河北衡水中学2015-2016学年高一上学期数学试题

2013—2014学年度第一学期高一年级考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150分
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合M= {|ln(1)}x y x =-,集合(){,|,}(x
N x y y e x R e ==∈为自然对数的底数〕,则
N M ⋂= 〔 〕
A ．}1|{<x x
B ．}1|{>x x
C ．}10|{<<x x
D ．∅
2. 已知集合{2,0,1}A =,集合{|||B x x a =<,且}x Z ∈,则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是<>A ．0 B ．1C ．2D ．3
3..设3log 2=a ,3log 4=b ,5.0=c ,则它们的大小关系是〔 〕 A.a b c << B.b c a << C.c a b << D.b a c <<
4、已知)(x f y =是R 上的增函数,令)3()1()(x f x f x F +--=,则)(x F 是R 上的〔 〕 A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增 5. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
〔 〕 A ．2B ．1C ．
23 D ．13
6．若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f x
x
在R 上既是
奇函数,又是减函数,则)(log )(k x x g a +=的图像是〔 〕 7.已知函数()f x 的定义域为R ,满足(1)()f x f x +=-,且当01x ≤≤时,()f x x =, 则(8.5)f 等于〔 〕 A ．0.5-B ．0.5C ． 1.5-D ．1.5 8．函数x
x y |
|lg =
的图象大致是〔〕 9. 已知函数()f x 是奇函数,当0x >时,()ln f x x =,则2
1
((
))f f e 的值为〔〕
A.
1ln 2B.1ln 2
- C.ln 2- D.ln 2 10．下列说法中正确．．的说法个数．．
为①由1,2
3
,1.5,0.5-,0.5 这些数组成的集合有5个元素；②定义在R 上的函数()f x ,若满足(0)0f =,则函数()f x 为奇函数； ③定义在R 上的函数()f x 满足(1)(2)f f >,则函数()f x 在R 上不是增函数； ④函数()f x 在区间(,)a b 上满足
()()0f a f b ⋅<,则函数()f x 在(,)a b 上有零点；〔 〕
A.1
B.2
C.3
D.4
11．若a>l,设函数f 〔x 〕=a x
+x －4的零点为m,函数g 〔x 〕= log a x+x －4的零点为n,则11m n
+的最小值为〔 〕
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．已知,a b 是方程3274
log 3log (3)3
x x +=-
的两个根,则a b += 〔 〕 A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为．
14. 某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形,如图所示,则原三角形的面积是____．
15.里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特〔C.F. Richter 〕和古登堡〔B. Gutenberg 〕于1935年提出的一种震级标度.里氏震级M 的计算公式是0lg lg A A M -=.其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是"标准地震"的振幅. 2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震并引发海啸,造成重大人员伤亡和财产损失. 一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈.按照里氏震级M 的计算公式,此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍.
16．设定义在R 上的函数()f x ＝1
1|1|1 1.x x x ⎧≠⎪
-⎨⎪=⎩，，，
若关于x 的方程2()f x ＋()bf x ＋c ＝0有3个不
同的实数解1x ,2x ,3x ,则1x ＋2x ＋3x ＝．
三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．〔本小题满分10分〕
设集合{|02}A x x m =<-<,{
}2
30B x x x =-+≤,分别求满足下列条件的实数m 的取值范
围：〔1〕A B =∅；〔2〕A B B =．
18．〔本小题满分12分〕
已知函数y =M , 〔1〕求M ；
〔2〕当M x ∈时,求函数x a x x f 22
2log log 2)(+=的最大值. 19．〔本小题满分12分〕
已知一个几何体的三视图如图所示.〔1〕求此几何体的表面积；〔2〕如果点,P Q 在正视图中所示位置：P 为所在线段中点,Q 为顶点,求在几何体表面上,从P 点到Q 点的最短路径的长. 20．〔本小题满分12分〕
已知函数()f x 定义域为[]1,1-,若对于任意的[],1,1x y ∈-,都有()()()f x y f x f y +=+,且
0x >时,有()0f x >.
〔1〕证明函数()f x 的奇偶性； 〔2〕证明函数()f x 的单调性；
〔3〕设(1)1f =,若()f x <221m am -+,对所有]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数m 的取值范围.
21．〔本小题满分12分〕
某地政府招商引资,为吸引外商,决定第一年产品免税.某外资厂该年A 型产品出厂价为每件60元,年销售量为8.11万件,第二年,当地政府开始对该商品征收税率为1000(00<<p p ,即销售
100元要征收p 元〕的税收,于是该产品的出厂价上升为每件
p
-1008000
元,预计年销售量将减少p
万件．
<1> 将第二年政府对该商品征收的税收y <万元>表示成p 的函数,并指出这个函数的定义域； <2> 要使第二年该厂的税收不少于16万元,则p 的范围是多少？
<3> 在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则p 应为多少？ 22.〔本小题满分12分〕
已知函数2()()x
f x ax x e =+⋅,其中e 是自然数的底数,a R ∈,
〔1〕当0a <时,解不等式()0f x >；
〔2〕当0a =时,试判断：是否存在整数k ,使得方程()(1)2x
f x x e x =+⋅+-在[,1]k k + 上有解？若存在,请写出所有可能的k 的值；若不存在,说明理由；
〔3〕若当[1,1]x ∈-时,不等式()(21)0x f x ax e ++⋅≥恒成立,求a 的取值范围.
