第10章-套利定价理论与风险收益多因素模型(投资学,上海财经大学)
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21
补充例题：纯因素组合套利
品种
证券A 证券B 证券C 证券D
预期收益 率（%）
15 25 10 8
对因素1的 对因素2的 敏感度 敏感度
0.8 3.6 1.6 2.4 2.0 1.5 1.0 2.0
22
投资者甲按权数-0.025、0.1、1.95、-1.025（合 计为1）的比例分别投资于证券A、B、C、D。 投资者乙按权数0.075、0.2、1.9、-1.175（合计 为1）的比例分别投资于证券A、B、C、D。 请分别计算他们组合对因素1和因素2的敏感度和 收益率： bF1＝0.8x1＋3.6x2＋1.6x3＋2.4x4 bF2＝2x1＋1.5x2＋x3＋2x4 R＝15x1＋25x2＋10x3＋8x4
24
（五）我们在哪里寻找风险?
Chen, Roll, 和 Ross 使用工业产量、预期通货膨 胀、未预期通货膨胀、长期公司债券相对于长期 政府债券的超额收益、长期政府债券相对于国库 券的超额收益五个因素。 法玛和弗伦奇使用市场风险因素RM、规模因素 SMB（小市值公司与大市值公司股票的收益率之 差）和价值因素HML（高账面市值比率公司与低 账面市值比率公司股票的收益率之差）。
rit i iM RMt iSMB SMBt iHML HMLt eit
25
（六）对于三因素模型的补充说明
三因素模型提出的背景： 上世纪60年代，人们研究发现，并不是所有 的超额收益都可以用CAPM模型完全解释， 解释不了的被称为异常收益。 这种异常收益比较典型且被广泛承认的是所 谓小盘股效应和价值型股票效应。
第十章
套利定价理论与 风险收益多因素模型
一、多因素模型
（一）单因素模型回顾 资产收益的不确定性有两个来源： 宏观经济因素 公司特有因素 可能的宏观经济因素 国内生产总值增长 利率
2
（二）单因素模型的方程式
ri E (ri ) i F ei
ri = 资产收益 βi= 因素敏感度、因子载荷、因子贝塔
16
（三）多因素套利定价理论一般描述
使用不止一个系统因素。 影响因素是什么? 影响整体宏观经济表现的各种因素 公司特有因素引起的非期望收益的期望值 也是零 构建多因素套利需要形成纯因子组合。即只 有对一个因素的β为1，对其他因素的β为0。
17
（四）两因素模型
ri E (ri ) i1F1 i 2 F2 ei
8
二、套利定价原理
（一）套利一般描述 当不需要投资就可以赚取无风险利润时，就存 在套利机会。 由于没有投资，投资者可以建立大量头寸，以 获取巨额利润。 在一个无风险套利投资组合中，不管其风险厌 恶程度和财富水平如何，投资者都愿意持有一 个无限的头寸。 在有效市场中，可以获利的套利机会会很快消 失。
23
计算结果，两人的bF1都为1，bF2都为0，即 他们的组合都是对因素1有单位灵敏度而对 因素2灵敏度为零的纯因素组合，于是他们 的收益率应相同。 但现在计算的结果是投资者甲的收益率为 13.425%，投资者乙的收益率为15.725%。 于是会有很多人套利，如卖出投资者甲的组 合，买进投资者乙的组合。最终纯因素组合 为一均衡的收益率。
F = 宏观经济因素的扰动项
(F 值可以是正的或负的，但必须是零期望值。) ei = 公司特有的扰动项(零期望值)
3
（三）多因素模型介绍
使用多个因素来解释证券收益。 例如：国内生产总值、预期通货膨胀、利率。 使用多元回归来估计每个因素的贝塔值或因 子载荷。
4
（四）多因素模型的方程式
ri Eri iGDP GDP iIR IR ei
28
（七）CAPM与APT两者的联系
一般性结论： 第一，APT模型可以说是CAPM模型的一个 发展，两个模型都是确定资产均衡价格的模 型，都给出了有效的证券定价的方法。
29
第二，APT模型是一个多因素模型，但没有指 明哪些因素及影响程度，而CAPM是一个单因 素模型，指明市场证券组合因素及系数。从 某种程度上说， CAPM是APT只考虑市场组合 这唯一一个因素时的特例。 第三CAPM有很多严格苛刻的假定，不同于 CAPM，APT假定更松宽，更具有弹性，因为 那些与一个难以观测的市场资产组合有关的问 题上对它来说并不是很重要。
Er rf [E(rM ) rf ]
若以RPM表示市场投资组合的风险溢价，可有：
Er rf RP M
即期望收益一是补偿货币时间价值的无风险利 率，二是承担市场风险（风险敏感度与市场 风险溢价的乘积）。 对于多个因素，同理。
