张延《中级宏观经济学》课后习题详解(9第九章 索洛经济增长模型)

张延《中级宏观经济学》第四篇 长期经济增长理论
第九章 索洛经济增长模型
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1．假设美国是处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。

根据人口学家统计，21世纪美国的人口增长将接近于0，而20世纪则大约为1%，和20世纪相比，21世纪的人口增长率下降会导致何种结果：
（1）处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。

（2）说明人口增长率下降对产量路径（总产量，而非每工人平均产量）的影响。

答：（1）在没有技术进步的情况下，考虑只有劳动和资本两种投入要素的情况下，现在的生产函数可以简化为：()()()Y t F K t L t =⎡⎤⎣⎦,。

同时假设该生产函数规模报酬不变，定义每个人平均产出Y
y L
=
，每个人平均资本K k L =，每个人平均消费C c L =，则可求得此时的密集
形式的效用函数：()y f k =。

根据()()()K t sY t K t δ=-可得()()k sf k n k δ=-+。

假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足()()***0k sf k n k δ=-+=，如图9-1所示，所形成的稳态时的人均资本为*k ，当人口增长率由n 减少为1n 时，形成新的稳态人均资本为*1k 。

图9-1 人口增长率降低时的稳态水平
处于平衡增长路径上的每个人平均资本随着人口增长率的降低而增加，但在长期人均资本趋于稳定；平均产量；平均消费随着人口增长率的降低而增加，在长期将趋于稳定。

经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径如图9-2所示。

图9-2 人均资本、人均产出和人均消费的变化路径
（2）根据每个人平均产量和总产量之间的关系：Y y L =可得***
Y y L Y y L
∆∆∆=+
，在人口增长率没有变化之前，*0y y ∆=，*
L n L ∆=，所以
***Y y L n Y y L ∆∆∆=+=，人口增长率变为1n 之后，***
1111Y y L n n Y y L
∆∆∆=+=<，在人口增长率变化的瞬间，资本增长率不变，这时，人均产
出的增长率会逐步往下调，总产出的增长率也逐步往下调，一直调整到等于1n 。

2．若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。

现在假定由于战争导致劳动力数量减少，而且假定战争没有影响资本存量。

（1）在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什么？ （2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动（如果有）之后，每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为什么？
（3）一旦经济重新回到平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？
答：（1）在0t 时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变持平投资线，根据K
k AL
=
，0t 时刻，总资本K 不发生变化。

如图9-3所示，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平k 从*k 下降到*1k ，根据Y
y AL
=
，0t 时刻总产量Y 不发生改变，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均产出水平*y y =下降到1y 。

图9-3 人口增加时对稳态的影响
（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动之后，即在0t 时刻之后，新的人均资本存量*1k k <，此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平投资，即：
()()1sf k g k δ>+，0k >。

这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧与技术进步所需的资本
额，每单位有效劳动的平均资本额必然上升，即从1k 朝着*k 增进。

同时，伴随着k 的变化，每单位有效劳动的平均产出也随之上升，即从1y 朝着*y 增进。

（3）当经济重新回到平衡增长路径时，每单位有效劳动的平均产出等于新工人出现前的水平。

由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投资线与工人数量一次性变化前相比，均未发生变化，所以这时每单位有效劳动的平均资本等于新工人出现前的水平。

3．从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素（其中土地等自然资源最受重视）的供给是有限的，最终必然将使经济增长停滞下来。

请在索洛模型的框架下探讨这一观点。

设生产函数为。

设生产函数为：()1Y K AL R β
ααβ--=，其中R 为土地数量。

假定0α>，0β>且1αβ+<，生产要素按照()()()K t sY t K t δ=-，()()A t gA t =，()()L t nL t =和()0R t =变动。

（1）该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这样一种情形：Y 、K 、L 、A 和R 均以不变（但不必相同）的速率增长？如果是，其增长率各为多少？如果不是，为什么？
（2）根据你的答案，以土地为代表的自然资源存量不变，这一事实是否意味着持续增长是不可能的？请解释。

