江苏省连云港市灌云县2024年高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题

江苏省连云港市灌云县2024年高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知3log 74a =，2log b m =，52c =
，若a b c >>，则正数m 可以为（ ） A ．4 B ．23 C ．8 D ．17
2．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >），以点P （,0b ）为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若90MPN ∠=︒，则C 的离心率为（ ）
A B C D ．2
3．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，
n 等于（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
4．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．定义,,a a b a b b a b
≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ）
A ．23
B ．1
C ．43
D ．2
6．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量X 与Y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（）
A．B．C．D．
8．运行如图程序，则输出的S的值为（）
A．0 B．1 C．2018 D．2017
9．已知α，β表示两个不同的平面，l为α内的一条直线，则“α∥β是“l∥β”的（）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =
，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3
788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388
BA BC + 11．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）
A ．16
B ．14
C ．13
D ．12
12．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知单位向量,a b 的夹角为2π3
,则|2|a b -=_________. 14．已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____．
15．已知函数21,0()(2),0
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______________.
16．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有A ，B 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02，0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为15万元；若A 工序出现故障，则生产成本增加2万元；若B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若A ，B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线②：有a ，b 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概
率依次是0.04，0.01.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为14万元；若a 工序出现故障，则生产成本增加8万元；
若b 工序出现故障，则生产成本增加5万元；若a ，b 两道工序都出现故障，则生产成本增加13万元.
（1）若选择生产线①，求生产成本恰好为18万元的概率；
（2）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.
18．（12分）设函数()(2cos )sin f x ax x x =+-，()f x '是函数()f x 的导数.
（1）若1a =，证明()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点； （2）在(0,)x ∈+∞上()0f x >恒成立，求a 的取值范围.
19．（12分）已知首项为2的数列{}n a 满足1
1221
n n n na a n +++=+. （1）证明：数列2n n na ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列． （2）令n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .
20．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.
（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；
（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？
（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.
附：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 2K k ≥ 0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879
21．（12分）已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为2ln 33-. （1）求a ；
（2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21
x h x f x x =-+(0)x >的单调性；
（3）设12,5
a =()1n n a f a +=，求证：1521202n n n a +-<-<(2)n ≥. 22．（10分）已知函数2()x x
f x xe ae =-（a ∈R ）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且12x x <，若不等式120x x λ+>恒成立.求正实数λ的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C
【解析】
首先根据对数函数的性质求出a 的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵3333log 27log 74log 814a =<=<=，∴当8m =时，2log 3b m ==满足a b c >>，∴实数m 可以为8. 故选：C
【点睛】
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
2、A
【解析】
求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点，且90MPN ∠=︒，则可根据圆心
到渐近线距离为
2
a 列出方程，求解离心率． 【详解】 不妨设双曲线C 的一条渐近线0bx ay -=与圆P 交于,M N ，
因为90MPN ∠=︒，所以圆心P 到0bx ay -=2
2
2b a c ==，
即2222c a -=，因为1c e a
=>
，所以解得e = 故选A ．
【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立关于,a c 的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程.
3、A
【解析】
先令1,1p q ==，找出21,a a 的关系，再令1,2p q ==，得到213,,a a a 的关系，从而可求出1a ，然后令,1p n q ==，
可得12n n a a +-=，得出数列{}n a 为等差数列，得212n n S n =-，可求出n S 取最小值.
【详解】
解法一：由()()3121113132137a a a a a =++=+++=-，所以111a =-，由条件可得，对任意的
*
11,132n n n n a a a a +∈=++=+N ，所以{}n a 是等差数列，213n a n =-，要使n S 最小，由10,0n n a a +⎧⎨≥⎩解得111322n ，则6n =.
解法二：由赋值法易求得212311,9,7,
,213,12n n a a a a n S n n =-=-=-=-=-，可知当6n =时，n S 取最小值.
故选：A
【点睛】
此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.
4、C
【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案.
【详解】
①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；
②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙；
③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，
故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；
④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙.