6
两因素证券市场线模型
RPGDP = 对GDP的风险溢价 iIR = 对利率的因素敏感度 RPIR = 对利率的风险溢价
9
（二）充分分散的投资组合
rP = E (rP) + PF + eP
F = 宏观因素未预期的变动
对一个充分分散的投资组合： 随着组合中资产数量的增加，ep接近于 0。 因此有： rP = E (rP) + PF
10
（三）β与期望收益
图 10.1的A是一个充分分散的投资组合，期望收益为 10%，β=1。 图 10.1的B是一个β=1的简单股票，它的非系统风险 不能分散掉，呈现为分布在直线两侧的点。
13
结论：若无套利机会，所有充分分散的投资组合 的期望收益必须在通过无风险资产的蓝线上。由 于市场组合M是一个充分分散的投模型
（一）单项资产与套利定价理论 套利定价理论APT适用于多元投资组合，在单 个股票中并不需要。其实只有一个股票违反了 期望收益-β关系，那么它对充分分散投资组合 的影响是非常小的，不会出现有意义的套利机 会。但如果许多股票违反了，那么充分分散的 投资组合将不满足这一关系，套利机会将会出 现。 所以套利定价理论通常扩展为多因素的套利理 论模型。
26
所谓小盘股效应，指相同β时，低总市值股票超 额收益往往高于高总市值股票。 所谓价值型股票效应，指投资于价值型股票（即 高账面市值比例、高市盈率等）比成长型股票 （即低账面市值比例、低市盈率等）有更好的长 期收益）。 法玛和弗伦奇（1992年）提出，投资者作投资决 策时并不单纯考虑市场组合，于是提出三因素模 型，认为该模型有效解释大部分异常现象。
30
15
（二）套利定价理论（APT）和 资本资产定价模型（CAPM）
APT
利用了一个充分分散 投资组合来得到期望 收益–贝塔关系。 平衡意味着没有套利 机会。 即便是很少的投资者 注意到套利机会， APT 也会很快恢复平 衡。
CAPM 模型建立在假设存在一 个内生的不可观测的市 场组合上。 依赖于均方差的有效性。 许多小投资者的行动迫 使CAPM再次均衡。 CAPM 描述了所有资 产的均衡。
19
如果刚才投资组合A的期望收益为12%而不是 13%，会出现套利机会。 构建一个投资组合B，它由纯因子组合与无风 险资产构成，并使其与投资组合A具有相同的β。 可以这样建立：让纯因子组合1和2的权重分别 为0.5和0.75，另外无风险资产的权重为-0.25。 权重合计为1。
20
如果宏观经济因素只有两个，则构造一个充 分分散的投资组合，使其对F1的β=1，对 F2的β=0；另外也可以构造一个对F1的 β=0、对F2的β=1的充分分散的投资组合。 即只有对一个因素的β=1，对其他所有因 素的β=0。 纯因子组合的收益跟踪某些特殊的宏观经 济风险来源的演变，而与其他的风险来源 无关，因此也可以看做跟踪投资组合。
11
（四）出现了套利机会
图 10.2的B也是一个充分分散的投资组合，期望收益 为8%，β=1。 如果B与A同时存在，出现了套利机会：买进A，卖空 B。
12
图 10.3 一个套利机会
出现了套利机会：买进D，卖空C。 讨论：不考虑D与C，另有一个充分分散的投资 组合，期望收益为9%，β为0.75。是否可套利？
27
学术界针对FF三因素模型的指责：
虽然模型建立在单因素CAPM模型之上，与 CAPM模型相比，三因素模型缺乏一种类似 CAPM的解释机理，更多的是一种实证发现， 甚至是“数据加工”的结果。 三因素模型并不是解释股票收益率的屡试不 爽的法宝，对于股票市场上的所谓“趋势效 应”等市场现象缺乏解释效力。
18
教材例题：
设有纯因子组合1和2，它们的期望收益率分别为 10%和12%，再设无风险利率为4%，则纯因子组 合1和2的风险溢价应分别为6%和8%。 现有一个充分分散的投资组合A，对因素1的βA1 为0.5，对因素2的βA2为0.75。 因此，投资组合A的风险溢价由因素1产生的补偿 应为3%[=0.5(10%-4%)]，同理因素2产生的补偿 应为6%。 于是总的风险溢价为9%，投资组合总收益应为 13%[=4%+9%]。
现在买进投资组合B，卖出投资组合A，则有： 投资组合B的期望收益=-0.25×4%+0.5×10%+ 0.75×12%=13%，亦即： 4%+0.5×6%+ 0.75×8%=13% 这里负权重的无风险资产不会影响对因素的敏感 性，并可以看到投资组合B与投资组合A具有相 同的β。 结果你的净投资为零，但期望收益是正的，为 1%（=13%-12%）。
iGDP = 对GDP 的因素敏感度
Eri rf iGDP RP GDP iIR RP IR
1.