答：（1）根据题意，可以得到
()()
A t g A t =，
()()
L t n L t =和
()()
0R t R t =，令()()
k K t g K t =
，根据
()()()K t sY t K t δ=-，则有()()
k sY t g K t δ=
-，根据生产函数可得：
()()
()k Y t g n g Y t αβ=++
只要()()
K t K t 保持稳定，()()
Y t Y t 必然保持稳定。

再加之
()()
()()
()()
.
k k g Y t K t g Y t K t δδ+=
-
+，所以
()()()1k k k g g n g g δβα=++--⎡⎤⎣⎦。

这样，可得到两个可能的稳定点：k g δ=-和()
1k n g g βα
+=
-。

将()()()1k k k g g n g g δβα=++--⎡⎤⎣⎦，等式两边分别对k g 求一阶导数和二阶导数：
()()()()211k k k
g g n g g αβδα∂=--++--⎡⎤⎣⎦∂
()()22
210k k g g α∂=--<∂
所以，可以近似推导出k g 曲线。

如图9-4所示，对于k g δ=-来说，在k g δ<-时，0k g <，在
()
1k n g g βδα
+>>--，0k g >，
在k g δ=-时0k g =所以k g δ=-不稳定；对于()1k n g g βδα+>>--，0k g >，在()
1k n g g βα
+<-，
0k g <，在()1k n g g βα+=-时，0k g =，所以()
1k n g g βα
+=-稳定，所以有且只有一个稳定点，
()()
()()
1k Y t n g g n g Y t βαβα
+=++=
-。

故该经济有唯一且稳定的平衡增长路径，即经济收敛于这样一种情形：Y 、K 、L 、A 和R 均以不变（但不必相同）的速率增长，此时Y 的稳定增
长率为()1n g βα+-，K 的稳定增长率为()1n g βα
+-，L 的增长率为n ，A 的增长率为g ，R 的增
长率为0。

图9-4 人均资本变化率曲线
（b ）尽管以土地为代表的自然资源存量不变，但持续增长还是可能的。

人均产量的增
长率为：()()()()()().
111Y t L t n g g n Y t L t ββαβααα⎛⎫ ⎪ ⎪+---⎡⎤⎝⎭=-=⎢⎥--⎛⎫⎣⎦
⎪ ⎪⎝⎭
，只要上式大于0，就能实现就实现经济
的持续增长。

虽然土地存量保持不变，但只要技术增长率g 足够快，那么经济仍然可以持续增长，因为随着技术不断进步，土地要素在经济增长中的重要性不断下降。

4．假定生产函数为柯布-道格拉斯函数。

（1）将k *、y *和c *表示为模型的参数s 、n 、δ、g 和α的函数。

（2）k 的黄金律值是多少？
（3）为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？ 答：（1）柯布-道格拉斯的生产函数形式为：()1Y K AL α
α-=，两边同除以AL 得生产函
数的密集形式：y k α=，对于该生产函数()y f k =而言，()()k sf k n g k δ=-++，可得
()k sk n g k αδ=-++，在平衡增长路径上，每单位有效劳动的平均实际投资等于每单位有效
劳动的平均持平投资，每单位有效劳动的平均资本维持不变，每单位有效的平均产出维持不变，则*0k =即：()**sk n g k αδ=++，可得11*s k n g α
δ-⎛⎫= ⎪
++⎝⎭
，1*s
y n g α
α
δ-⎛⎫= ⎪
++⎝⎭。

又因为()1c s y =-，所以()1*1s
c s n g α
α
δ-⎛⎫=-⨯ ⎪
++⎝⎭。

（2）黄金律为每个人有效劳动平均消费最大点，即*
0c k
∂=∂。

在平衡增长路径上，每单
位有效劳动平均消费额用每单位有效劳动平均产出额与每单位有效劳动平均持平投资额的差值得到，即()()***c f k n g k δ=-++。