综上所述，年纪最大的是丙
故选：C.
【点睛】
本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题.
5、A
【解析】
根据分段函数的定义得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.
【详解】
依题意得()()F x f x ≥，()()F x g x ≥，则2()()()F x f x g x ≥+,
22222211111()()()[(2sin )(2cos )]2sin 2cos 32sin 2cos f x g x x x x x x x
+=+=+-+-----
222212cos 2sin 14(2)(232sin 2cos 33
x x x x --=++≥+=--(当且仅当222cos 2sin x x --222sin 2cos x x -=-，即221sin cos 2x x ==
时“=”成立.此时,2()()3f x g x ==，42()3F x ∴≥，()F x ∴的最小值为23
， 故选：A.
【点睛】
本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2()()()F x f x g x ≥+，再由基本不等式求得最值，属于中档题.
6、C
【解析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．
【详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接
近于0；故②为真命题；
③对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故③为假命题． 故选：C ．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．
7、C
【解析】
利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．
【详解】 ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间
内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；
④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
8、D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin
2018,32S i π
=+==，不满足条件； 第二次：32018sin 201812017,52S
i π=+=-==，不满足条件； 第三次：52017sin 2018,72S
i π=+==，不满足条件； 第四次：72018sin 201812017,92S
i π=+=-==，不满足条件； 第五次：92017sin 2018,112S
i π=+==，不满足条件； 第六次：112018sin 201812017,132S
i π=+=-==，满足条件，退出循环．输出1．选D ． 9、A
【解析】
试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．
解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，
则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立， ∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件．
故选A ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．
10、B
【解析】 由13
AD DC =，可得34CD CA =，1()2CE CB CD =+13()24CB CA =+，再将CA BA BC =-代入即可. 【详解】 因为13
AD DC =，所以34CD CA =，故1()2CE CB CD =+=13()24CB CA += 133()244BC BA BC -+-=3788
BA BC -. 故选：B.
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.
11、A
【解析】
每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.
【详解】
派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家
基本事件总数：234336n C A ==
甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==
∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366
m p n =
== 本题正确选项：A
【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
12、C
【解析】
设抛物线的解析式22(0)y px p =>，得焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-，这样可设A 点坐标为
,22p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，代入抛物线方程可求得p ，而P 到直线AB 的距离为p ，从而可求得三角形面积． 【详解】
设抛物线的解析式22(0)y px p =>， 则焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，对称轴为x 轴，准线为2p x =-， ∵ 直线l 经过抛物线的焦点，A ，B 是l 与C 的交点，
又AB x ⊥轴，∴可设A 点坐标为,22p ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 代入22y px =，解得2p =， 又∵点P 在准线上，设过点P 的AB 的垂线与AB 交于点D ，||222p p DP p =
+-==， ∴11||||24422
ABP S DP AB ∆=
⋅=⨯⨯=. 故应选C.
【点睛】 本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出A 点坐标，从而求得参数p 的值．本题难度一般．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
【解析】
因为单位向量,a b 的夹角为2π，所以2π1||||cos 32⋅=⋅=-a b a b ，所以
|2|a b -
=.
14、-1
【解析】
讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +
=-（﹣a 4a -）≤﹣=-4，计算等号成立的条件得到答案.
【详解】
已知关于x 的不等式（ax ﹣a 1﹣4）（x ﹣4）＞0，
①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4a +＜0， 故解集为（a 4a +
，4）， 由于a 4a +=-（﹣a 4a -）≤﹣1()4a a ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
4， 当且仅当﹣a 4a
=-
，即a ＝﹣1时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4a +=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣1； ②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；
③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +
）]（x ﹣4）＞0，其中a 4a
+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4a +，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件； 综上所述，a ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
15、(,3)-∞
【解析】
画出函数()f x 的图象，再画32
y x a =
+的图象，求出一个交点时的a 的值，然后平行移动可得有两个交点时的a 的范围．
【详解】
函数()f x 的图象如图所示：
因为方程3()2
f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，
所以()y f x =图象与直线32y x a =
+有且只有两个交点即可， 当过(0,3)点时两个函数有一个交点，即3a =时，32y x a =+与函数()f x 有一个交点， 由图象可知，直线向下平移后有两个交点，
可得3a <，
故答案为：(,3)-∞．
【点睛】
本题主要考查了方程的跟与函数的图象交点的转化，数形结合的思想，属于中档题．
16、1-
【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可．
【详解】
作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立200
x y y m -+=⎧⎨+=⎩，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---. 由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，
241m m ∴---=-，解得1m =-.