2.
3.
解释：期望收益等于下列之和： 无风险收益率 对GDP风险的敏感度乘以GDP的风险溢价。 对利率风险的敏感度乘以利率风险的溢价。
7
例，假设某公司对GDP变动的β等于1.1，对利率 变动的β等于0.7。假设GDP的单位风险溢价为 5%，利率的单位风险溢价为8%，无风险利率为 3%，则该公司股票总回报应为： 无风险利率 3% 补偿GDP风险的风险补偿 (1.1)(5%)=5.5% 补偿利率风险的风险补偿 (0.7)(8%)=5.6% 该公司股票总期望收益率 14.1%
ri = 证券i的收益 βGDP = 对GDP的因素敏感度 βIR = 对利率的因素敏感度 ei = 公司特有的扰动项 例：对某航空公司运用两因素模型评估，有：
r航空 0.133 1.（ 2 GDP） - 0.（ 3 IR） e航空
5
（五）多因素证券市场线模型
前面公式没有说明E(r)决定于什么，但若只考 虑一个市场因素，即有CAPM:
补充例题：纯因素组合套利
品种
证券A 证券B 证券C 证券D
预期收益 率（%）
15 25 10 8
对因素1的 对因素2的 敏感度 敏感度
0.8 3.6 1.6 2.4 2.0 1.5 1.0 2.0
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投资者甲按权数-0.025、0.1、1.95、-1.025（合 计为1）的比例分别投资于证券A、B、C、D。 投资者乙按权数0.075、0.2、1.9、-1.175（合计 为1）的比例分别投资于证券A、B、C、D。 请分别计算他们组合对因素1和因素2的敏感度和 收益率： bF1＝0.8x1＋3.6x2＋1.6x3＋2.4x4 bF2＝2x1＋1.5x2＋x3＋2x4 R＝15x1＋25x2＋10x3＋8x4
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（五）我们在哪里寻找风险?