高一理科二调数学测试题参考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8. D
9.C 10.A 11．A 12．C 13.
π3
3
14.15. 1000 16．易知()f x 的图象关于直线x ＝1对称．2()f x ＋()bf x ＋c ＝0必有一根使()f x ＝1,不妨设为1x ,而2x ,3x 关于直线x ＝1对称,于是1x ＋2x ＋3x ＝3． 17. 解：∵{
}03B x x x =≤≥或,{|2}A x m x m =<<+…… 2分
〔1〕当A
B =∅时,有0
23
m m ≥⎧⎨+≤⎩, …… 4分
解得01m ≤≤∴[0,1]m ∈…… 6分 〔2〕当A
B B =时,有B A ⊆,
应满足20m +≤或3m ≥ 解得3≥m 或2m ≤-…… 10分
18. 解：〔1
〕函数y =
有意义,故： ⎪⎩
⎪⎨⎧-≠≥-≤+-20220)2)(2(x x x x
解得：]2,1[∈x ……6分 〔2〕
x a x x f 22
2log log 2)(+=,令x t 2log =,]1,0[∈t
可得：]1,0[,2)(2
∈+=t at t t g ,对称轴4
a
t -= 当2,21
4-≥≤-
a a 即时,a g t g +==2)1()(,0)0()(==g t g 当2,2
1
4-<>-a a 即时,,……10分
综上可得：⎩
⎨
⎧-<-≥+=2,02
,2)(max
a a a x f ……12分 19.
解：〔1〕由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.
()(
)
21
2222
S a a a ππ=
⋅=圆锥侧,()()2224S a a a ππ=⋅=圆柱侧,2S a π=圆柱底,
所以(
)
22222425S a a a a ππππ=
++=
+表面.……6分
〔2〕沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面,如图. 则,()2
22221PQ AP AQ a a a ππ=
+=+=+
所以从P 点到Q 点在侧面上的最短路径的长为2
1a π+.……12分 20. 解：〔1〕因为有()()()f x y f x f y +=+,
令0x y ==,得(0)(0)(0)f f f =+,所以(0)0f =, ……1分 令y x =-可得：(0)()()0,f f x f x =+-=
所以()()f x f x -=-,所以()f x 为奇函数. ……4分 〔2〕)(x f 是定义在[]-1,1上的奇函数,由题意
121,x x ≤<≤设-1则212121()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-,
由题意0x >时,有()0f x >.)()(12x f x f >∴
()f x ∴是在[]-1,1上为单调递增函数; ……8分
〔3〕因为()f x 在[]1,1-上为单调递增函数,
所以()f x 在[]1,1-上的最大值为(1)0f =, ……9分 所以要使()f x <221m am -+,对所有[][],1,1,1,1x y a ∈-∈-恒成立,
只要221m am -+>1,即2
2m am ->0, ……10分
令
⎪⎩⎪⎨⎧>+->+⎩⎨⎧>>-0
20
20)1(0)1(2
2
m m m m g g 得,22-<>∴m m 或……12分 21. 解: <1>依题意,第二年该商品年销量为<p -8.11>万件,年销售收入为 <p -8.11>
p
-1008000
万元, 政府对该商品征收的税收=
y p
-1008000
<p -8.11>00p <万元>.
故所求函数为=
y p
-10080
<p -8.11>p ． …… 2分
由p -8.11及0>0>p 得,定义域为{}8.110|<<p p ……4分 <2>解:由16≥y 得
p
-10080<p -8.11>p 16≥,化简得020122
≤+-p p ,……6分
即0)10)(2(≤--p p ,解得102≤≤p , 故当102≤≤p ,税收不少于１６万元．……8分
<3> 解：第二年,当税收不少于１６万元时,厂家的销售收入为=
)(p g p
-1008000
<p -8.11>
〔102≤≤p 〕． )100
882
10(800)8.11(1008000)(-+=--=
p p p p g 在区间]10,2[上是减函数,
∴800)2()(max ==g p g <万元> 故当2=p 时,厂家销售金额最大. ……12分
22. 解：〔1〕2()0,x
ax x e +⋅>即2
0ax x +>,由于0a <,所以1
()0ax x a
+>
所以解集为1{0}x x a
<<-；…………………………………2分
〔2〕方程即为20x
e x +-=,设()2x
h x e x =+-,
由于x
y e =和2y x =-均为增函数,则()h x 也是增函数, 又因为0
(0)0210h e =+-=-<,1
(1)1210h e e =+-=->,
所以该函数的零点在区间(0,1)上,又由于函数为增函数,所以该函数有且仅有一个零点,所以方程
20x e x +-=有且仅有一个根,且在(0,1)内,所以存在唯一的整数0k =.…………6分
〔3〕当[1,1]x ∈-时,即不等式2
(21)10ax a x +++≥恒成立,
①若0a =,则10x +≥,该不等式满足在[1,1]x ∈-时恒成立；……… 7分 ②由于22
(21)4410a a a ∆=+-=+>, 所以2
()(21)1g x ax a x =+++有两个零点,
若0a >,则需满足0,(1)0,21
12a g a a
⎧
⎪>⎪-≥⎨⎪+⎪-≤-⎩即00212a a a a >⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩,此时a 无解；…………9分
③若0a <,则需满足0,
(1)0,(1)0a g g <⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩,即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-
≥≤<3200a a a ,所以203a -≤<……………11分
综上所述,a 的取值范围是2
03
a -
≤≤.………………………………12分。