故答案为：1-．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）0.0294.（2）应选生产线②.见解析
【解析】
（1）由题意转化条件得A 工序不出现故障B 工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；
（2）分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.
【详解】
（1）若选择生产线①，生产成本恰好为18万元，即A 工序不出现故障B 工序出现故障，故所求的概率为()10.020.030.0294-⨯=.
（2）若选择生产线①，设增加的生产成本为ξ(万元)，则ξ的可能取值为0，2，3，5.
()()()10.0210.0300.9506P ξ==-=⨯-，
()()20.020.010.19403P ξ⨯-===，
()()310.020.030.0294P ξ⨯==-=,
()50.020.020.0006P ξ⨯===,
所以()00.950620.019430.029450.00060.13E ξ⨯+⨯+⨯+⨯==万元；
故选生产线①的生产成本期望值为150.1315.13+= (万元).
若选生产线②，设增加的生产成本为η（万元），则η的可能取值为0，8，5，13.
()()()10.0410.010.95040P η=-==⨯-，
()()0.0410.8010.0396P η=⨯-==，
()()10.040.5010.0096P η=-⨯==，
()0.040.0110.00034P η=⨯==，
所以()00.950480.039650.0096130.00040.37E η⨯+⨯+⨯+⨯==，
故选生产线②的生产成本期望值为140.3714.37+= (万元)，
故应选生产线②.
【点睛】
本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.
18、（1）证明见解析（2）1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出()f x '，再由函数()f x '的导数可知， 函数()f x '在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而02f π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，可知()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，即()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点； （2）由题意可将()0f x >转化为sin 02cos x ax x ->+，构造函数sin ()2cos x F x ax x
=-+， 利用导数讨论研究其在(0,)x ∈+∞上的单调性，由min 0F >，即可求出a 的取值范围．
【详解】
（1）若1a =，则()(2cos )sin f x x x x =+-，()2sin f x x x '=-，
设()()2sin h x f x x x '==-，则()sin cos h x x x x '=--，(0)0h '=，
()sin cos ()h x x x x h x ''-=+=-，故函数()h x '是奇函数． 当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，sin 0x >，cos 0x x >，这时()0h x '<， 又函数()h x '是奇函数，所以当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
时，()0h x '>. 综上，当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，函数()f x '单调递增；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x '单调递减. 又2022f ππ⎛⎫'-=-> ⎪⎝⎭，2022f ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭
， 故()0f x '>在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，所以()f x '在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
上没有零点. （2）sin ()(2cos )2cos x f x x ax x ⎛
⎫=+- ⎪+⎝⎭
，由[]cos 1,1x ∈-，所以2cos 0x +>恒成立， 若()0f x >，则sin 02cos x ax x ->+，设sin ()2cos x F x ax x
=-+， 222cos 123()(2cos )2cos (2cos )x F x a a x x x +'=-=-++++211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭
.
故当13
a ≥时，()0F x '≥，又(0)0F =，所以当0x >时，()0F x >，满足题意； 当0a ≤时，有1022
2F a ππ⎛⎫=⨯-< ⎪⎝⎭，与条件矛盾，舍去； 当103
a <<时，令()sin 3g x x ax =-，则()cos 3g x x a '=-， 又31a <，故()cos 30g x x a '=-=在区间(0,)+∞上有无穷多个零点，
设最小的零点为1x ，
则当()10,x x ∈时，()0g x '>，因此()g x 在()10,x 上单调递增.