Chen, Roll, 和 Ross 使用工业产量、预期通货膨 胀、未预期通货膨胀、长期公司债券相对于长期 政府债券的超额收益、长期政府债券相对于国库 券的超额收益五个因素。 法玛和弗伦奇使用市场风险因素RM、规模因素 SMB（小市值公司与大市值公司股票的收益率之 差）和价值因素HML（高账面市值比率公司与低 账面市值比率公司股票的收益率之差）。
rit i iM RMt iSMB SMBt iHML HMLt eit
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（六）对于三因素模型的补充说明
三因素模型提出的背景： 上世纪60年代，人们研究发现，并不是所有 的超额收益都可以用CAPM模型完全解释， 解释不了的被称为异常收益。 这种异常收益比较典型且被广泛承认的是所 谓小盘股效应和价值型股票效应。
第十章
套利定价理论与 风险收益多因素模型
一、多因素模型
（一）单因素模型回顾 资产收益的不确定性有两个来源： 宏观经济因素 公司特有因素 可能的宏观经济因素 国内生产总值增长 利率
2
（二）单因素模型的方程式
ri E (ri ) i F ei
ri = 资产收益 βi= 因素敏感度、因子载荷、因子贝塔
16
（三）多因素套利定价理论一般描述
使用不止一个系统因素。 影响因素是什么? 影响整体宏观经济表现的各种因素 公司特有因素引起的非期望收益的期望值 也是零 构建多因素套利需要形成纯因子组合。即只 有对一个因素的β为1，对其他因素的β为0。
17
（四）两因素模型
ri E (ri ) i1F1 i 2 F2 ei
8
二、套利定价原理
（一）套利一般描述 当不需要投资就可以赚取无风险利润时，就存 在套利机会。 由于没有投资，投资者可以建立大量头寸，以 获取巨额利润。 在一个无风险套利投资组合中，不管其风险厌 恶程度和财富水平如何，投资者都愿意持有一 个无限的头寸。 在有效市场中，可以获利的套利机会会很快消 失。
23
计算结果，两人的bF1都为1，bF2都为0，即 他们的组合都是对因素1有单位灵敏度而对 因素2灵敏度为零的纯因素组合，于是他们 的收益率应相同。 但现在计算的结果是投资者甲的收益率为 13.425%，投资者乙的收益率为15.725%。 于是会有很多人套利，如卖出投资者甲的组 合，买进投资者乙的组合。最终纯因素组合 为一均衡的收益率。
F = 宏观经济因素的扰动项
(F 值可以是正的或负的，但必须是零期望值。) ei = 公司特有的扰动项(零期望值)
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（三）多因素模型介绍
使用多个因素来解释证券收益。 例如：国内生产总值、预期通货膨胀、利率。 使用多元回归来估计每个因素的贝塔值或因 子载荷。
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（四）多因素模型的方程式
ri Eri iGDP GDP iIR IR ei
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（七）CAPM与APT两者的联系
一般性结论： 第一，APT模型可以说是CAPM模型的一个 发展，两个模型都是确定资产均衡价格的模 型，都给出了有效的证券定价的方法。
29
第二，APT模型是一个多因素模型，但没有指 明哪些因素及影响程度，而CAPM是一个单因 素模型，指明市场证券组合因素及系数。从 某种程度上说， CAPM是APT只考虑市场组合 这唯一一个因素时的特例。 第三CAPM有很多严格苛刻的假定，不同于 CAPM，APT假定更松宽，更具有弹性，因为 那些与一个难以观测的市场资产组合有关的问 题上对它来说并不是很重要。
Er rf [E(rM ) rf ]
若以RPM表示市场投资组合的风险溢价，可有：
Er rf RP M
即期望收益一是补偿货币时间价值的无风险利 率，二是承担市场风险（风险敏感度与市场 风险溢价的乘积）。 对于多个因素，同理。
6
两因素证券市场线模型
RPGDP = 对GDP的风险溢价 iIR = 对利率的因素敏感度 RPIR = 对利率的风险溢价
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（二）充分分散的投资组合
rP = E (rP) + PF + eP
F = 宏观因素未预期的变动
对一个充分分散的投资组合： 随着组合中资产数量的增加，ep接近于 0。 因此有： rP = E (rP) + PF
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（三）β与期望收益
图 10.1的A是一个充分分散的投资组合，期望收益为 10%，β=1。 图 10.1的B是一个β=1的简单股票，它的非系统风险 不能分散掉，呈现为分布在直线两侧的点。
13
结论：若无套利机会，所有充分分散的投资组合 的期望收益必须在通过无风险资产的蓝线上。由 于市场组合M是一个充分分散的投模型
