沪科版八年级数学下册_17.2 一元二次方程的解法

(3) x2 － 2x+3=0； (4) － 3x2 － 5x+2=0.
感悟新知
解题秘方：按照用求根公式解一元二次方程的步 知3－练
骤求解 .
解： (1) a=2， b= － 7， c=4，
求b2－4ac的值时，
b2 － 4ac= (－ 7) 2 － 4×2×4=17 ＞ 0. 若代入的字母值是
代入求根公式，得
(2) 2x2 － 7x － 6=0，∵ a=2， b= － 7， c= － 6，
∴
b2
－
4ac=97>0.
∴
x1=
7+
4
97，
x2=
7
－ 4
97.
感悟新知
知5－练
(3) 因式分解，得［ ( 3x+2 ) － 3］［ ( 3x+2 ) － 5］ =0， 即( 3x － 1 ) ( 3x － 3 ) =0.
－ x=
(
－7)± 2×2
17，负数，则需将其用
括号括起来，不能
∴
x1=7+
4
17
，
x2=7
－ 4
17 .
漏掉“－”号.
感悟新知
(2)方程可化为 3x2－2 3 x+1=0. a=3， b=－2 3 ， c=1， b2－4ac= ( －2 3 ) 2－4×3×1=0.
代入求根公式，得 x= 2
3± 2×3
0=
33.
∴ x1=x2= 33.
知3－练
感悟新知
(3) a=1， b=－2， c=3，
知3－练
b2－4ac=(－2) 2－4×1×3=－8<0. 方程无实数根 .
(4) a=－3， b=－5， c=2，
b2－4ac=(－5) 2－4×( －3)×2=49>0.
代入求根公式，得 x= 25×±(－439)=－ 5±6 7.
求根公式 .
感悟新知
知3－讲
2. 公式法 (1) 定义： 有了求根公式，要解一个一元二次方程，只要 先把它整理成一般形式，确定出 a， b， c 的值，然后， 把a， b， c 的值代入求根公式，就可以得出方程的根， 这种解法叫做公式法 .
感悟新知
特别提醒
知3－讲
1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它
知1－练
感悟新知
知识点 2 配方法
知2－讲
1.定义 先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后， 再直接开平方求解的方法，叫做配方法 .
感悟新知
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
知2－讲
(1) 移项 . 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，把
常数项移到方程的右边 .
(2) 二次项系数化为 1. 方程的左、右两边同时除以二次
)
2
=1.
∴
x1=
1 2
，
x2=
－
32.
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(2)移项，得 2x2－4x=1. 二次项系数化为 1，得
x2－2x=
1 2
.
配方，得
x2－2x+12
=
12+12，
知2－练
即(x－1)2=
3 2
.
∴
x1=1+
6 2
，
x2=1－
6 2
.
(3)移项，得( 1+x ) 2+2 ( 1+x ) =3.
巧将1+x看作整体进
感悟新知
知识点 4 因式分解法
知4－讲
1. 定义 对于一些特殊的一元二次方程，若方程的一边能化 为两个关于未知数的一次因式的乘积，另一边是 0，则可 将此方程转化为两个一元一次方程来求解，这种方法叫做 因式分解法 .
感悟新知
知4－讲
2. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)整理方程，使其右边为 0； (2)将方程左边分解为两个一次式的乘积； (3)令两个一次式分别为 0，得到两个一元一次方程； (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 .
感悟新知
3. 合理选择一元二次方程的解法
知5－讲
(1)若方程具有( mx+n ) 2=p ( p ≥ 0 )的形式，则可用直接开
平方法求解；
(2)若一元二次方程一边为 0，另一边易于分解成两个一次
因式的积，则可用因式分解法求解；
(3) 公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式，确定 a， b， c 的值，
在b2 － 4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解 .
感悟新知
活用巧记
知5－讲
先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这
两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，尽量
少用配方法.可巧记为：
观察方程选解法，先看能否开平方，再看是否
能分解，左分降次右化零，求根公式最后用，系数
符号要辨明.
