1835 年，Hamilton（1805~1865）在他的两篇论文“论动力学的一个普 遍方法”，“再论动力学的普遍方法”中提出了 Hamilton 原理，建立了 Hamilton 正则方程，经典力学进入第 3 个发展阶段——Hamilton 力学。1894 年 Hertz 出版《新约束中描述的力学原理》，提出了完整和非完整系统的术语，从此经 典力学发展到第 4 个阶段——非完整力学。Hamilton 力学的进一步发展出现 了两个分支，一个是 Birkhoff 力学，另一个是广义 Hamilton 力学。1927 年 Birkhoff 出版《动力系统》，书中提出一个积分变分原理和一类新型运动方程。 1983 年 Santilli 出版《理论力学基础 II，Hamilton 力学的 Birkhoff 推广》，将 Birkhoff 的方程推广到含时间的系统，指出 Birkhoff 力学是由 Hamilton 力学 通过变换理论构造出的最一般可能的力学。Birkhoff 力学是经典力学发展的第 5 个阶段之一。20 世纪 50 年代，物理学家 Pauli ,Martin 试图推广 Hamilton 力 学而提出了广义 Hamilton 力学。广义 Hamilton 力学的基本思想是构造一个 Hamilton 系统，在这个系统中正则变量用非正则变量替代，而这些非正则变 量通常是系统的物理变量。广义 Hamilton 力学是经典力学发展的第 5 个阶段
对于带有非保守力的 Lagrange 系统，Noether 等式需增加与非保守力相
关的项，而守恒量仍有形式(2.7)。
第二节 Lagrange 力学系统的 Lie 对称性与守恒量
微分方程在无限小变换下的不变性，称为 Lie 对称性。
由微分方程出发用 Lie 对称性可直接导出一类守恒量，这起源于 Hojman
函数，广义力，约束方程中的函数，Birkhoff 函数等，在经历无限小变换后仍
然满足原来方程的一种不变性。
对 Lagrange 系统（2.1），变换后的 Lagrange 函数为
L∗
=
L(t∗, q∗,
dq∗ dt ∗
)
=
L(t, q, q)
+
εX
(1) (L)
+
O(ε
2)
(2.14)
将式（2.14）代入方程（2.1），忽略ε 2 及更高阶小项，得到判据方程
d’Alembert 解除约束 1743 年
IV Hertz 非完整力学
1894 年
V1 Birkhoff 力学
1927 年
V2 广义 Hamilton 力学
1834~1835 年
图 1 经典力学的发展阶段
第二节 经典力学的经典守恒量 Newton 力学通过力的分析可找到 3 个守恒量：动量守恒，动量矩守恒和 机械能守恒。这三个守恒律都具有明显的物理意义。 Lagrange 力学和 Hamilton 力学通过 Lagrange 函数和 Hamilton 函数的表 达式，可找到循环积分和广义能量积分。循环积分可以代表动量守恒，可以 代表动量矩守恒，也可以既不是动量守恒也不是动量矩守恒。广义能量积分 可以是机械能守恒，也可以不是。因此，分析力学得到的运动积分比 Newton
则系统存在守恒量
∂F s ∂q s
+
d dt
ln µ
=
0
(2.12)
I
H=
1 µ
∂ ∂q s
(µξ
s)
+
1 µ
∂ ∂q s
(µ
dξ dt
s) =常数
对其他约束力学系统有类似结果。
(2.13)
由 Lie 对称性（2.10）求守恒量（2.13）是有很大困难的，甚至有文章指
出，Hojman 得到的守恒量对所有 Noether 对称性都是平凡的。
t′ = t + εξ 0(t, q, q)
q′s=qs+εξ s(t, q, q)
( 2.3)
其中ε 为无限小参数，ξ 0 和ξ s 为无限小变换的生成元或生成函数，该变换生成
元向量为
ξ ξ X (0) = ∂ +
∂
0 ∂t
s ∂qs
式中右方第二项对重复指标从 1 到 n 求和（下同），生成元向量的一次扩展
第三节 经典力学的对称性与守恒量 寻求力学系统的运动积分是经典约束系统动力学的主要任务之一。 经典约束力学系统，可分为完整系统，非完整系统和 Birkhoff 系统等 3 类。在这三类约束系统中，除了具有明显物理意义，稍欠明显物理意义的运 动积分以外，是否还存在更欠明显物理意义、甚至没有物理意义的运动积分 呢？如果能够找到一个理论，用这个理论既能求得 Newton 力学的守恒律，又 能求得 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的运动积分，还能求得更多的运动积 分，那么这个理论就是一个好的理论。1918 年德国女数学家 Noether 在她的 论文中提出“不变变分问题”，即 Noether 理论。这个理论揭示了 Hamilton 作 用量在群的无限小变换下的不变性与守恒量之间的联系。Noether 理论为数理 科学带来了一片光明。
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂
q 0 ∂t
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第二章 Lagrange 力学系统的 Noether 对称性，Lie 对称性，
Mei 对称性与守恒量的理论
第一节 Lagrange 力学系统的 Noether 对称性与守恒量
对称性也称不变性。Noether 对称性是指 Hamilton 作用量在群的无限小
变换下的一种不变性。由 Noether 对称性可找到守恒量；反之，由守恒量可
找到相应的 Noether 对称性。Noether 对称性理论不仅可研究完整保守力学系
统，而且可用来研究完整非保守系统，非完整系统和 Birkhoff 系统等。
对于 Lagrange 系统
其中
E s (L) =0（ｓ=1，…，n ）
(2.1)
Es=
d dt
∂ ∂q s
−ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂ ∂q s
(2.2)
引入无限小变换
6
之二。经典力学在量子力学出现之后还在发展。Hamilton 系统犹如一颗参天 大树，已经根深叶茂，成为当今非线性科学中一个最富成果而又生机勃勃的 研究方向。图 1 中的箭头表示发展方向，虚线表示尚待研究的问题。
I Newton 力学
1687 年
II Lagrange 力学
1788 年
III Hamilton 力学 1834~1835 年
为
ξ ξ X (1) = X (0)+(
−q
ss
∂
)
0
∂q
s
(2.4)
二次扩展为
9
ξ ξ ξ X (2)=X (1)+(
− 2q
s
s
−q
0s
∂
)
0
∂qs
(2.5)
若 Lagrange 系统在变换（2.3）下使 Noether 等式成立 L ξ0+ X (1)(L) +G (N )= 0
Hojman 型守恒量的优点在于直接从微分方程出发，而不必知道 Lagrange
函数或 Hamilton 函数就可以找到守恒量。其缺点在于有很多限制，而这些限
制就增加了求守恒量的难度。
第三节 Lagrange 力学系统的 Mei 对称性与守恒量
形式不变性是指微分方程中的动力学函数，如 Lagrange 函数，Hamilton
第一章 绪论 1918 年德国女数学家 Noether 在她的论文中提出“不变变分问题”，即 Noether 理论。这个理论揭示了 Hamilton 作用量在群的无限小变换下的不变 性与守恒量之间的联系。 微分方程在群的无限小变换下的不变性，称为 Lie 对称性，1979 年 Lutzky 将 Lie 理论应用于力学系统，但是这些工作都是由 Lie 对称性通过 Noether 对 称性而间接导出 Noether 守恒量。1992 年 Hojman 提出直接由微分方程出发用 Lie 对称性导出一类守恒量，这种新守恒量称之为 Hojman 型守恒量。 2000 年，北京理工大学教授梅凤翔提出形式不变性。形式不变性是指微 分方程的动力学函数，在经历无限小变换后仍满足原来方程的一种不变性。 有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。 20 世纪以来，力学系统的对称性和守恒量广泛应用于物理学许多领域， 如量子力学，相对论，Birkcoff 系统等。 在国内，北京理工大学教授梅凤翔等人，湖南大学罗绍凯教授等人，对 力学系统对称性和守恒量的应用进行了广泛的研究。 2009 年 3 月份，我的导师王其申教授让我研读安徽师范大学丁光涛教授 的关于《理论力学》方面的论文 10 余篇，我仔细推导，并作了读书笔记，同 时从中国期刊网下载梅凤翔，罗绍凯等人关于力学系统对称性和守恒量的应 用的论文。在导师的指导下，写出《Emden 方程的对称性和守恒量》，《LRC 电路系统对称性和守恒量》两篇论文。本课题研究的目的是将力学系统的对 称性和守恒量广泛应用于现代数学，物理学领域，进而推广到一些类力学系 统，从而获得该类类力学系统的一些性质。
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力学的守恒律更广，更多，但物理意义也稍欠明显了。 非完整力学中也有循环积分和广义能量积分，但限制条件增加了，例如，
一个非完整系统所受主动力是有势的，非完整约束方程相对速度是齐次的（可 以是非定常的），则存在能量积分。
在 Birkhoff 力学中，对自治和半自治系统，Birkhoff 函数是运动积分，而 Birkhoff 函数可以是能量，也可以是别的量，这时运动积分的物理意义也欠明 显。
在时间不变的无限小变换下，式（2.9）成为
(2.8) (2.9)
d dt
d dt
ξ
s=
∂F s ∂q k
ξ
k+
∂F s ∂q k
d dt
ξ
k
(2.10)
10
其中
d dt
=
∂ ∂t
+
q s
∂ ∂t
+
Fs
∂ ∂q s
Hojman 指出，如果存在某函数 µ = µ(t,q,q) 满足
(2.11)
s ∂qs dt s
s dt ∂ s
(2.17)
则系统形式不变性导致守恒量
I
F=
X~ (1) (L)ξ
0+
∂X~ (1) (L) ∂q s
(ξ
s−q s ξ
0)
+GF =
常数
(2.18)
对其他约束力学系统，结构方程有变化，而守恒量总有形式（2.18）。形式不
变性的最初结果，由北京理工大学梅凤翔教授于 2000 年在北京理工大学学报
5
第一节 经典力学的发展阶段 1687 年 Newton(1642~1727)出版《自然哲学的数学原理》，总结出了物体 运动的 3 个基本定律，创立了经典力学的理论体系。但是，Newton 主要研究 自由质点的运动规律。1743 年 d’Alembert(1717~1783) 出版《动力学》，将 Newton 运动定律推广到受约束物体的运动规律，即著名的 d’Alembert 原理。 1788 年 Lagrange(1736~1813)出版《分析力学》，吸收并发展了 Euler，d’Alembert 等人的研究成果，提出虚功原理，动力学普遍方程和 Lagrange 方程，创立了 分析力学的理论体系，使经典力学进入第 2 个发展阶段——Lagrange 力学。 1834~1835 年，Hamilton（1805~1865）在他的两篇论文“论动力学的一个普 遍方法”，“再论动力学的普遍方法”中提出了 Hamilton 原理，建立了 Hamilton 正则方程，经典力学进入第 3 个发展阶段——Hamilton 力学。1894 年 Hertz 出版《新约束中描述的力学原理》，提出了完整和非完整系统的术语，从此经 典力学发展到第 4 个阶段——非完整力学。Hamilton 力学的进一步发展出现 了两个分支，一个是 Birkhoff 力学，另一个是广义 Hamilton 力学。1927 年 Birkhoff 出版《动力系统》，书中提出一个积分变分原理和一类新型运动方程。 1983 年 Santilli 出版《理论力学基础 II，Hamilton 力学的 Birkhoff 推广》，将 Birkhoff 的方程推广到含时间的系统，指出 Birkhoff 力学是由 Hamilton 力学 通过变换理论构造出的最一般可能的力学。Birkhoff 力学是经典力学发展的第 5 个阶段之一。20 世纪 50 年代，物理学家 Pauli ,Martin 试图推广 Hamilton 力 学而提出了广义 Hamilton 力学。广义 Hamilton 力学的基本思想是构造一个 Hamilton 系统，在这个系统中正则变量用非正则变量替代，而这些非正则变 量通常是系统的物理变量。广义 Hamilton 力学是经典力学发展的第 5 个阶段
对于带有非保守力的 Lagrange 系统，Noether 等式需增加与非保守力相
关的项，而守恒量仍有形式(2.7)。
第二节 Lagrange 力学系统的 Lie 对称性与守恒量
微分方程在无限小变换下的不变性，称为 Lie 对称性。
由微分方程出发用 Lie 对称性可直接导出一类守恒量，这起源于 Hojman
函数，广义力，约束方程中的函数，Birkhoff 函数等，在经历无限小变换后仍
然满足原来方程的一种不变性。
对 Lagrange 系统（2.1），变换后的 Lagrange 函数为
L∗
=
L(t∗, q∗,
dq∗ dt ∗
)
=
L(t, q, q)
+
εX
(1) (L)
+
O(ε
2)
(2.14)
将式（2.14）代入方程（2.1），忽略ε 2 及更高阶小项，得到判据方程
d’Alembert 解除约束 1743 年
IV Hertz 非完整力学
1894 年
V1 Birkhoff 力学
1927 年
V2 广义 Hamilton 力学
1834~1835 年
图 1 经典力学的发展阶段
第二节 经典力学的经典守恒量 Newton 力学通过力的分析可找到 3 个守恒量：动量守恒，动量矩守恒和 机械能守恒。这三个守恒律都具有明显的物理意义。 Lagrange 力学和 Hamilton 力学通过 Lagrange 函数和 Hamilton 函数的表 达式，可找到循环积分和广义能量积分。循环积分可以代表动量守恒，可以 代表动量矩守恒，也可以既不是动量守恒也不是动量矩守恒。广义能量积分 可以是机械能守恒，也可以不是。因此，分析力学得到的运动积分比 Newton
则系统存在守恒量
∂F s ∂q s
+
d dt
ln µ
=
0
(2.12)
I
H=
1 µ
∂ ∂q s
(µξ
s)
+
1 µ
∂ ∂q s
(µ
dξ dt
s) =常数
对其他约束力学系统有类似结果。
(2.13)
由 Lie 对称性（2.10）求守恒量（2.13）是有很大困难的，甚至有文章指
出，Hojman 得到的守恒量对所有 Noether 对称性都是平凡的。
t′ = t + εξ 0(t, q, q)
q′s=qs+εξ s(t, q, q)
( 2.3)
其中ε 为无限小参数，ξ 0 和ξ s 为无限小变换的生成元或生成函数，该变换生成
元向量为
ξ ξ X (0) = ∂ +
∂
0 ∂t
s ∂qs
式中右方第二项对重复指标从 1 到 n 求和（下同），生成元向量的一次扩展
第三节 经典力学的对称性与守恒量 寻求力学系统的运动积分是经典约束系统动力学的主要任务之一。 经典约束力学系统，可分为完整系统，非完整系统和 Birkhoff 系统等 3 类。在这三类约束系统中，除了具有明显物理意义，稍欠明显物理意义的运 动积分以外，是否还存在更欠明显物理意义、甚至没有物理意义的运动积分 呢？如果能够找到一个理论，用这个理论既能求得 Newton 力学的守恒律，又 能求得 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的运动积分，还能求得更多的运动积 分，那么这个理论就是一个好的理论。1918 年德国女数学家 Noether 在她的 论文中提出“不变变分问题”，即 Noether 理论。这个理论揭示了 Hamilton 作 用量在群的无限小变换下的不变性与守恒量之间的联系。Noether 理论为数理 科学带来了一片光明。