于是，
*
0c k
∂=∂就可以转化为： ()()*f k n g δ'=++
即：1k n g ααδ-=++，11gold k n g α
α
δ-⎛⎫= ⎪
++⎝⎭
，此为黄金律k 。

（3）此时，由于黄金律的要求必须同时是平衡增长路径上，所以可得黄金律上的储蓄率的表达式：()*1s n g k αδ-=++，黄金律上的每单位有效劳动平均消费额为：
()()()*11**11n g k c n g k n g α
α
α
αδδδ---⎡⎤
++⎡⎤=-++⨯⎢⎥⎣⎦++⎢⎥⎣
⎦
故为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率为()()()1
11s n g n g αα
α
δαδ⨯--⎡
⎤=++=⎢
⎥
++⎢⎥⎣
⎦。

5．假设某国处于平衡增长路径上，资本在GDP 的份额为30%，产出增长为每年3%，折旧率为4%，资本产出比为2.5。

假设生产函数为柯布-道格拉斯函数，请问：
（1）在初始稳定状态下，储蓄率为多少？
（2）在初始稳定状态下，资本的边际产量为多少？
（3）假设政府提高储蓄率，使经济达到了黄金律水平的资本存量。

黄金律下资本的边际产量为多少？比较黄金律和初始稳定状态的边际产量。

（4）在黄金律下，资本一产出比是多少？
（5）要达到黄金律的状态，储蓄率应该是多少？
答：柯布-道格拉斯生产函数的形式为y k α=，α表示资本收入占总收入的份额。

且为0.3，稳态时，产出增长率等于3%，所以0.03n g +=，折旧率为0.04，资本产出比2/.5K Y =，// 2.5k y K Y ==。

（1）从稳态条件()sy n g k δ=++，将上述值代入得0.175s =。

（2）由()//K MP k y α=，得0.12K MP =。

（3）由稳态时资本存量黄金率：K MP n g δ=++，代入得黄金律下资本的边际产量0.07K MP =。

在稳态资本黄金存量时资本边际产品为0.07，而在初始稳态时为0.12，从初始出发我们有必要提高k 值以获得稳态资本黄金率。

（4）由资本产出比//K K Y MP α=，把资本黄金率稳态时的资本边际产品和α代入得：/ 4.29K Y =。

（5）要达到黄金律的状态，由()()//s n g k y δ=++，由// 4.29k y K Y ==代入得0.3s =。

6．假定尽管存在政治障碍，美国还是永久性地将其预算赤字从GDP 的3%降至0。

假定开始时0.15s =，且投资的上升量正好等于赤字的下降量。

假定资本的收入份额为1/3。

（1）与赤字不下降的情形相比，产量最终将上升大约多少？ （2）与赤字不下降的情形相比，消费将上升多少？
（3）赤字下降对消费的最初影响是什么？若要消费回到赤字不下降时的水平，约需多长时间？
答：（1）1/3α=，0.03K Y =，又
0.030.03
0.09K
K Y K K α=== K K Y α=得：0K Y
K Y
-=，即产量的增长率与资本的增长率保持一致。

所以，
0.09Y
Y
=，产量上升大约是GDP 的9%。

（2）由()10.0765C s Y Y =-=，即消费上升GDP 的7.65%。

（3）赤字下降在最初使得消费上升。

若要消费回到赤字不下降时的水平，由0.09C Y C Y ==，所以需要0.697.670.09
t ==，大约需要8年。

7．假定资本和劳动被付以其边际产品。

另外，假定所有资本收入被储蓄，所有劳动收入被消费。

这样，()()
(),t F K AL K K K t K δ∂⎡⎤
=-⎢
⎥∂⎣
⎦。

（1）证明：这一经济收敛于一平衡增长路径。

（2）处于该平衡增长路径上的k 是大于、小于还是等于k 的黄金率水平？如何直观地理解这一结果？
答：（1）平衡增长路径的定义是模型中所涉及到的各经济变量均维持稳定的增长率水平。