感悟新知
例5 解下列方程 . (1) 4x2 － 64=0； (2) 2x2 － 7x － 6=0； (3) ( 3x+2 ) 2 － 8 ( 3x+2 ) +15=0.
∴
x1=
16 7
，
x2=
43.
感悟新知
(3)原方程可化为(x－ 2 ) ( x－ 3 ) =0. ∴ x－ 2 =0 或 x－ 3 =0. ∴ x1= 2 ， x2= 3 .
知4－练
感悟新知
解法提醒
知4－练
1.用因式分解法解一元二次方程，虽然比配方法和公
式法简便，但这种方法只适用于部分一元二次方程 .
转化成两个一元一次方程来求解 .
2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提
是二次项系数为 1.
感悟新知
解题秘方：先将方程配方化为( x+n ) 2=p 的形式， 知2－练 再用直接开平方法求解 .
解：
(1)移项，得
x2+x=
3 4
.
配方，
得
x2+x+
(
1 2
)
2=
34+
(
1 2
)
2.
∴
(
x+12
知5－练
感悟新知
知5－练
选法策略 选择解一元二次方程的方法的顺序为：直接开
平方法→因式分解法→公式法，如无特殊要求一般 不用配方法.
感悟新知
解题秘方：根据方程的特点， 选择适当的方法解 知5－练 一元二次方程 .
解： (1) ∵ 4x2 － 64=0， ∴ x2=16. ∴ x1=4， x2= － 4.
感悟新知
知识储备 常用的因式分解的方法： 1. 提公因式法； 2. 公式法； 3.x2+ (a+b) x+ab= ( x+a ) ( x+b ).
知4－讲
感悟新知
例4 用因式分解法解下列方程 . (1) (x － 5) ( x － 6 ) =x － 5； (2) 4 ( x － 3) 2 － 25 ( x － 2 ) 2=0； (3) x2 － ( 2 + 3 ) x+ 6 =0.
感悟新知
例2 用配方法解一元二次方程： (1) x2+x－34 =0； (2)2x2－4x－1=0； (3) (1+x) 2+2(1+x) －3=0.
知2－练
感悟新知
解法提醒
知2－练
1. 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次
方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的
形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程
且系数为 1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，
那么这个方程无实数根) .
步骤 2： 开平方，将方程转化为两个一元一次方程 .
步骤 3： 解这两个一元一次方程，则得出的两个解即
为一元二次方程的两个根 .
感悟新知
例1 用直接开平方法解下列方程： (1) 9x2 － 81=0； (2) [ 一模·泸县 ] ( 2x － 1 ) 2= ( 3 － x ) 2
∴
x1=
1 3
，
x2=1.
感悟新知
知5－练
解法策略 如果展开原方程( 3x+2 ) 2 － 8 ( 3x+2 ) +15=0中
知3－讲
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定公式中 a， b， c 的值；
③求出 b2 － 4ac 的值；
④若 b2 － 4ac ≥ 0, 则把 a， b 及 b2 － 4ac的值代入求根
公式求解，若 b2 － 4ac ＜ 0，则方程无实数解 .
感悟新知
例3 用公式法解下列方程 .
知3－练
(1) 2x2 － 7x+4=0； (2) 3x2 － 2 3x= － 1；
感悟新知
特别警示
知1－讲
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意
两点：
●不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
●只有非负数才有平方根，所以直接开平方法的前
提是x2=p中p ≥ 0.
感悟新知
知1－讲
知识链接 平方根的定义： 若 x2=a(a ≥ 0)，则x是a的平方根，即x=± a .
感悟新知
感悟新知
知4－练
(2)原方程可化为［2 ( x － 3 ) ］ 2 － ［5 ( x － 2 ) ］ 2=0， 因式分解， 得［2 ( x － 3 ) +5 ( x － 2 ) ］［2 ( x － 3 ) － 5 ( x － 2 ) ］ =0， 即( 7x － 16 ) ( － 3x+4） =0， ∴ 7x － 16=0 或 － 3x+4=0.