()(0)0g x g >=，所以sin 3x ax >.
于是，当()10,x x ∈时，sin sin 2cos 3x x ax x >>+，得sin 02cos x ax x
-<+，与条件矛盾. 故a 的取值范围是1,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭.
【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
19、（1）见解析；（2）12112
222n n S n n +=++- 【解析】
（1）由原式可得11(1)22n n n n a na +++=+,等式两端同时除以12n +,可得到11(1)122
n n n n n a na +++=+,即可证明结论; （2）由（1）可求得
2
n n na 的表达式,进而可求得,n n a b 的表达式,然后求出{}n b 的前n 项和n S 即可. 【详解】 （1）证明:因为11221
n n n na a n +++=+,所以11(1)22n n n n a na +++=+, 所以11(1)122n n n n n a na +++=+,从而11(1)122n n n n n a na +++-=,因为12a =,所以112
a =, 故数列2n n na ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. （2）由（1）可知()112
n n na n n =+-=,则2n n a =,因为n n b a n =+,所以2n n b n =+, 则123n n S b b b b =+++⋯+()()()23(21)22232n n =++++++++
()232222(123)n n =+++
++++++()212(1)122n n n ⨯-+=+-12112222
n n n +=++-. 【点睛】 本题考查了等差数列的证明,考查了等差数列及等比数列的前n 项和公式的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.
20、（1）144（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析
【解析】
（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；
（2）由题中数据计算2k 的值，对照临界值表可得答案；
（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得
X 可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.
【详解】
解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有()100372763-++=（人）
所以后三组频数依次为24，21，18，
所以视力在5.0以上的频率为0.18，
故全年级视力在5.0以上的的人数约为8000.18144⨯=人
（2）()2210044183261507.8957.8795050762419
⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯k ，
因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.
（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为
81243
=，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，
X 可取0，1，2，
()()()021120626262222g 881123150,1,22828728⋅==========C C C C C C P X P X P X C C C ， X 的分布列
X 的数学期望()11215012 1.5282828=⨯
+⨯+⨯=E X . 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.
21、（1）1a = （2）()()2g x f x x =-(0)x >为减函数，2()()12x h x f x x
=-+(0)x >为增函数. （3）证明见解析
【解析】 （1）求出导函数()f x '，求出切线方程，令0x =得切线的纵截距，可得a （必须利用函数的单调性求解）； （2）求函数的导数，由导数的正负确定单调性；
（3）不等式152122n n n a +-<-变形为25
n n a <，由()g x 递减，得()(0)0g x g >=(0x >)，即()2f x x <，即11(21)2n n n a f a a --=+<，依次放缩，2112122225
n
n n n n a a a a ---<<<<=． 不等式120n a -<，2()()21
x h x f x x =-+递增得()(0)h x h >(0x >)，2()021x f x x >>+,111()2f x x <+,11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭,先证21
11220()a f a -=-<，然后同样放缩得出结论． 【详解】
解：（1）对()ln(2)f x x a =+求导，得2()2f x x a '=
+. 因此2(1)2f a
'=+.又因为(1)ln(2)f a =+， 所以曲线()y f x =在点(1,(1)f 处的切线方程为
2ln(2)(1)2y a x a
-+=
-+， 即22ln(2)22y x a a a
=++-++. 由题意，22ln(2)ln 323a a +-=-+. 显然1a =，适合上式.
令2()ln(2)2a a a ϕ=+-
+(0)a >， 求导得212()02(2)
a a a ϕ'=+>++， 因此()a ϕ为增函数：故1a =是唯一解.