（一）单项资产与套利定价理论 套利定价理论APT适用于多元投资组合，在单 个股票中并不需要。其实只有一个股票违反了 期望收益-β关系，那么它对充分分散投资组合 的影响是非常小的，不会出现有意义的套利机 会。但如果许多股票违反了，那么充分分散的 投资组合将不满足这一关系，套利机会将会出 现。 所以套利定价理论通常扩展为多因素的套利理 论模型。
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所谓小盘股效应，指相同β时，低总市值股票超 额收益往往高于高总市值股票。 所谓价值型股票效应，指投资于价值型股票（即 高账面市值比例、高市盈率等）比成长型股票 （即低账面市值比例、低市盈率等）有更好的长 期收益）。 法玛和弗伦奇（1992年）提出，投资者作投资决 策时并不单纯考虑市场组合，于是提出三因素模 型，认为该模型有效解释大部分异常现象。
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15
（二）套利定价理论（APT）和 资本资产定价模型（CAPM）
APT
利用了一个充分分散 投资组合来得到期望 收益–贝塔关系。 平衡意味着没有套利 机会。 即便是很少的投资者 注意到套利机会， APT 也会很快恢复平 衡。
CAPM 模型建立在假设存在一 个内生的不可观测的市 场组合上。 依赖于均方差的有效性。 许多小投资者的行动迫 使CAPM再次均衡。 CAPM 描述了所有资 产的均衡。
19
如果刚才投资组合A的期望收益为12%而不是 13%，会出现套利机会。 构建一个投资组合B，它由纯因子组合与无风 险资产构成，并使其与投资组合A具有相同的β。 可以这样建立：让纯因子组合1和2的权重分别 为0.5和0.75，另外无风险资产的权重为-0.25。 权重合计为1。
20
如果宏观经济因素只有两个，则构造一个充 分分散的投资组合，使其对F1的β=1，对 F2的β=0；另外也可以构造一个对F1的 β=0、对F2的β=1的充分分散的投资组合。 即只有对一个因素的β=1，对其他所有因 素的β=0。 纯因子组合的收益跟踪某些特殊的宏观经 济风险来源的演变，而与其他的风险来源 无关，因此也可以看做跟踪投资组合。
11
（四）出现了套利机会
图 10.2的B也是一个充分分散的投资组合，期望收益 为8%，β=1。 如果B与A同时存在，出现了套利机会：买进A，卖空 B。
12
图 10.3 一个套利机会
出现了套利机会：买进D，卖空C。 讨论：不考虑D与C，另有一个充分分散的投资 组合，期望收益为9%，β为0.75。是否可套利？
27
学术界针对FF三因素模型的指责：
虽然模型建立在单因素CAPM模型之上，与 CAPM模型相比，三因素模型缺乏一种类似 CAPM的解释机理，更多的是一种实证发现， 甚至是“数据加工”的结果。 三因素模型并不是解释股票收益率的屡试不 爽的法宝，对于股票市场上的所谓“趋势效 应”等市场现象缺乏解释效力。
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教材例题：
设有纯因子组合1和2，它们的期望收益率分别为 10%和12%，再设无风险利率为4%，则纯因子组 合1和2的风险溢价应分别为6%和8%。 现有一个充分分散的投资组合A，对因素1的βA1 为0.5，对因素2的βA2为0.75。 因此，投资组合A的风险溢价由因素1产生的补偿 应为3%[=0.5(10%-4%)]，同理因素2产生的补偿 应为6%。 于是总的风险溢价为9%，投资组合总收益应为 13%[=4%+9%]。
现在买进投资组合B，卖出投资组合A，则有： 投资组合B的期望收益=-0.25×4%+0.5×10%+ 0.75×12%=13%，亦即： 4%+0.5×6%+ 0.75×8%=13% 这里负权重的无风险资产不会影响对因素的敏感 性，并可以看到投资组合B与投资组合A具有相 同的β。 结果你的净投资为零，但期望收益是正的，为 1%（=13%-12%）。
iGDP = 对GDP 的因素敏感度
Eri rf iGDP RP GDP iIR RP IR
1.
2.
3.
解释：期望收益等于下列之和： 无风险收益率 对GDP风险的敏感度乘以GDP的风险溢价。 对利率风险的敏感度乘以利率风险的溢价。
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例，假设某公司对GDP变动的β等于1.1，对利率 变动的β等于0.7。假设GDP的单位风险溢价为 5%，利率的单位风险溢价为8%，无风险利率为 3%，则该公司股票总回报应为： 无风险利率 3% 补偿GDP风险的风险补偿 (1.1)(5%)=5.5% 补偿利率风险的风险补偿 (0.7)(8%)=5.6% 该公司股票总期望收益率 14.1%
ri = 证券i的收益 βGDP = 对GDP的因素敏感度 βIR = 对利率的因素敏感度 ei = 公司特有的扰动项 例：对某航空公司运用两因素模型评估，有：
r航空 0.133 1.（ 2 GDP） - 0.（ 3 IR） e航空
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（五）多因素证券市场线模型
前面公式没有说明E(r)决定于什么，但若只考 虑一个市场因素，即有CAPM: