新课标数学教材和教学中体现的转化思想及方法

新课标数学教材和教学中体现的转化思想及方法
——以人教版七年级上册教材教学为例
论文摘要：本文以新课标数学七年级上册的教材教学为例，初步探讨了在数学数材和教学中体现出来的转化思想及方法。

在简要描述了转化的过程、种类及能力需求后，用一个带寓言性的实例说明了转化的本质。

对新教材各章的内容结合转化思想及方法的情况进行了研讨：《有理数》一章以３个知识层次和１个幻方问题广泛而充分地体现了转化思想；《一元一次方程》一章论述了最具体，直接应用于“应用题”中的转化思想；《图形认识初步》一章则有最美、最有层次感、最为系统的数学转换实例。

从总体上说明了转化思想在数学教育中的基础性重要地位，并对这三章内容在教学过程中对教材的认识和处理提出了一些可供参考的建议和意见……
关键词：转化、有理数、幻方、方程、点线面体
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2004年珠海的金秋时节，我市初一新生选用了人教板的新课标教材（七年级上册，2003年初审通过）。

全书分为四章，第一章《有理数》，主要内容为有理数的概念和运算；第二章《一元一次方程》，主要内容是一元一次方程的解法和利用一元一次方程解决应用数学题，笔者在这里使用了“应用数学题”这个词，而不仅仅是采用传统意义上的“数学应用题”，因为新教材中所选用问题的实际情境性、生活和社会功能性如选择省钱的付费方式、解决问题所需的自主探究性、以及借此体现出的数学功能性作用和以往教材在这方面不可以同日而语，确有相当的进步和提高；第三章为《图形认识初步》，内容形式上类同于传统平面几何教材《直线和角》；第四章为《数据的收集和整理》，以全面调查和抽样调查的数学实践活动形式，让初一的学生就可以切身体会到数学源于生活，高于生活，而又服务于生活的特点特色。

这本图文并茂的教材从教学实践来看虽然也有很多不成熟或者说需要加以探讨的新问题，但是总的来讲，仍然让教师和学生都有爱不释手的感觉。

本文成文之际，笔者在所教的两个班级已经进行到第三章《图形认识初步》。

在前三章的教学中，引发感触较多的，想就新课标数学教材和教学中体现的转化思想，谈一点认识和体会。

抛砖引玉，与人共美，恳请各位方家指正。

一．转化的过程、种类和能力需求
所谓转化，问题解决中的转化、数学问题解决中的问题转化，就是利用已有解的问题来解决未知解的新问题，或者从已有的知识体系来导出准备学习的新知识新概念新过程。

这是笔者在这里给出的一个不求严密规范的解释性描述式概念，主要目的在于界定本文所要论及的转化问题的方面和层次。

转化的过程包括认同过程、辨异过程和转化过程。

转化首先需要认识不同问题在本质上的统一性，即认同过程。

然后转化需要进行分辨不同问题之间差异的工作，即辨异过程。

最后转化要具有化异为同的过程，也就是狭义理解上的转化。

转化的种类包括最常见的运算过程中进行的变形，这实质是一种进行狭义转
化的过程；转化包括在不同逻辑层次、概念层次、形式逻辑方面之间进行转换，比如一般化的转换、特殊化的转换，比如几何实体中点、线、面、体这些概念之间的关系；转化还包括同一逻辑层次概念之间的等价转换，即通常所说的“换汤不换药”；转换还包括不同概念子体系的概念在更高层次逻辑上的统一性转化，比如数和形的相互转化。

换一种表达方式，转化需要有认同、辨异和化异为同的三种能力。

广义的转化首先需要如上所述转化过程中的认同和辨异能力，这是进行实际转化工作、或者说完成形式逻辑上的转化工作的前提，然后是一种实现转化工作的化异为同的能力，也就是所谓狭义的转化能力。

这里有一个关于转换思想的寓言性问题：能力倾向测试→物理学家还是数学家？
牛顿是工厂里烧锅炉的老师傅，他每天的工作就是按部就班的烧一满炉开水。

经过多年的实践，他总结了自己的工作流程，并且张贴在锅炉房内以求提醒自己。

牛顿师父快要退休，小青年爱迪生分配到锅炉房。

爱迪生决心向老师傅虚心学习，上班第一天就向他请教。

不过今天早上上班的时候，昨天的锅炉热水因为特殊原因，没有用完还有一半之多。

请问，如果你是老师傅牛顿，如何用最简单的语言或步骤，向爱迪生说明由原来的半锅水得到一锅开水呢？
通过抽象，这里有两个不同已知，但要求结论相同的问题。

问题A 已知：一个空锅炉，求一满锅炉开水。

该问题已经解决，标准答案是“牛师傅”的张贴纸：《工作流程》
①、将空锅炉彻底洗干净。

②、空锅炉进行注水，注入（接进）满满一炉冷水。

③、打开炉具，调节炉火温度到270℃。

④计时28分左右，关掉炉火。

问题B 已知：半锅炉冷开水（或者温热开水），求一满锅炉开水。

问题B由学徒工提出，请师傅进行传授指点。

问题Ｂ有两种解决方法，即下述的解决１（物理学家能倾向）和解决２（数学家能力倾向）；
问题B解决1：三步。

将已知的半锅炉水的基础上加注水，直至接进满满一炉水；打开炉具，调节炉火温度到270℃；计时28分左右，关掉炉火。

（结束）问题B解决2的分析：将老师傅的的问题视为问题A，学徒的问题视为问题B（数学抽象）。

如上可以看出，问题A、问题B已知不同，但所需结论相同。

如果能够实现A→B的转换,因为A问题已经解决(墙上的标准流程)，所以B问题也获解决。

解决2的答案：两步。

第一步，将半锅炉水倒空；第二步:按照墙上的标准流程进行。

注意：
①、解决1的答案可谓多步，需要解释众多的问题（比如270℃的细节），而且随着A问题本身复杂性的增加而跟随步骤增加。

而解决2永远只有两步，无论A问题本身多么复杂。

②、解决1存在隐患，原来的半壶水是否清洁，已放置时间是否过长，题目中均无涉及。

而且这样操作，270℃以及２８分钟这两个经验数据的有效性、准确度都将受到考验。

③、若无②中所提及的隐患存在，则解
决1的优点主要体现在节水（省半壶水），节电节气（节约能源）（若原来半壶水是热水），节约时间（若起始温度略高，则可能省时烧开，不再需28分），总之节约了资源（物质资源，时间资源，也包括部分人力资源），所以若无②中的隐患存在，在现实生活中仍有可取的一面（若已有半锅炉干净开水，而不仅仅是半锅炉热水，是将其排空再烧，还是先用冷水注满继续烧，这个问题不言自明）。

所以解决1是一种物理学家的思维。

关注解决现实生活的问题，问题解决标准多元化（在解决问题中需要节水节电节约时间节约人力），核心标准是经济化。

④、解决2更多地近似于一种数学家的思维方式：善于使用转换思想解决问题。

这一解答体现了1）数学的抽象性。

现实生活的两种情境就其核心内容被抽象成数学形式（已知、求解）的问题A及问题B；已知、求解的形式已经是标准明确的数学问题。

体现了数学高度抽象的特色。

2）、作为纯粹数学首要关注的是，而且在一定阶段可能唯一关注的就是数学情境问题的解决。

抽象问题A，已被解决，而抽象问题B尚未解决；目标定格在解决B上（已视为数学问题）。

3）因为问题A已经解决，无论其答案（解法）有多么复杂。

所以B转化→A就是数学家常常考虑的途径。

分析问题A、B之形式异同，其结论（要求）相同但已知（条件）不同，转化问题的途径一目了然。

4）一旦实现了从B到A的转化，数学家的工作已经完成，可以认为B已解决。

5）这就是数学家的问题解决，永远只有2步I B→A，ⅡA的标准答案。

无论A本的身的解决有多复杂，B的解决步骤不会有任何的增加。

（指结构性的增加）6）当然，数学家没有过多地考虑（或者根本就没有考虑）问题的实际背影，比如节水、节气等等，（这些因素已经在实际情境抽象成数学问题的过程中被忽略了）。

若问题B本身再加上限制性条件：过程中费电最少，或者最为省时。

则B的解决又可能完全不同。

7）从更高的视点来讲，数学家的这种“转化”思想极其深刻地体现了人类文化继承的方式和特点，即继承和创新。

“如果我看得比笛卡尔远一点的话，是因为我站在巨人的肩膀上。

”这句话如果仅仅从伦理学的谦虚角度去理解就大为曲解了。

牛顿说他自己看得比笛卡尔远一些，是站在笛卡尔肩膀上，而不是站在柏拉图、亚里士多德的肩膀上。

而且，牛顿站在笛卡尔的身上而不是跪在他的面前表明了他对巨人的背叛；站在巨人的肩上而不是站在巨人的脚背上则说明了他对前人的超越。

8）从更现代的视点来看，从更多现实学科的结合性来看，问题B的解决2体现了更多的特点，例如工业过程中的“标准化”，计算机编程过程中的“结构化”，以及现代编程理论中的“封装性”，标准化→结构化→封装性，其实是一脉相承但不同层次的“转化性及其准备”，这也充分说明了数学思想的“科学之母”“哲学之源”的特点，颇有数学和哲学相结合而“君临天下”的味道。

二．《有理数》一章所体现的转化思想和教学
《有理数》一章的教材和教学，体现了转化思想在数学中的无所不在，充分说明了转化作为一种重要的基础性思想方法、一种带有根本性质的数学思想方法，在数学教材和教学体系中无可替代的基础性地位。

本章内容在引入负数，完备了有理数的分类体系（正有理数、零和负有理数）后，主要是三个方面层次发展的内容。

其一是数轴的概念；其二是相反数、绝对值的概念到有理数比较大小的方法；其三是有理数的加减乘除和乘方运算。

１）第一层次为数轴部分，体现了数学中最重要的一种转化和结合，也就是
数和形的相互转化和相互结合（数形结合）的最本质最基础的一个实例。

那就是数和点的对应转换。

引入数轴后，任意一个有理数都可以用数轴上的点加以表示，而反过来，数轴上的任何一个点都可以用一个实数来唯一代表。

也就是说，建立了全体实数和数轴上全体点的一一对应转换关系。

教学中需要注意的是，因为还没有学到无理数的概念，所以需要用实际的例子比如单位正方形的对角线给学生说明有这样一种不同于分数的数、无法用整数比值表达的数。

对这一概念，只需要点到为止，但也不可回避。

因为通过学习，学生已经了解：任意一个有理数都可以用数轴上的点加以表示；所以部分学业较为优秀的学生一定会产生这样的问题，反过来对吗？甚至部分学生包括优秀学生可能已经不假思索地认为，数轴上的任何一个点都可以用一个有理数来唯一代表，因为这两个命题之间的直观上的形式互逆性对于初一学生具有极大的“说服力”。

澄清这种结论性的认识，对于学生从一开始就建立正确的数学观念很有帮助。

而且在教学方法上为以后的相关内容随时随地留下知识和观念上的一些线索，对于提高学生的探索兴趣，对于提高学生知识形成过程中的阶段性和体系性，都很有帮助，可以最终达到水到渠成的功用。

２）第二层次内容中相反数、绝对值再到实数比较大小都有两种定义或者两种可以相互转化的方法。

数轴部分数与点的转换关系，体现了数的抽象和形的具体之间的完美结合。

以此为基础，在后继第二部分内容中，由相反数到绝对值，再到有理数的比较大小，每一个概念方法都有了至少两种理解的方式，基于数的理解和基于点的理解以及其等价性转化。

从代数上说，相反数是只有符号不同的两个数；从几何上来说，相反数是数轴上分位于原点两侧，和原点距离相等的两点（注意，在第一层次已经初步确立，点即是数、数即是点的观念）；基于数的角度，有理数绝对值的定义是：正数的绝对值是它本身，０的绝对值是０，负数的绝对值是它的相反数；从基于点的角度来说，绝对值是数在数轴上的对应点到原点的距离；两个形的定义都比较直观而且容易理解，显得“更有意义”；而两个数的定义则可以比较方便地用于具体的操作和运算。

所以两个定义各有优劣之处，应视具体的问题情境选择应用。

再看有理数比较大小的代数法则：1）两个正数，绝对值的较大；2）正数大于0，0大于负数；3）两个负数，绝对值大的反而小。

这是一个层次清楚，逻辑完备，但是可能相对失之于细致和概括的方法法则。

特别是第三条，比如比较-2和-3的大小，按照法则3），严格的思维过程(仍然因简化而省略了大前提)是：
22=-，33=-因为32 ，即32-- ， 所以32--
这样一个完整的思维过程是多么严密，但对一个初一学生来说又是多么困难。

所以实际上学生在比较两个负数的时候，更多地是使用一种感性的原则，一种自我总结出来的动作定型。

而没有进行也没有必要严格进行这样一种形式逻辑的说明。

不过，两数比较的几何法则就很美很美，一种直观美、一种概括美、一种简洁美：两个有理数相互比较，在数轴右边的大，左边的小。

一言以蔽之！多么精练的结论！
在相反数、绝对值和有理数比较大小中，数形结合和转换扮演重要的角色，承担重大的作用和责任，而且常常可使问题的解决出人意料的直接和方便，这样的例子从初中到高中，甚至在大学的课程里，同样屡见不鲜。

3）第三层次内容为有理数的加减乘除和乘方运算。

其中减法可以转化为加法；除法可以转化为乘法；乘方也是转化为乘法来理解或者定义。

对于这些运算之间的转化，特别是将减法转化为加法，有两个需要特别注意的问题：其一，在运算熟练以后，实际上有理数的减法运算在很多的情况下无需转化为加法，而是依靠大数减小数为正数，小数减大数为负数，异号相减绝对值相加，同号相减绝对值相减这样的经验法则进行计算。

有理数的除法其实也有类似的问题。

比如6
除2，没有必要计算6乘2
1，可以直接得到结果３。

本质上来说，减法转加法、除法转乘法的运算，实质上是给出一种一般的运算法则，具有理论结构上的重要意义。

也就是说，理论上形式逻辑中减法和除法的问题已经通过转化为已知的加法法则和乘法法则完全解决了。

但是实际运算中，我们处理问题并非总是用一般方法，而可能用根据题目情境不同而选用合适的方法。

这实际上又有一个一般法则和特殊方法之间既在解决问题的目的性上一致，又因解决问题的应用情境不同而产生了一定的选择性。

两者相互统一，通常可以相互转化，但有繁简的区别。

其二，减法转化为加法，或者说减法视为加法的运算，有着极为重要的变形意义。

也就是教材P ２８所述代数和的概念。

认识代数和，对于澄清加减混合运算时的运算顺序问题，非常直观和便利；理解代数和的概念，还对后继知识有着多方面的基础作用。

具体在教学中一定要对代数和的概念加以强化，不仅是对常数之间的代数和，还有常数和代数式之间，代数式和代数式之间的代数和都要能在头脑中进行理解和正确的组合。

后继的直接应用就有第二章中解方程过程中的移项变号问题的正确理解，以及公式变形推导时的符号运算问题，比如如何由公式()2222b ab a b a ++=+得出()2b a -的相应结果，如何由公式()bc ac ab c b a c b a 2222222+++++=++得出2)(c b a --的相应结果，应用代数和的概念都会直接而简便。

4）用转化思想解决数学幻方问题。

教材P25实验与探究《填幻方》。

你能将－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４这九个数分别填入下图的幻方的9个空格中，使得同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数都得0吗？
前文已经给出一种方案，实现了这样一个幻方：将１，２，３，４，５，６，７，８，９这九个数分别填入下图的幻方的9个空格中，使得同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数都得15。

转化的三个过程
认同过程：
两个问题的已知和结论的形式完全一致。

同样是九个待选的数要一数一次，不可重复；又是同样的三数相加，得到固定的和。

求异过程：
－４，－３，－２，－１，０，１，２，３，４中选三数ａ，ｂ，ｃ使 0=++c b a
１， ２， ３， ４，５，６，７，８，９中选三数Ａ，Ｂ，Ｃ使
15=++C B A
转化过程：
5495385055)3(25)4(1=-=-=-=--=-- 这就是两列待选数之间相互转换的关系，那么：
如果555-=-=-=C c B b A a ，
而且已知15=++C B A ，则?=++c b a
也就是说，只要将未知列按照已知列的对应位置入放入幻方（－４填１的位置，－３填２的位置，余类推），就可以实现由“幻方１５”到“零幻方”的转化。

其中的认同、求异和转化的过程都值得细细玩味。

当然更重要的是，要有转
换的思想，在能够转换或者需要转换的时候要能够意识到这样一种机会的出现。

结论已知
⇔
三．《一元一次方程》一章所体现的转化思想和教学
这是转换思想体现的最为直接、最为具体、最具功能性的一章。

教材第二章为《一元一次方程》，主要内容是一元一次方程的解法和利用一元一次方程解决应用数学题。

显然，一元一次方程及其解法是一个数学概念及方法，一元一次方程的解法是一种标准化了的公式化符号变换；也就是说，一元一次方程没有难题，最多有一些步骤略为复杂的“繁”题，这是一个数学上已经完美解决的问题。

但是解方程归根究底来说，并不是我们学习和研究的目的。

数学从它的产生和发展的历史来看，一直是“经世致用”的一门学科。

方程论作为代数最核心的内容之一，就是因为它是这样一种重要的数学工具，可以极其广泛地应用于解决人类社会和日常生活中的若干实际问题。

无管实际问题多么复杂，一旦经过数学抽象列出方程以后，它就转化为一个纯粹的数学问题。

通过解方程可以得出数学问题的解，而这样的解经过检验后，就可以代表或者转换为实际问题的答案。

（教材P81归纳图表）把实际的应用问题转化为数学的方程问题，本质上是一个数学建模的过程，直接具体体现了数学的功能性作用。

这一章的起始一节，书上用“从算式到方程”为标题，引用一个行程问题，试图说明有了方程以后，人们解决很多问题就更方便了。

从算式到方程是数学的进步。

（教材P66-P67）。

但这里选用的问题如果用算术解法即算式解法也相当地容易；反而因为教材的安排，使得学生在列出方程后还不会解方程从而最终解决问题。

所以使用这样一个列算式简单、用方程不会解的题目来说明方程的进步性，以及相关的教学安排，是本教材值得商榷的一个问题。

针对这个问题，笔者在授课安排中，仍然沿续了传统教材结构性的特点。

先
把本章的方程内容合在一起处理，形成一种目标明确的学习任务：解决解一元一次方程这样一个数学问题。

学习告一段落以后，在班级授课中通过讲述本文第一节中锅炉问题进行转换思想的渗透，然后明确，我们在解决实际问题的过程中剩下的任务只有一个了，那就是把实际问题转化为方程问题。

一旦实现了这种转换，因为方程问题在数学的范畴内已经成功解决，这样我们的实际问题实际也就得到了解决。

也就是说，解一个应用数学题只需要有两个大的步骤，列方程和解方程。

列方程是实现一种实际问题到数学问题的转换，而解方程则是牛顿老师傅的“操作流程”。

在解决了解方程这样一个数学问题后，笔者在所教班级中进行了大量的“操作流程”的标准化练习。

然后讲述了从“算式到方程”这一节的内容，笔者用的标题是“从算术到代数——算术是智者的游戏，代数是懒人的算术。

”全堂课只讲了一个例子，那就是中国古典的“鸡兔同笼”问题：“鸡兔一堆计49，百只脚来地上走，鸡兔各几何？”这样一个形象性的题目立即引起了初一学生的探讨兴趣。

首先老师请大家用小学解应用题的方法，通过列算式来解决这个题目。

结果，全班没有一个人能够进行解答，但有两个学生通过实验的尝试得出了结果。

老师话锋一转：“下面，我们大家一起来探讨可不可以通过列方程，这样一种我们新学的数学工具来解决这个问题。

”结果，在老师的帮助下，全班几乎每一个同学在引入未知数的情况下都列出了方程，而且通过解方程，绝大多数同学得到了方程的解，并且作为实际问题的解决进行了验算。

这时，教师不失时机地简要介绍了一下该问题的算式解法，即“鸡换兔子”的高招。

一个全班没有一个同学能够解答的题目，在学习了一种新的数学工具——方程后，每一个人都可以得出正确的答案！！这一节课的目的甚至并非一定要学生一次性牢固掌握具体方程的列法，而更重要的是让学生产生这样一种共鸣，这样一种心灵的震憾，原来方程真的是有用的，数学真的是有用的，学习新知识真的是有用的！！这样一种发自内心的感动、感悟，应该是我们教育所要追求的最高境界。

从课后学生的表现来看，在一定程度上本节课起到了这样的作用。

在兴趣的指引下，学生较快地掌握了“鸡兔问题”的解法。

在后继的课时中，教师一次性地举出以下三个问题：
教材P69练习第2题：甲种铅笔每枝0.3元，乙种铅笔每枝0.6元。

用9元钱买了两种铅笔共20枝，两种铅笔各买了多少枝？；教材P73习题第5题：把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元。

获得一等奖的学生有多少？；教材P84问题（买布问题）：顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺，其中蓝布料每俄尺3卢布，黑布料每俄尺5卢布。

两种布料各买了多少？
学生在教师的指引下，很快就领悟到原来这三个问题都是“鸡兔问题”，或者说，都可以转换为鸡兔问题……
四．《图形认识初步》一章所体现的转化思想和教学。