适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法 .
2. 只有当方程ax2+bx+c=0 中 a ≠ 0，b2－4ac≥0时，才能使
用求根公式 .
3. 用公式法解一元二次方程时，若 b2－4ac=0， 则方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，即 x1=x2=－ 2ba.
感悟新知
(2) 用求根公式解一元二次方程的步骤：
2.用因式分解法解一元二次方程时需将一元二次方程
的右边化为0，再对方程的左边因式分解 .
3.不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式 .
感悟新知
知识点 5 一元二次方程的解法
知5－讲
1. 解一元二次方程的方法 直接开平方法、配方法、公式法、 因式分解法 .
感悟新知
知5－讲
2. 解一元二次方程的基本思路 将二次方程化为一次方程， 即降次 .
项系数 .
(3) 配方 . 把方程的左、右两边同时加上一次项系数一半
的平方，把原方程化为( x+n) 2=p 的形式 .
感悟新知
知2－讲
知识链接 配方的依据是完全平方公式
a2±2ab+b2=(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看 成常数，则b2即是一次项系数一半的平方 .
感悟新知
知2－讲
(4) 开平方 . 如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开平 方法求解；如果方程右边是一个负数，那么这个方程无实 数根 . 即：
知4－练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知4－练
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解方法 .
解： (1)移项，
得( x － 5 ) ( x － 6 ) － ( x － 5 ) =0. 因式分解，得( x － 5 ) ( x － 7 ) =0. ∴ x － 5=0 或 x － 7=0. ∴ x1=5， x2=7.
方程的两边不能同时 除以x－5，这样会使 方程丢一根.
知1－练
解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解 .
感悟新知
解：(1)移项，得 9x2=81. 系数化为 1，得 x2=9. 开平方，得 x=±3. ∴ x1=3， x2=－3. (2)开平方，得 2x－1=±(3－x) . 2x－1=3－x 或 2x－1=－3+x. ∴ x1=43， x2=－2.
感悟新知
知2－讲
①当 p ＞ 0 时，方程( x+n) 2=p 有两个不等的实数根 x1=－n－ p， x2=－n+ p .
② 当 p=0 时， 方程( x+n) 2=p 有两个相等的实数根 x1=x2=－n.
③当 p ＜ 0 时，因为对任意实数 x，都有(x+n) 2 ≥ 0， 所以方程( x+n) 2=p 无实数根 .
2. 方程 x2=p 的解(根)的情况
知1－讲
(1)当 p>0 时，方程有两个不等的实数根 x1= － p， x2= p；
(2)当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1=x2=0； (3)当 p<0 时，方程没有实数根 .
感悟新知
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤
知1－讲
步骤 1： 移项，将方程变成左边是完全平方的形式，
行配方，可达到简化
配方，得( 1+x ) 2+2 ( 1+x ) +12=3+12.
的效果.
∴ ( 1+x+1 ) 2=4. ∴ x1=0， x2= － 4.
感悟新知
知识点 3 公式法
知3－讲
1. 求根公式的定义
x=
－b±
b2－4ac 2a
(b2－4ac
≥
0)
，
这
就是一元二次方程 ax2+bx+c=0( a ≠ 0 且 b2－4ac ≥ 0)的
∴ x1=－2 ， x2= 13.
感悟新知
知3－练
解法提醒 用公式法解一元二次方程时，先将方程整理成一元二
次方程的一般形式，确定a，b，c 的值，再求出 b2 － 4ac 的值，当b2 － 4ac ≥0时，可代入求根公式求解，当b2 － 4ac ＜0时，方程无实数根，这时，若将 a，b，c 的值直接 代入求根公式，则算式无意义 .
第十七章 一元二次方程
17.2 一元二次方程的解法
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程的解法
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 直接开平方法
知1－讲
1. 定义 利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程解 的方法叫做直接开平方法 .