由K k AL =
，可得：k K L A
k K L A =--，根据题意有()()(),F K AL K t K K t K δ∂⎡⎤=-⎢⎥∂⎣⎦
，另外劳动的增长率固定：
L n L
=，技术增长率固定：A
g A =，所以，()F K AL K n g K K δ∂=
---∂，，加之，()1=K F K F K AL k f K K k ⎛⎫
∂ ⎪
∂⎛⎫
⎝⎭= ⎪∂∂⎝⎭，，，所以1k f n g k k δ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

当0k =时，即10f n g k k δ⎡⎤
⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦时，每单位有效劳动的平均资本将固定为一常数。

可以看出1f n g k δ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，在这里定义满足该式的解为*k 。

由于密集形式的生产函数()y f k =满足()0f k '>，()0f k ''<以及稻田条件：
()0
lim k f k →'=∞，()lim 0k f k →∞
'=，所以*k 存在，并且唯一。

在*k 上，每单位有效劳动平均资本维持一个固定的常数，根据K
k AL
=可知，此时总资本的增长率
K k L A
n g K k L A
=++=+，即维持一个与AL 相同上的固定增长率；由于规模报酬不变，而投入要素K 和AL 都是以n g +的固定增长率增长，所以在平衡增长路径上，产出必然
也维持n g +的固定增长率。

到此为止，可以发现模型中所有变量都维持一个固定的增长率增长，所以经济达到了一个平衡增长路径。

对1k f n g k k δ⎡⎤
⎛⎫
=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
等式两边分别对k 求一阶导数和二阶导数：
111k f n g f k k k k δ∂⎡⎤⎛⎫⎛⎫
'=---- ⎪ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ 223110k f k k k ∂⎛⎫
''=< ⎪∂⎝⎭
同时，根据()0f k '>，()0f k ''<以及稻田条件：()0
lim k f k →'=∞，()lim 0k f k →∞
'=，可以近
似得到1k f n g k k δ⎡⎤
⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的曲线，如图9-5所示。

图9-5 稳定的一个平衡增长路径
对于*0k =，当0k >，由于()0f k '>，()0f k ''<以及稻田条件：()0
lim k f k →'=∞，
()lim 0k f k →∞
'=，所以此时0k >，k 会进一步上升，所以*0k =并不是一个稳定的增长点。

对
于满足1f n g k δ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
的*k 来说，情况正好相反。

由于()0f k '>，()0f k ''<以及稻田条件：
()0
lim k f k →'=∞，()lim 0k f k →∞
'=的存在，所以当*k k <时，0k >，k 上升；当*k k >时，0k <，
k 下降；当*k k =时，0k =，k 不发生变化，所以此时的*k 为一稳定的增长点。

（2）黄金增长点的含义是每单位有效劳动平均消费最大，即在黄金律点上，满足
()()d 0d GR GR c f k n g k δ*'=-++=，因为，(),F K AL Y C S c AL K K ∂⎡⎤
=+=⋅+⎢⎥∂⎣⎦
，得到： ()11Y K c f f k kf AL
K AL K ⎛⎫⎛⎫=
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()d 111110d c f k f f f k n g f k k k k
k k δ*
***
**⎛⎫⎛⎫
⎛⎫''''=-+=-+++= ⎪ ⎪ ⎪***⎝⎭⎝⎭⎝⎭
所以，平衡增长路径上的k 小于k 的黄金率水平。

当所有劳动收入都被用来消费，则实
际储蓄率降低，也即实际投资降低，在持平投资不变的条件下，平衡增长路径上的人均资本量减小。

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表
两汉：诸葛亮
先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。

诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。

若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。

先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。

侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。

先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。

后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。

受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。

今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。

此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。

至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。

若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。