（2）由（1）可知，()ln(21)2g x x x =+-(0),x >2()ln(21)21x h x x x =+-
+(0)x >， 因为24()202121
x g x x x '=-=-<++， 所以()()2g x f x x =-(0)x >为减函数. 因为222()21(21)h x x x '=-++240(21)
x x =>+， 所以2()()12x h x f x x
=-
+(0)x >为增函数. （3）证明：由12,5a =()()1ln 21n n n a f a a +==+，易得0n a >. 15212225
n n
n n n a a +-<-⇔< 由（2）可知，()()2g x f x x =-ln(21)2x x =+-在(0,)+∞上为减函数.
因此，当0x >时，()(0)0g x g <=，即()2f x x <.
令1(2)n x a n -=≥，得()112n n f a a --<，即12n n a a -<.
因此，当2n ≥时，21121222n n n n a a a a ---<<<⋅⋅⋅<25
n
=. 所以152122n n n
a +-<-成立. 下面证明：120n
a -<. 由（2）可知，2()()21x h x f x x =-+2ln(21)21
x x x =+-+在(0,)+∞上为增函数. 因此，当0x >时，()(0)0h x h >=， 即2()021
x f x x >>+. 因此111()2f x x
<+，
即11122()2f x x ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
. 令1(2)n x a n -=≥，得()11111222n n f a a --⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
， 即1111222n n a a -⎛⎫-<- ⎪⎝⎭
. 当2n =时，
21122n a a -=-()112f a =-1225f =-⎛⎫ ⎪⎝⎭
12ln1.8=-.
因为1ln1.82
>>=， 所以120ln1.8
-<，所以2120a -<. 所以，当3n ≥时，
22122111111122220222n n n n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-<-<⋅⋅⋅<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 所以，当2n ≥时，120n
a -<成立. 综上所述，当2n ≥时，1521202n n n
a +-<-<成立. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．本题中不等式的证明，考查了转化与化归的能力，把不等式变形后利用第（2）小题函数的单调性得出数列的不等关系：12n n a a -<，
1
1112(2)2n n a a --<-(2)n ≥．这是最关键的一步．然后一步一步放缩即可证明．本题属于困难题． 22、（1）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1λ≥.
【解析】
（1）求导得到120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x
x a h x e +==，计算函数单调区间得到值域，得到答案.
（2）1x ，2x 是方程12x x a e +=的两根，故()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，化简得到()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛⎫+---+< ⎪⎝⎭，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.
【详解】
（1）由题可知2()(1)20x x f x x e ae '=+-=有两个不相等的实根， 即：120x x ae +-=有两个不相等实根，令12()x
x a h x e +==， ()2(1)()x x
x x e x e x h x e e -+-'==，x ∈R ，
(,0)x ∈-∞，()0h x '>；(0,,)x ∈+∞，()0h x '<，
故()h x 在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减，∴max ()(0)1h x h ==.
又(1)0h -=，(,1)x ∈-∞-时，()0h x <；(1,)x ∈-+∞时，()0h x >， ∴2(0,1)a ∈，即10,2a ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）知，1x ，2x 是方程12x
x a e +=的两根， ∴1210x x -<<<，则112200x x x x λλ+>⇔>-
> 因为()h x 在(0,)+∞单减，∴()12x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，又()()21h x h x =，∴()11x h x h λ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ 即111111x x x x e e λ
λ
--++<，两边取对数，并整理得：
()111ln 1ln 1(1)0x x x λλλλ⎛
⎫+---+< ⎪⎝⎭
对1(1,0)x ∈-恒成立， 设()ln(1)ln 1(1)x F x x x λλλλ⎛
⎫=+--
-+ ⎪⎝⎭，(1,0)x ∈-， 1(1)(1)()(1)1(1)()1x x
F x x x x x λ
λλλλλ
++-'=+-+=++--，
当1λ≥时，()0F x '>对(1,0)x ∈-恒成立，
∴()F x 在(1,0)-上单增，故()(0)0F x F <=恒成立，符合题意；
当(0,1)λ∈时，1(1,0)λ-∈-，(1,0)x λ∈-时()0F x '<，
∴()F x 在(1,0)λ-上单减，()(0)0F x F >=，不符合题意.
综上，1λ≥.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。